同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))_第二章_導(dǎo)數(shù)與微分.doc

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第二篇 一元函數(shù)微積分 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 微積分學(xué)包含微分學(xué)和積分學(xué)兩部分，而導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)的核心概念．導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化的快慢程度，微分則指明了當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化了多少，即函數(shù)的局部改變量的估值．本章主要討論導(dǎo)數(shù)和微分的概念、性質(zhì)以及計(jì)算方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用． 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 1.1 導(dǎo)數(shù)概念的引入 1.1.1 質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題 現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式記為，求在時(shí)刻時(shí)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為多少？ 整體來(lái)說(shuō)速度是變化的，但局部來(lái)說(shuō)速度可以近似看成是不變的．設(shè)質(zhì)點(diǎn)從時(shí)刻改變到時(shí)刻，在時(shí)間增量?jī)?nèi)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為，在時(shí)間內(nèi)的平均速度為 ， 當(dāng)時(shí)間增量越小時(shí)，平均速度越接近于時(shí)刻的瞬時(shí)速度，于是當(dāng)時(shí)，的極限就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，即 ． 1.1.2 平面曲線的切線斜率問(wèn)題 已知曲線，求曲線上點(diǎn)處的切線斜率． 欲求曲線上點(diǎn)的切線斜率，由切線為割線的極限位置，容易想到切線的斜率應(yīng)是割線斜率的極限． 圖2-1 如圖2-1所示，取曲線上另外一點(diǎn)，則割線的斜率為 ． 當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨于時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的極限位置就是曲線在點(diǎn)的切線，此時(shí)割線的傾斜角趨于切線的傾斜角，故切線的斜率為 ． 前面我們討論了瞬時(shí)速度和切線斜率兩個(gè)問(wèn)題，雖然實(shí)際意義不同，但如果舍棄其實(shí)際背景，從數(shù)學(xué)角度看，卻有著相同的數(shù)學(xué)形式，即當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí)，求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限．在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，許多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為上述極限形式進(jìn)行研究，如電流強(qiáng)度、人口增長(zhǎng)速度、國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率、邊際成本和邊際利潤(rùn)等．因此，我們舍棄這些問(wèn)題的實(shí)際意義，抽象出它們數(shù)量關(guān)系上的共同本質(zhì)——導(dǎo)數(shù)． 1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 1.2.1 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在處取得增量，且時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的增量，如果極限 存在，那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作，即 ． 注：（1）由導(dǎo)數(shù)的定義可得與其等價(jià)的定義形式 ； ． （2）若極限不存在，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)．特別地，若，也可稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，此時(shí)在點(diǎn)的切線存在，它是垂直于軸的直線． 例1 設(shè)，求． 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義，可得 ． 例2 設(shè)，求下列極限： （1）； （2）． 解 （1）． （2） ． 1.2.2 單側(cè)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)是由函數(shù)的極限來(lái)定義的，因?yàn)闃O限存在左、右極限，所以導(dǎo)數(shù)也存在左、右導(dǎo)數(shù)的定義． 定義2 （1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某左鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)左側(cè)取得增量時(shí)，如果極限或存在，則稱(chēng)此極限值為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，記為，即 ． （2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)右側(cè)取得增量時(shí)，如果極限或存在，則稱(chēng)此極限值為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記為，即 ． 由極限存在的充要條件可得函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件如下： 定理1 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)和存在且相等． 例3 研究函數(shù)在點(diǎn)的可導(dǎo)性． 解 因?yàn)椋? ， ， 從而，因此在點(diǎn)不可導(dǎo)． 1.2.3 導(dǎo)函數(shù) 定義3 （1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則稱(chēng)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間左端點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)和區(qū)間右端點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)均存在，則稱(chēng)在閉區(qū)間上可導(dǎo)． 定義4 若函數(shù)在區(qū)間（可以是開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間）上可導(dǎo)，且對(duì)于任意的，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)導(dǎo)數(shù)值，其是自變量的新函數(shù)，則稱(chēng)為在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)，記作，即 或． 注：（1）在導(dǎo)函數(shù)的定義式中，雖然可以取區(qū)間上的任意值，但在求極限的過(guò)程中，是常數(shù)，和是變量． （2）導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)，只要沒(méi)有指明是特定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)都是指導(dǎo)函數(shù)．