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1、第4講推理與證明,專題四數列、推理與證明,,欄目索引,1.(2016山東)觀察下列等式：,,高考真題體驗,1,2,,解析答案,1,2,2.(2016課標全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是________.,解析由丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數字不是1”， 所以乙只可能為“2和3”， 所以由甲說“我與乙的卡片上相
2、同的數字不是2”，所以甲只能為“1和3”.,,解析答案,1,2,1和3,1.以數表、數陣、圖形為背景與數列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現. 2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函數、數列及不等式等綜合命題.,考情考向分析,,返回,熱點一歸納推理,1.歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理. 2.歸納推理的思維過程如下：,,熱點分類突破,,可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(8,12)____________.,288,解析答案,,思維升華,解析答
3、案,歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后予以證明，這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用.其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關鍵在于正確的歸納猜想.,思維升華,跟蹤演練1(1)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是(),,解析,,A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85,解析由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數和能被5整除的座位號臨窗， 由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗， 分析答
4、案中的4組座位號，只有D符合條件.,(2)觀察下列等式：,,解析觀察所給等式的左側和右側并歸納推理，可以得到答案.,解析答案,熱點二類比推理,1.類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理. 2.類比推理的思維過程如下：,A.1 B.2 C.3 D.4,,解析答案,,此時易知點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，,,思維升華,解析答案,解析設ABC中角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.,|sin Asin B|,由正弦定理，得e|sin Asin B|sin C.,類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似
5、性，有共同要素是產生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差數列與等比數列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比.,思維升華,,解析答案,,答案,解析,熱點三直接證明和間接證明,直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因導果，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設結論導出矛盾的證明方法.,,解析答案,解由已知得an1an1， 則an1an1，又a11， 所以數列an是以1為首項，1為公差的等差數列. 故an1(n1)1n.,證明由(1)知，ann，從而bn1bn2n. bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1,(
6、22n22n22n1)(22n222n11) 2n<0，,,思維升華,解析答案,,(1)有關否定性結論的證明常用反證法或舉出一個結論不成立的例子即可. (2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候分析法和綜合法交替使用.,思維升華,,解析答案,只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需證c2a2acb2， 又ABC三內角A，B，C成等差數列，故B60， 由余弦定理，得b2c2a22accos 60， 即b2c2a2ac， 故c2a2acb2成立 于是原等式成立,,解析答案,解a11，d2，a47，am2m1.,a10
7、，d0，m25.,又a10，d0，am1a1mdd，,,返回,解析答案,,1,2,3,1.將正整數作如下分組： (1)， (2,3)， (4,5,6)， (7,8,9,10)， (11,12,13,14,15)， (16,17,18,19,20,21)， (22,23,24,25,26,27,28)， ,高考押題精練,,分別計算各組包含的正整數的和，如下所示： S11， S2235， S345615， S47891034， S5111213141565， S6161718192021111， S722232425262728175， ,押題依據,1,2,3,試猜測S1S3S5S2 015___
8、_____.,答案,1 0084,解析,,押題依據數表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數表中對應的各組包含的正整數的和的計算為依托，圍繞簡單的計算、歸納猜想的應用等，考查考生歸納猜想能力以及對邏輯推理證明步驟的掌握程度.,解析,1,2,3,解析由題意知，當n1時，S1114； 當n2時，S1S31624； 當n3時，S1S3S58134； 當n4時，S1S3S5S725644； 猜想：S1S3S5S2n1n4. S1S3S5S2 0151 0084.,1,2,3,1,2,3,,解析,押題依據根據n個等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點，相對而言，歸納推理在高考中出現的機率較大.,押題依據,答案,1,2,3,顯然式子中的分子與分母是對應的，分母為xn，分子是nn，,1,2,3,,解析答案,押題依據反證法是一種重要的證明方法，對含“至多”“至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時有涉及.,押題依據,3.設數列an是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和，證明：數列Sn不是等比數列.,返回,1,2,3,因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與q0矛盾， 故Sn不是等比數列.,,返回,
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