姜啟源第四版《數(shù)學(xué)模型》第6章代數(shù)方程與差分方程模型

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1、,6.1 投入產(chǎn)出模型 6.2 CT技術(shù)的圖像重建 6.3 原子彈爆炸的能量估計 6.4 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 6.5 減肥計劃節(jié)食與運動 6.6 按年齡分組的種群增長,第六章 代數(shù)方程與差分方程模型,國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間存在著相互依存和制約關(guān)系，每個部門將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）.,根據(jù)各部門間投入和產(chǎn)出的平衡關(guān)系，確定各部門的產(chǎn)出水平以滿足社會的需求 .,20世紀(jì)30年代由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究.,從靜態(tài)擴(kuò)展到動態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大 .,6.1 投入產(chǎn)出模型,背景,建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用.,投入產(chǎn)出表,

2、國民經(jīng)濟(jì)各部門間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系,,,中國2002年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元）,直接消耗系數(shù)表,一個部門的單位產(chǎn)出對各個部門的直接消耗,中國2002年直接消耗系數(shù)表,由投入產(chǎn)出表直接得到,農(nóng)業(yè)每1億元產(chǎn)出直接消耗0.159億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品,直接消耗0.171億元工業(yè)產(chǎn)品,反映國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系,,投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型,,xi第i部門的總產(chǎn)出,di對第i部門的外部需求,xij第i部門對第j部門的投入,aij直接消耗系數(shù)第j部門單位產(chǎn)出對第i部門的直接消耗,xij第j部門總產(chǎn)出對第i部門的直接消耗,每個部門的總產(chǎn)出等于總投入,xj第j部門的總投入,設(shè)共有n個部門,,,,

3、,,技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高,模型應(yīng)用,問題1 如果某年對農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運輸郵電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000億元, 問這6個部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？,d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T,A由直接消耗系數(shù)表給出,6個部門的總產(chǎn)出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（億元）.,,求解,,模型應(yīng)用,,總產(chǎn)出對外部需求線性,,dd增加1個單位,x的增量,,若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1單位,x為 的第1列,6個部門的總產(chǎn)出分別增加1.2266，0

4、.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325單位.,問題2 如果6個部門的外部需求分別增加1個單位, 問它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？,求解,其余外部需求增加1單位,x為 的其余各列,6.2 CT技術(shù)的圖像重建,CT(計算機(jī)斷層成像 )技術(shù)是20世紀(jì)50至70年代由美國科學(xué)家科馬克和英國科學(xué)家豪斯費爾德發(fā)明的.,1971年第一代供臨床應(yīng)用的CT設(shè)備問世.,螺旋式CT機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用.,CT技術(shù)在工業(yè)無損探測、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用.,背景,什么是CT，它與傳統(tǒng)的X射線成像有什么區(qū)別？,一個半透明物體嵌入5個不同透明度的球,概念圖示,單

5、方向觀察無法確定球的數(shù)目和透明度,讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度觀察能分辨出5個球及各自的透明度,人體內(nèi)臟,膠片,傳統(tǒng)的X射線成像原理,CT技術(shù)原理,探測器,X射線,X光管,人體內(nèi)臟,CT技術(shù): 在不同深度的斷面上,從各個角度用探測器接收旋轉(zhuǎn)的X光管發(fā)出、穿過人體而使強(qiáng)度衰減的射線;,經(jīng)過測量和計算將人體器官和組織的影像重新構(gòu)建.,圖像重建,X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理,射線強(qiáng)度的衰減率與強(qiáng)度成正比.,I射線強(qiáng)度,l物質(zhì)在射線方向的厚度,物質(zhì)對射線的衰減系數(shù),I0入射強(qiáng)度,射線沿直線L穿行, 穿過由不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的非均勻物體(人體器官).,,,,X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理,右端數(shù)值可

6、從CT 的測量數(shù)據(jù)得到,,多條直線L的線積分,,FQ(q)與Q相距q的直線L的線積分Pf(L)對所有q的平均值,拉東變換,,,拉東逆變換,圖像重建,數(shù)學(xué)原理,實際上只能在有限條直線上得到投影(線積分).,圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為CT技術(shù)在各個領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件.,圖像重建的代數(shù)模型,每個像素對射線的衰減系數(shù)是常數(shù),m個像素(j=1,, m),,n束射線(i=1,,n),Li的強(qiáng)度測量數(shù)據(jù),j像素j的衰減系數(shù),lj射線在像素j中的穿行長度,J(Li)射線Li穿過的像素j的集合,,圖像重建的代數(shù)模型,常用算法,設(shè)像素的邊長和射線的寬度均為,中心線法,aij射線Li的中心