顯然函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即． 下面利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 例4 求常值函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)． 解 ． 即得常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 例5求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 ． 即得正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 類(lèi)似可得余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 例6求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 ． 由于當(dāng)時(shí)，，所以 ． 即得指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 特別地， ． 例7 求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 ． 即得對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 特別地， ． 例8 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 ， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，從而，故 ． 即得冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率（圖2-1）． 由此可得，曲線在處的切線方程為 ． 若，可得切線的傾斜角為或，此時(shí)切線方程為． 當(dāng)時(shí)，曲線在處的法線方程為 ． 若，則法線方程為． 例9 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫(xiě)出在該點(diǎn)的切線方程和法線方程． 解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為 ． 從而所求的切線方程為 ， 即 ． 所求法線的斜率為 ， 從而所求的法線的方程為 ， 即 ． 1.4 函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 定理2 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么在點(diǎn)處連續(xù)． 證明 因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo)，即 ， 其中，所以 ． 根據(jù)連續(xù)的定義可知在點(diǎn)處連續(xù)． 注：（1）定理2的逆命題不成立，即連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo)． （2）如果函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，那么函數(shù)在該點(diǎn)一定不可導(dǎo)． 例10 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性． 解 因?yàn)? ， 所以在點(diǎn)處連續(xù)． 又因?yàn)? 不存在，所以在點(diǎn)處不可導(dǎo)． 例11 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性． 解 因?yàn)? ， 所以在點(diǎn)處不連續(xù)，從而在點(diǎn)處不可導(dǎo)． 例12 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，求． 解 由于在點(diǎn)處可導(dǎo)，所以在點(diǎn)處必連續(xù)，即 ． 因?yàn)? ， ， ， 所以可得． 又因?yàn)? ， ． 要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，則應(yīng)有，即．所以，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有． 習(xí)題2-1 1. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求： （1）物體在到這一時(shí)間段的平均速度； （2）物體在時(shí)的瞬時(shí)速度． 2. 設(shè)，按定義求. 3. 設(shè)存在，指出下列極限各表示什么？ （1）； （2）； （3）（設(shè)且存在）. 4. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，求. 5. 已知函數(shù)，求和，判定是否存在？ 6. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 7. 試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 8. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，求的值. 第2節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 在上一節(jié)中，利用導(dǎo)數(shù)的定義求得了一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．但對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)定義去求解，難度比較大．因此本節(jié)將介紹幾種常用的求導(dǎo)法則，利用這些法則和基本求導(dǎo)公式就能比較簡(jiǎn)單地求一般初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 定理1 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么它們的和、差、積、商（分母不為零）都在點(diǎn)處可導(dǎo)，且 （1）． （2）． 特別地， （為常數(shù)）． （3）． 特別地， ． 證明 （1） ． （2） ， 由于在點(diǎn)處可導(dǎo)，從而其在點(diǎn)處連續(xù)，故 ． （3）先考慮特殊情況．當(dāng)時(shí)， ， 由于在點(diǎn)處可導(dǎo)，從而其在點(diǎn)處連續(xù)，故 ． 因此，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且．于是 ． 注：（1）法則（1）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和與差的求導(dǎo)．如 ． （2）法則（2）可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的積的求導(dǎo)．如 ． 例1 設(shè)，求． 解 ． 例2 設(shè)，求． 解 ． 例3 設(shè)，求． 解 ． 例4 設(shè)，求． 解 ． 例5 設(shè)，求． 解 ． 即得正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 類(lèi)似可得余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 例6 設(shè)，求． 解 ． 即得正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 類(lèi)似可得余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理2 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 或 ． 換句話說(shuō)，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)． 證明 由于在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)（必連續(xù)），從而可知的反函數(shù)存在，且在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)． 取，給以增量，由的單調(diào)性可知 ， 于是有 ， 由于連續(xù)，所以 ， 從而 ． 例7 設(shè)，求． 解 因?yàn)榈姆春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且．又因?yàn)樵趦?nèi)有，所以在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)有 ． 即得到反正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 類(lèi)似可得反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 例8 設(shè)，求． 解 因?yàn)榈姆春瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且，所以在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)有 ． 即得反正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 類(lèi)似可得反余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： ． 2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理3 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或 ． 證明 因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，所以 存在，于是根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系可得 ， 其中是時(shí)的無(wú)窮?。捎谏鲜街校谄鋬蛇呁?，可得 ， 用除上式兩邊，可得 ， 于是 ． 根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必在該點(diǎn)連續(xù)可知，當(dāng)時(shí)，，從而可得 ． 又因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，所以 ， 故 ． 如果，規(guī)定，那么，此時(shí)仍成立，從而仍有 ． 注：（1）表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)，而則表示函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)． （2）定理的結(jié)論可以推廣到有限個(gè)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)．例如，設(shè)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，則 ． 例9 設(shè)，求． 解 因?yàn)橛蓮?fù)合而成，所以 ． 例10 設(shè)，求． 解 因?yàn)橛蓮?fù)合而成，所以 ． 從以上例子可以直觀的看出，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，是從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，故形象地稱(chēng)其為鏈?zhǔn)椒▌t．當(dāng)對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程較熟練后，可以不用寫(xiě)出中間變量，而把中間變量看成一個(gè)整體，然后逐層求導(dǎo)即可． 例11 設(shè)，求． 解 ． 例12 設(shè)，求． 解 ． 例13 設(shè)（為常數(shù)），求． 解 ． 例14 設(shè)，求． 解 因?yàn)? ， 所以，當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， ． 綜上可得 ． 例15 設(shè)可導(dǎo)，求的導(dǎo)數(shù)． 解 ． 2.4 高階導(dǎo)數(shù) 變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的路程函數(shù)為，則速度 ， 加速度 ， 從而 ． 這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為二階導(dǎo)數(shù)，依次類(lèi)推就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)的概念．一般地，可給出如下定義： 定義1 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱(chēng)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作 ， 即 ． 這時(shí)也稱(chēng)在點(diǎn)二階可導(dǎo)． 若函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則稱(chēng)它在區(qū)間上二階可導(dǎo)，并稱(chēng)為在區(qū)間上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為二階導(dǎo)數(shù)． 如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，那么可定義三階導(dǎo)數(shù)： ， 記作 ． 以此類(lèi)推，如果函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，那么可定義階導(dǎo)數(shù)： ， 記作 ． 習(xí)慣上，稱(chēng)為的一階導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)．有時(shí)也把函數(shù)本身稱(chēng)為的零階導(dǎo)數(shù)，即． 注：由高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)數(shù)，所以前面學(xué)到的求導(dǎo)方法對(duì)于計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)同樣適用． 定理4 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，那么 （1）． （2），其中． 特別地，（為常數(shù)）． 定理4中的（2）式稱(chēng)為萊布尼茲（Leibniz）公式． 例16 設(shè)，求． 解 ，，，． 一般地，設(shè)，則． 例17 設(shè)，求． 解 ，，，，…， 由歸納法可得 ． 特別地，當(dāng)時(shí)，． 例18 設(shè)，求． 解 ， ， ， ， ，…， 由歸納法可得 ． 類(lèi)似地，可得 ． 例19 設(shè)，求． 解 ，，，，…， 由歸納法可得 ． 例20 設(shè)（為任意常數(shù)），求． 解 ，，， ，…， 由歸納法可得 ． 特別地，當(dāng)時(shí)，可得 ． 而 ． 例21 設(shè)，求． 解 ． 例22 設(shè)，求． 解 設(shè)，則 ， ． 由萊布尼茲公式，可得 ． 2.5 導(dǎo)數(shù)公式與基本求導(dǎo)法則 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等在初等函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算中起著重要的作用．為了便于查閱，現(xiàn)在把這些導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則歸納如下： 2.5.1 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （1）（為常數(shù)）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）． 2.5.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo)，則 （1）； （2）； （3）（為常數(shù)）； （4）； （5）． 2.5.3 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 或 ． 2.5.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 或 ． 