7、線在像素j內(nèi)的長度lij與之比.,,面積法,aij射線Li的中心線在像素j內(nèi)的面積sij與之比.,,中心法,aij=1射線Li經(jīng)過像素j的中心點.,圖像重建的代數(shù)模型,中心法的簡化形式,假定射線的寬度為零, 間距,aij=1 Li經(jīng)過像素j內(nèi)任一點,,根據(jù)A和b, 由 確定像素的衰減系數(shù)向量x,m和n很大且m n, 方程有無窮多解,+ 測量誤差和噪聲,在x和e滿足的最優(yōu)準(zhǔn)則下估計x,代數(shù)重建技術(shù)(ART),,6.3 原子彈爆炸的能量估計,1945年7月16日美國科學(xué)家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈, 震驚世界!,當(dāng)時資料是保密的, 無法準(zhǔn)確估計爆炸的威力.,英國物理學(xué)家

8、泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶, 利用數(shù)學(xué)模型估計這次爆炸釋放的能量為19.2千噸.,后來公布爆炸實際釋放的能量21千噸,泰勒測量： 時刻t 所對應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r,原子彈爆炸的能量估計,爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).,沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來.,泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型, 輔以小型試驗,又利用測量數(shù)據(jù)對爆炸的能量進(jìn)行估計.,物理量的量綱,長度 l 的量綱記 L=l,質(zhì)量 m的量綱記 M=m,時間 t 的量綱記 T=t,動力學(xué)中基本量綱 L, M, T,,速度 v 的量綱 v=LT-1,導(dǎo)出量綱,,加速度 a

9、 的量綱 a=LT-2,力 f 的量綱 f=LMT-2,引力常數(shù) k 的量綱 k,對無量綱量，=1(=L0M0T0),量綱齊次原則,=fl2m-2=L3M-1T-2,在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.,量綱齊次原則,等式兩端的量綱一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.,例：單擺運動,求擺動周期 t 的表達(dá)式,設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無量綱量,,,(1)的量綱表達(dá)式,與 對比,,,對 x,y,z的兩組量測值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p

10、2 = f( x2, y2,z2 ),,,為什么假設(shè)這種形式?,設(shè)p= f(x,y,z),,x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,量綱齊次原則,單擺運動,單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式,,,基本解,,設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2,, m-r,F( 1, 2,, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價, F未定.,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, Xn 是基本量綱, nm, q1, q2, qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,記爆

11、炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個球形.,時刻 t 球的半徑為 r,t, E,空氣密度, 大氣壓強(qiáng)P,基本量綱：L, M, T,,,原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模,r與哪些因素有關(guān)？,量綱矩陣,,y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T,原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模,,,,,,原子彈爆炸能量估計的數(shù)值計算,時間 t 非常短 能量 E 非常大,泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗的數(shù)據(jù)建議,用r, t 的實際數(shù)據(jù)做平均,空氣密度 =1.25 (kg/m3),1千噸(TNT能量) = 4.184*1012焦?fàn)?,實際值21千噸,泰勒的計算,,最小

12、二乘法擬合 r=atb,,E=8.02761013 (焦耳)即19.2千噸,取y平均值得c=6.9038,,模型檢驗,b=0.4058,2/5,量綱分析法的評注,物理量的選取,基本量綱的選取,基本解的構(gòu)造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.,基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱.,有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解.,方法的普適性,函數(shù)F和無量綱量未定.,不需要特定的專業(yè)知識.,物理模擬示例：波浪對航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l, 浸沒面積 s, 海水密度, 重力加速度g .,量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用,物理模擬: 按照一定的比例尺寸構(gòu)造它的物理模型,通過

13、對模型的研究得出原型的結(jié)果.,量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸的確定.,,物理模擬示例：波浪對航船的阻力,定理,,原型船,模型船,模型船的 均已知,當(dāng)原型船的 給定后計算 f,物理模擬,,,物理模擬示例：波浪對航船的阻力,原型船,模型船,,模擬條件,量測模型船阻力f，可計算 f.,無量綱化示例：火箭發(fā)射,星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v, 星球半徑r, 星球表面重力加速度g.,研究火箭高度 x 隨時間 t 的變化規(guī)律.,t=0 時 x=0, 火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量m2,牛頓第二定律，萬有引力定律,,3個獨立參數(shù),用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),用參數(shù)r,v,g的組合,分

14、別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc, tc （特征尺度）,無量綱變量,如,令,xc, tc的不同構(gòu)造,1）令,,為無量綱量,,用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),3）令,,2）令,,用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),1) 2) 3) 的共同點,1) 2) 3) 的重要差別,考察無量綱量,,,在1) 2) 3) 中能否忽略以為因子的項？,1),無解,無量綱化方法,2),3),1) 2) 3) 的重要差別,無量綱化方法,,原問題,,是原問題的近似解,1) 2) 3) 的重要差別,無量綱化方法,為什么3)能忽略項，得到原問題近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到達(dá)最高點時間為v/g, 高度為v2/2g,