2.5.5 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 如果函數(shù)和都在點(diǎn)處具有階導(dǎo)數(shù)，那么 （1）． （2），其中． 特別地，（為常數(shù)）． 習(xí)題2-2 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）. 2. 求曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）. 4. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）. 5. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 6. 求下列函數(shù)所指定階的導(dǎo)數(shù). （1），求； （2），求. 第3節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 以解析式的形式確定的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)．例如 ，． 以二元方程的形式確定的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)．例如 ，． 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，稱(chēng)為隱函數(shù)的顯化．例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)．但隱函數(shù)的顯化有時(shí)候是困難的，甚至是不可能的．例如方程所確定的隱函數(shù)就難以化成顯函數(shù)． 但在很多情況下，需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，我們希望找到一種方法，不論隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 隱函數(shù)求導(dǎo)的基本思想是：把方程中的看成自變量的函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，在方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，然后整理變形解出即可．的結(jié)果中可同時(shí)含有和．若將看成自變量，同理可求出． 例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得 ， 從而 ． 例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得 ， 從而 ． 例3 求橢圓曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程． 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，故．從而，切線斜率和法線斜率分別為 ，． 所求切線方程為 ， 即 ． 法線方程為 ， 即 ． 例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)． 解 方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得 ， 從而 ． 上式兩端再對(duì)求導(dǎo)，得 ． 3.2 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)于以下兩類(lèi)函數(shù)： （1）冪指函數(shù)，即形如的函數(shù)． （2）函數(shù)表達(dá)式是由多個(gè)因式的積、商、冪構(gòu)成的． 要求它們的導(dǎo)數(shù)，可以先對(duì)函數(shù)式兩邊取自然對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，這種方法稱(chēng)為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法． 例5 設(shè)，求． 解 函數(shù)兩端取自然對(duì)數(shù)，得 ， 兩端分別對(duì)求導(dǎo)，得 ， 所以 ． 例6 設(shè)，求． 解 先在函數(shù)兩端取絕對(duì)值后再取自然對(duì)數(shù)，得 ， 兩端分別對(duì)求導(dǎo)，得 ， 即 ． 容易驗(yàn)證，例6中的解法，若省略取絕對(duì)值這一步所得的結(jié)果是相同的，因此，在使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，常省略取絕對(duì)值的步驟． 3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一般地，若參數(shù)方程 確定了與之間的函數(shù)關(guān)系，則稱(chēng)此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)． 定理1 設(shè)參數(shù)方程，其中均可導(dǎo)，且函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，，則有 或 ． 證明 因?yàn)楹瘮?shù)嚴(yán)格單調(diào)，所以其存在反函數(shù)．又因?yàn)榭蓪?dǎo)且，故也可導(dǎo)，且有．對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，可得 ． 如果還是二階可導(dǎo)的，那么由定理1可得到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)公式： ， 即 ． 例7 設(shè)，求． 解 因?yàn)? 所以 ． 例8 求星形線在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程（圖2-2）． 圖2-2 解 由可得 ， 星形線在點(diǎn)處的切線斜率和法線斜率分別為 ，． 從而，所求切線方程為 ， 即 ． 所求法線方程為 ， 即 ． 例9 設(shè)，求． 解 （方法一）因?yàn)? ， 所以 ． （方法二）由于，代入公式可得 ． 3.4 由極坐標(biāo)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 研究函數(shù)與的關(guān)系通常是在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行的，但在某些情況下，使用極坐標(biāo)系則顯得比直角坐標(biāo)系更簡(jiǎn)單． 如圖2-3所示，從平面上一固定點(diǎn)，引一條帶有長(zhǎng)度單位的射線，這樣在該平面內(nèi)建立了極坐標(biāo)系，稱(chēng)為極點(diǎn)，為極軸．設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度稱(chēng)為極徑，記為，極軸到線段的轉(zhuǎn)角（逆時(shí)針）稱(chēng)為極角，記為，稱(chēng)有序數(shù)組為點(diǎn)的極坐標(biāo)． 圖2-3 若一平面曲線上所有點(diǎn)的極坐標(biāo)都滿足方程，且坐標(biāo)滿足方程的所有點(diǎn)都在平面曲線上，則稱(chēng)為曲線的極坐標(biāo)方程． 將極軸與直角坐標(biāo)系的正半軸重合，極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為，則兩者有如下關(guān)系： 或． 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得曲線的參數(shù)方程為 ， 其中為參數(shù)．由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式，可得 ． 例10 求心形線在處的切線方程（圖2-4）． 圖2-4 解 由極坐標(biāo)的求導(dǎo)公式得 ． 當(dāng)時(shí)， ，， ， 所以，所求切線方程為 ， 即 ． 習(xí)題2-3 1. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 2. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 3. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). （1）； （2）. 4. 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 5. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的指定階的導(dǎo)數(shù). （1），求； （2），求； （3），求； （4），求. 6. 求四葉玫瑰線（為常數(shù)）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程. 第4節(jié) 函數(shù)的微分 4.1 微分的概念 在許多實(shí)際問(wèn)題中，要求研究當(dāng)自變量發(fā)生微小改變時(shí)所引起的相應(yīng)的函數(shù)值的改變． 例如，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到（圖2-5），問(wèn)此薄片的面積改變了多少？當(dāng)很微小時(shí)，正方形的面積改變的近似值是多少？ 圖2-5 設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為，面積為，則與存在函數(shù)關(guān)系．當(dāng)邊長(zhǎng)由變到，正方形金屬薄片的面積改變量為 從上式可以看出，分為兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，第二部分是圖中右上角的小正方形的面積，當(dāng)時(shí)，第二部分是比高階的無(wú)窮小量，即．因此，當(dāng)很微小時(shí)，我們用近似地表示，即．故是正方形的面積改變的近似值． 定義1 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量 可表示為 ， 其中是不依賴(lài)于的常數(shù)，那么稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記為 或． 4.2 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 定理1 函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，其微分一定是． 證明 （必要性）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，即，其中是不依賴(lài)于的常數(shù)．上式兩邊用除之，得 ， 當(dāng)時(shí)，對(duì)上式兩邊取極限就得到 ． 即．因此，若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)一定可導(dǎo)，且． （充分性）函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，即 存在，根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，上式可寫(xiě)成 ， 其中（當(dāng)時(shí)），從而 ， 其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，比是高階無(wú)窮小，所以在點(diǎn)也是可微的． 根據(jù)微分的定義和定理1可得以下結(jié)論： （1）函數(shù)在點(diǎn)處的微分就是當(dāng)自變量產(chǎn)生增量時(shí)，函數(shù)的增量的主要部分（此時(shí)）．由于是的線性函數(shù)，故稱(chēng)微分是的線性主部．當(dāng)很微小時(shí)，更加微小，從而有近似等式． （2）函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的，故求導(dǎo)法又稱(chēng)微分法．但導(dǎo)數(shù)與微分是兩個(gè)不同的概念，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在處的變化率，其值只與有關(guān)；而微分是函數(shù)在處增量的線性主部，其值既與有關(guān)，也與有關(guān)． 定義2 函數(shù)在任意點(diǎn)處的微分，稱(chēng)為函數(shù)的微分，記作或，即． 通常把自變量的增量稱(chēng)為自變量的微分，記作，即．因此，函數(shù)的微分可以寫(xiě)成 或． 從而有 或． 因此，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．所以，導(dǎo)數(shù)又稱(chēng)微商． 例1 設(shè)函數(shù)，（1）求；（2）若，求和． 解 （1）由微分的定義可得 ． （2）將代入（1）的結(jié)果，可得 ； ． 4.3 微分的幾何意義 在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖形是一條曲線，對(duì)于曲線上某一確定的點(diǎn)，當(dāng)自變量有微小增量時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn)（圖2-6）．過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，它的傾斜角為，則有 ， . 圖2-6 由此可見(jiàn)，對(duì)于可微函數(shù)，當(dāng)是曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，微分就是曲線在點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量．當(dāng)很小時(shí)，比小得多，因此在點(diǎn)的鄰近，可以用近似代替，進(jìn)而可以用切線段來(lái)近似代替曲線段． 4.4 微分公式與微分運(yùn)算法則 由函數(shù)的微分表達(dá)式可得，只要先計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分就可以計(jì)算出函數(shù)的微分．因此可得如下的微分公式和微分運(yùn)算法則． 4.4.1 基本初等函數(shù)的微分公式 （1）（為常數(shù)）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）． 4.4.2 微分的運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù)和都可導(dǎo)，則 （1）； （2）； （3）（為常數(shù)）； （4）． 4.4.3 復(fù)合函數(shù)的微分法則 設(shè)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的微分為 ． 由此可見(jiàn)，無(wú)論是自變量還是中間變量，微分形式保持不變．這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性． 例2 設(shè)，求． 解 （方法一）令，，則利用微分形式不變性，可得 ． （方法二）若不引入中間變量，則 ． 4.4.4 隱函數(shù)的微分 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的微分． 解 對(duì)方程兩邊分別求微分，有 ， 即 ， ， 從而，可得 ． 4.5 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 根據(jù)前面的討論可知，如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，且很小時(shí)，那么有 ， （2-4-1） 公式（2-4-1）可以改寫(xiě)為 ， （2-4-2） 或 ． （2-4-3） 在（2-4-3）式中令，即，則可得 ． （2-4-4） 如果和都容易計(jì)算，則可以利用（2-4-1）式來(lái)近似計(jì)算，利用（2-4-3）式來(lái)近似計(jì)算，以及利用（2-4-4）式來(lái)近似計(jì)算． 若在（2-4-4）式中令，則有 ． （2-4-5） 從而，當(dāng)很小時(shí)，可用（2-4-5）式推得以下幾個(gè)常用的近似公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 例4 一個(gè)內(nèi)直徑為的球殼體，球殼的厚度為，問(wèn)球殼體的體積的近似值為多少？ 解 半徑為的球體體積為 ． 由于，故就是球殼體的體積．用作為其近似值，則 ． 所以球殼體的體積的近似值為． 例5 計(jì)算的近似值． 解 設(shè)，則．取，則 ． 例6 計(jì)算的近似值． 解 由于，而，其值較小，故利用近似公式，可得 ． 習(xí)題2-4 1.已知函數(shù)，計(jì)算在處，當(dāng)時(shí)的和. 2. 求下列函數(shù)的微分. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 3. 求由方程所確定的函數(shù)的微分. 4. 