15、,大體上具有單位尺度,,無量綱化方法,選擇特征尺度的一般討論見：林家翹著自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué),無 量 綱 化,無量綱化是研究物理問題常用的數(shù)學(xué)方法.,選擇特征尺度主要依賴于物理知識和經(jīng)驗.,恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨立參數(shù)個數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.,6.4 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型,問 題,供大于求,現(xiàn) 象,商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?,當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?,,描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律.,商品數(shù)量與價格在振蕩,蛛 網(wǎng) 模 型,xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格.,消費者的需求關(guān)系,生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系,減函數(shù),增函數(shù),f與g的交點

16、P0(x0,y0) 平衡點,一旦xk=x0，則yk=y0,,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,,設(shè)x1偏離x0,x1,,,,,,,,P0是穩(wěn)定平衡點,P0是不穩(wěn)定平衡點,,曲線斜率,蛛 網(wǎng) 模 型,,在P0點附近用直線近似曲線,,,P0穩(wěn)定,P0不穩(wěn)定,,,方 程 模 型,方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致, 商品數(shù)量減少1單位, 價格上漲幅度, 價格上漲1單位, (下時段)供應(yīng)的增量,考察 , 的含義, 消費者對需求的敏感程度, 生產(chǎn)者對價格的敏感程度,小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定, 小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定,結(jié)果解釋,xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格.,結(jié)果解釋,經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時

17、政府的干預(yù)辦法,1. 使 盡量小，如 =0,以行政手段控制價格不變,2. 使 盡量小，如 =0,靠經(jīng)濟(jì)實力控制數(shù)量不變,結(jié)果解釋,模型的推廣,生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段 的價格決定下一時段的產(chǎn)量.,生產(chǎn)者管理水平提高,設(shè)供應(yīng)函數(shù)為,需求函數(shù)不變,,二階線性常系數(shù)差分方程,x0為平衡點,研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件,,方程通解,(c1, c2由初始條件確定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:,平衡點穩(wěn)定條件,比原來的條件 放寬了!,,模型的推廣,6.5 減肥計劃節(jié)食與運動,背景,多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.,通過

18、控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\動，在不傷害身體 的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).,分析,體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.,飲食（吸收熱量）引起體重增加.,代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少.,體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重; BMI30 肥胖.,模型假設(shè),1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡 增加體重1千克；,2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每千克 體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當(dāng)于70 千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式 有關(guān)；,4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1

19、.5千克, 每周吸收熱量不要小于10000千卡.,某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克.,第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少,直至達(dá)到下限（10000千卡）；,第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo).,2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運動，試安排計劃.,1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃.,減肥計劃,3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.,確定某甲的代謝消耗系數(shù),即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)體重,c(k) 第k周吸收熱量, 代謝消耗系數(shù)(因人而異),1）不運動情況的兩階段

20、減肥計劃,每周吸收20000千卡 w=100千克不變,,=1/8000(千克/千卡),第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡,第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克,,,吸收熱量為,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,基本模型,,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克.,運動 t=24 (每周跳舞8小時或自行車

21、10小時), 14周即可.,2）第二階段增加運動的減肥計劃,t每周運動時間(小時),取t=0.003, 即t=24,=1/8000(千克/千卡), =0.025,增加運動相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù),2）第二階段增加運動的減肥計劃,提高12%,減肥所需時間從19周降至14周,減少25%,這個模型的結(jié)果對代謝消耗系數(shù)很敏感.,應(yīng)用該模型時要仔細(xì)確定代謝消耗系數(shù) (對不同的人; 對同一人在不同的環(huán)境).,3）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案,每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變,,,不運動,運動(內(nèi)容同前),6.6 按年齡分組的種群增長,不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.,建立差分方程模型，

22、討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律.,假設(shè)與建模,種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,,n,時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,,以雌性個體數(shù)量為對象.,第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi,第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di,假設(shè) 與 建模,xi(k)時段k第i 年齡組的種群數(shù)量,按年齡組的分布向量,預(yù)測任意時段種群按年齡組的分布,Leslie矩陣(L矩陣),(設(shè)至少1個bi0),穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識,L矩陣存在正單特征根1，,若L矩陣存在bi, bi+10, 則,P的第1列是x*,,特征向量,解釋,L對角化,穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群

23、按年齡組的分布, 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關(guān)。, 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱固有增長率,,3）=1時, 各年齡組種群數(shù)量不變, 1個個體在整個存活期 內(nèi)的繁殖數(shù)量為1,穩(wěn)態(tài)分析,存活率 si是同一時段的 xi+1與 xi之比,（與si 的定義 比較）,,3）=1時,人口模型,連續(xù)型人口模型的離散形式,xi(k)k年i 歲的女性人數(shù)(模型只考慮女性人口).,bi(k)k年i 歲女性生育率(每人平均生育女兒數(shù)).,dii 歲女性死亡率，si=1-di存活率,i1, i2生育區(qū)間,k年育齡女性平均生育女兒數(shù),總合生育率(生育胎次),年齡分布向量,hi生育模式,人口模型,存活率矩陣,生育模式矩陣,x(k)狀態(tài)變量, (k)控制變量,雙線性方程(對x(k), (k)線性),原模型,