利用微分計(jì)算下列近似值. （1）； （2）. 5．設(shè)扇形的圓心角，半徑．如果不變，減少，問(wèn)扇形面積大約改變了多少？又如果不變，增加，問(wèn)扇形面積大約改變了多少？ 6．有一批半徑為的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，銅的厚度定為，估計(jì)一下每只球需用銅多少（銅的密度為）？ 第5節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 由于導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率，所以現(xiàn)實(shí)生活中很多涉及變化率的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題．因此導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用是非常廣泛的． 5.1 相關(guān)變化率 定義1 若及為可導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)由，確定，則變化率與稱(chēng)為相關(guān)變化率． 相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率． 例1 一氣球從離開(kāi)觀察員500 m處離地面鉛直上升，其速度為，當(dāng)氣球高度為500 m時(shí)，觀察員視線的仰角增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升分鐘后其高度為，觀察員視線的仰角為，則 ． 上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，可得 ． 當(dāng)時(shí)，，即．又因?yàn)?，所? ． 即此時(shí)觀察員視線的仰角增加率是． 例2 平靜的水面由于石頭的落入而產(chǎn)生同心波紋，如果最外一圈波紋半徑的增大率總是，問(wèn)在末水面擾動(dòng)面積的增大率是多少？ 解 設(shè)時(shí)最外一圈波紋半徑為，此時(shí)水面擾動(dòng)面積為，則 ． 上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，可得 ． 當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，所以? ． 即在末水面擾動(dòng)面積的增大率是 5.2 經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 5.2.1 邊際與邊際分析 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際概念是與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)概念，它反映的是一種經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一種經(jīng)濟(jì)變量的變化率． 定義2 設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，則稱(chēng)導(dǎo)函數(shù)為的邊際函數(shù)．稱(chēng)為邊際函數(shù)在處的邊際函數(shù)值． 下面介紹經(jīng)濟(jì)分析中幾個(gè)常用的邊際函數(shù)： 1. 邊際成本 定義3 總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際成本． 邊際成本表示當(dāng)已生產(chǎn)了個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再增加一個(gè)單位產(chǎn)品使總成本增加的數(shù)量． 例3 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位的總成本為，試求當(dāng)時(shí)的總成本及邊際成本，并解釋邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義． 解 由，可得邊際成本函數(shù)為 ． 當(dāng)時(shí)，總成本為，邊際成本為． 經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量為10個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位產(chǎn)量，總成本需再增加5個(gè)單位． 2. 邊際收益 定義4 總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際收益． 邊際收益表示銷(xiāo)售個(gè)單位產(chǎn)品后，再多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加的總收益． 例4 某產(chǎn)品的價(jià)格與銷(xiāo)售量的關(guān)系為，求時(shí)的總收益及邊際收益，并解釋邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義． 解 總收益函數(shù)為 ， 邊際收益函數(shù)為 ． 當(dāng)時(shí)，總收益為，邊際收益為． 經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)銷(xiāo)售量為30個(gè)單位時(shí)，再多銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益將減少2個(gè)單位（或者說(shuō)，再少銷(xiāo)售一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益將少損失2個(gè)單位）． 3. 邊際利潤(rùn) 定義5 總利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為邊際利潤(rùn)． 邊際利潤(rùn)表示若已經(jīng)生產(chǎn)了個(gè)單位的產(chǎn)品，再多生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)所增加的總利潤(rùn)． 例5 某煤炭公司每天生產(chǎn)煤噸的總成本函數(shù)為 ， 如果每噸煤的銷(xiāo)售價(jià)為490元，求 （1）邊際成本； （2）總利潤(rùn)函數(shù)以及邊際利潤(rùn)； （3）當(dāng)噸時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． 解 （1）由，可得邊際成本為 ． （2）因?yàn)榭偸杖牒瘮?shù)為，所以總利潤(rùn)函數(shù)為 ， 故邊際利潤(rùn)為 ． （3）當(dāng)噸時(shí)，邊際利潤(rùn)為． 經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)每天煤的產(chǎn)量在1000噸的基礎(chǔ)上再增加一噸時(shí)，總利潤(rùn)沒(méi)有增加． 5.2.2 彈性與彈性分析 彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個(gè)重要概念，它是用來(lái)定量地描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)程度． 定義6 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比稱(chēng)為函數(shù)在與兩點(diǎn)間的彈性，或兩點(diǎn)間的相對(duì)變化率． 當(dāng)時(shí)，的極限 稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的彈性或相對(duì)變化率，記為或． 對(duì)于一般的，如果可導(dǎo)，且，則有 ， 它是的函數(shù)，稱(chēng)之為的彈性函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)彈性． 注：表示在點(diǎn)處，當(dāng)改變時(shí)，函數(shù)改變． 下面介紹經(jīng)濟(jì)分析中常見(jiàn)的彈性函數(shù)： 1. 需求的價(jià)格彈性 定義7 設(shè)某商品的需求函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示需求量）在點(diǎn)處可導(dǎo)，，由于一般情形下單調(diào)減少，和符號(hào)相反，且為正數(shù)，故和均為非正數(shù)，為了用正數(shù)表示彈性，我們稱(chēng) 為該商品在和兩點(diǎn)間的需求的價(jià)格彈性．稱(chēng) 為該商品在點(diǎn)處的需求的價(jià)格彈性函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為需求彈性． 根據(jù)需求彈性的大小，可分為下面三種情況： （1）當(dāng)時(shí)，稱(chēng)需求富有彈性，此時(shí)需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量的影響較大． （2）當(dāng)時(shí)，稱(chēng)需求有單位彈性，此時(shí)需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度． （3）當(dāng)時(shí)，稱(chēng)需求缺乏彈性，此時(shí)需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，價(jià)格變動(dòng)對(duì)需求量的影響不大． 例6 已知某商品的需求函數(shù)為，求： （1），并解釋其經(jīng)濟(jì)意義； （2）需求彈性函數(shù)； （3）時(shí)的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． 解 （1）當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)時(shí)，有，從而 ， 故 ． 其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)商品價(jià)格從30降到25時(shí)，在該區(qū)間內(nèi)，價(jià)格從30每降低1%，需求量從40平均增加1.2%． （2）因?yàn)?，所以需求彈性函?shù) ． （3）時(shí)的需求彈性為． 其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)時(shí)，價(jià)格每上漲（下跌）1%，需求量則減少（增加）1%． 2. 供給的價(jià)格彈性 定義8 設(shè)某商品的供給函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示供給量）在點(diǎn)處可導(dǎo)，，則稱(chēng) 為該商品在和兩點(diǎn)間的供給彈性．稱(chēng) 為該商品在點(diǎn)處的供給的價(jià)格彈性函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為供給彈性． 注：由于供給函數(shù)一般為價(jià)格的遞增函數(shù)，故當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，供給量相應(yīng)增加；當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)，供給量相應(yīng)減少． 例7 設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求： （1）供給彈性函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)的供給彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． 解 （1）因?yàn)?，所以供給彈性函數(shù)為 ． （2）時(shí)的供給彈性為． 其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)時(shí)，價(jià)格再上漲（下跌）1%，供應(yīng)量將增加（減少）6%． 3. 收益的價(jià)格彈性 定義9 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示需求量），則收益關(guān)于價(jià)格的函數(shù)為，稱(chēng) 為該商品在點(diǎn)處的收益的價(jià)格彈性函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為收益彈性． 例8 已知某商品的需求函數(shù)為，求： （1）該商品的收益彈性函數(shù)； （2）時(shí)的收益彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． 解 （1）商品的收益函數(shù)為，從而收益彈性函數(shù)為 ． （2）時(shí)的收益彈性為． 其經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)時(shí)，價(jià)格再上漲（下跌）1%，總收益將減少（增加）0.5%． 習(xí)題2-5 1. 氣球充氣時(shí)，其半徑以的速度增大，假設(shè)在充氣過(guò)程中氣球始終保持球形，求時(shí)氣球體積的變化率. 2. 注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為，當(dāng)水深為時(shí)，其表面上升的速率為多少？ 3. 已知某商品的成本函數(shù)為，求當(dāng)時(shí)的總成本及邊際成本. 4. 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中為價(jià)格，為銷(xiāo)售量，求銷(xiāo)售量為15個(gè)單位時(shí)的總收益和邊際收益. 5. 已知某商品的需求函數(shù)為，求： （1），并解釋其經(jīng)濟(jì)意義； （2）需求彈性函數(shù)； （3）、和，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． 6. 設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求： （1）供給彈性函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)的供給彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． 7. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)（表示商品價(jià)格，表示需求量），收益函數(shù)為，證明 ． 8. 已知某公司生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的某種電器的需求彈性在之間，如果該公司計(jì)劃在下一年度內(nèi)將價(jià)格降低，試求這種電器的銷(xiāo)售量將會(huì)增加多少？總收益將會(huì)增加多少？ 第6節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用 MATLAB符號(hào)工具箱中提供的函數(shù)diff可以求取一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)，也可求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 函數(shù)diff的調(diào)用格式如下： D= diff(fun,x,n) 參數(shù)說(shuō)明：D是求得的導(dǎo)數(shù)， fun是函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，x是符號(hào)變量，n是求導(dǎo)階數(shù)，若n缺省，其默認(rèn)值為1． 在MATLAB中還可以使用函數(shù)subs來(lái)計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值． 函數(shù)subs的調(diào)用格式如下： Z=subs(fun,old,new) 參數(shù)說(shuō)明：fun 是函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，old是符號(hào)變量，Z是在函數(shù)fun中用變量new替換old后所求得的導(dǎo)數(shù)值． 例1 求的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令： syms a x; daoshu=diff(log(x+sqrt(a^2+x^2)), 'x' ); daoshu=simplify(daoshu) % 使輸出的結(jié)果簡(jiǎn)單化 輸出結(jié)果： daoshu=1/(a^2+x^2)^(1/2) 例2 求的5階導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令： syms x; daoshu5=diff(exp(2*x),x,5) 輸出結(jié)果： daoshu5=32*exp(2*x) 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令： syms x y; z=exp(y)+x*y-exp(1); dydx=-diff(z,x)/diff(z,y) 輸出結(jié)果： dydx=-y/(x+exp(y)) 例4 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令： syms t x=exp(t)*cos(t); y=exp(t)*sin(t); daoshu=diff(y,t)/diff(x,t); daoshu=simplify(daoshu) 輸出結(jié)果： daoshu=(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t)) 例5 求的微分. 解 輸入命令： syms x; y=cos(3*x+2); dy=[char(diff(y)),'dx'] 輸出結(jié)果： dy=-3*sin(3*x+2)dx 例6 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值. 解 輸入命令： syms x f=x^3+4*sin(x); dfdx=diff(f,x); f_pi=subs(dfdx,x,pi) 輸出結(jié)果： f_pi=3*pi^2-4 總習(xí)題2 （A） 1. 一物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求下列各值： （1）物體在到這段時(shí)間的平均速度； （2）物體在時(shí)的速度. 2. 已知函數(shù)，，求. 3. 討論下列函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性. （1）； （2）. 4. 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，求的值. 5. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）. 7. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）. 8. 求由方程所確定的隱函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)． 9. 求曲線在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程． 10. 求下列函數(shù)的微分. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 11. 半徑為的金屬圓片加熱后，其半徑伸長(zhǎng)了，求其面積增大的精確值和近似值？ 12. 一長(zhǎng)度為的梯子斜靠在墻上順墻下滑．當(dāng)梯子下端在離墻時(shí)沿著地面以的速率離墻時(shí)，問(wèn)此時(shí)梯子上端下降的速率是多少？ 13. 溶液從深，頂直徑為的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中．已知開(kāi)始時(shí)漏斗中盛滿了溶液，且當(dāng)溶液在漏斗中深為時(shí)，其表面下降的速率為．問(wèn)此時(shí)圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？ 14. 設(shè)某廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為元，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的可變成本為元，如果每單位產(chǎn)品的售價(jià)為元，求: （1）邊際成本； （2）總利潤(rùn)函數(shù)以及邊際利潤(rùn)； （3）邊際利潤(rùn)為零的產(chǎn)量. 15. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為（其中為價(jià)格），求： （1）需求彈性函數(shù)； （2）時(shí)的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義． （B） 一、選擇題． 1.（2007、數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（ ）． （A）若存在，則 （B）若存在，則 （C）若存在，則存在 （D）若存在，則存在 2.（2012、數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 3.（2011、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 4. （2006、數(shù)學(xué)二）設(shè)函數(shù)可微，，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 5.（2007、數(shù)學(xué)三）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表示需求量和價(jià)格，如果該商品需求彈性的絕對(duì)值等于1，那么商品的價(jià)格是（ ）． （A）10 （B）20 （C）30 （D）40 二、填空題． 1.（2006、數(shù)學(xué)三）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則_______. 2.（2010、數(shù)學(xué)二）函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)_______. 3.（2011、數(shù)學(xué)三）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______. 4.（2008、數(shù)學(xué)一）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______. 5.（2013、數(shù)學(xué)二）設(shè)上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線方程為_(kāi)_____. 6.（2007、數(shù)學(xué)二）曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_(kāi)______. 7. （2014、數(shù)學(xué)二）曲線的極坐標(biāo)方程為，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_____. 8.（2013、數(shù)學(xué)一）設(shè)，為參數(shù)，則_______. 9.（2012、數(shù)學(xué)二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_______. 10. （2012、數(shù)學(xué)三）設(shè)函數(shù)，則_______. 11.（2009、數(shù)學(xué)二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_______. 12.（2006、數(shù)學(xué)二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_______. 13.（2010、數(shù)學(xué)二）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)以的速率增加，寬以的速率增加，則當(dāng)時(shí)，它的對(duì)角線增加的速率為_(kāi)______. 14.（2014、數(shù)學(xué)三）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中為商品價(jià)格，則該商品的邊際收益為_(kāi)_____. 15.（2009、數(shù)學(xué)三）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其對(duì)價(jià)格的彈性為，則當(dāng)需求量為件時(shí)，價(jià)格增加1元會(huì)使產(chǎn)品收益增加______元． 三、解答題． 1.（2007、數(shù)學(xué)二）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程確定，設(shè)，求. 50