高中數(shù)學 第三章 數(shù)學歸納法與貝努利不等式 3_2 用數(shù)學歸納法證明不等式貝努利不等式課件 新人教B版選修4-5

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1、3.2用數(shù)學歸納法證明不等式,貝努利不等式,1.會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式. 2.會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式. 3.了解貝努利不等式的應(yīng)用條件.,1.用數(shù)學歸納法證明不等式 在不等關(guān)系的證明中,有多種多樣的方法,其中數(shù)學歸納法是最常用的方法之一,在運用數(shù)學歸納法證不等式時,推導“k+1”成立時,比較法、分析法、綜合法、放縮法等方法常被靈活地應(yīng)用. 【做一做1-1】 欲用數(shù)學歸納法證明:對于足夠大的正整數(shù)n,總有2nn3,n0為驗證的第一個值,則() A.n0=1 B.n0為大于1小于10的某個整數(shù) C.n010 D.n0=2 解析:n=1時,21;n=2時,41 000.故選C. 答案

2、:C,,,,,【做一做1-2】 用數(shù)學歸納法證明“ n N*,n1)”時,由n=k(k1)不等式成立推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項數(shù)是() A.2k-1B.2k-1 C.2kD.2k+1 解析:增加的項數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k. 答案:C,2.用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式 (1)定理1(貝努利不等式):設(shè)x-1,且x0,n為大于1的自然數(shù),則(1+x)n1+nx. (2)定理2:設(shè)為有理數(shù),x-1,若01,則(1+x)1+x.當且僅當x=0時等號成立. 名師點撥當指數(shù)推廣到任意實數(shù)且x-1時, 若01,則(1+x)1+x. 當且僅當x=0時等

3、號成立.,,,,,應(yīng)用數(shù)學歸納法證明不等式,從“n=k”到“n=k+1”證明不等式成立的技巧有哪些? 剖析:在用數(shù)學歸納法證明不等式的問題中,從“n=k”到“n=k+1”的過渡,利用歸納假設(shè)是比較困難的一步,它不像用數(shù)學歸納法證明恒等式問題一樣,只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來,而證明不等式的第二步中,從“n=k”到“n=k+1”,只用拼湊的方法,有時也行不通,因為對不等式來說,它還涉及“放縮”的問題,它可能需通過“放大”或“縮小”的過程,才能利用上歸納假設(shè),因此,我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來分析從“n=k”到“n=k+1”的變化,從中找到“放縮尺度”,準確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu).,題

4、型一,題型二,題型三,用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式,(1)求數(shù)列an的通項公式; (2)求證:對一切正整數(shù)n,不等式a1a2an<2n!恒成立. 分析:由題設(shè)條件知,可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求得an;第(2)問的證明,可以等價變形,視為證明新的不等式.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,反思利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n=k到n=k+1的變形.為滿足題目的要求,常常要采用“放”與“縮”等手段,但是放縮要有度,這是一個難點,解決這類問題一是要仔細觀察題目的結(jié)構(gòu),二是要靠經(jīng)驗積累.,題型一,題型二,題型三,用數(shù)學歸納法比較大小,分析:先通過n取比較小的

5、值進行歸納猜想,確定證明方向,再用數(shù)學歸納法證明.,題型一,題型二,題型三,當n=1時,21=212=1; 當n=2時,22=4=22; 當n=3時,23=852=25; 當n=6時,26=6462=36. 故猜測當n5(nN*)時,2nn2. 下面用數(shù)學歸納法進行證明: (1)當n=5時,顯然成立. (2)假設(shè)當n=k(k5,且kN*)時,不等式成立, 即2kk2(k5),則當n=k+1時, 2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1 =(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因為(k-1)22).,題型一,題型二,題型三,反思利用數(shù)學歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸

6、納出兩個量的大小關(guān)系,猜測出證明方向,再利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論成立.,題型一,題型二,題型三,用數(shù)學歸納法證明探索型不等式,題型一,題型二,題型三,(1)當n=1時,顯然成立. (2)假設(shè)當n=k(kN*,且k1)時,,題型一,題型二,題型三,反思用數(shù)學歸納法解決探索型不等式的思路是:觀察歸納猜想證明,即先通過觀察部分項的特點進行歸納,判斷并猜測出一般結(jié)論,然后用數(shù)學歸納法進行證明.,1 2 3 4,,,,,1下列選項中,不滿足12+23+34++n(n+1)3n2-3n+2的自然數(shù)n是() A.1B.1,2 C.1,2,3D.1,2,3,4 解析:將n=1,2,3,4分別代入驗證即可. 答案:C,1 2 3 4,,,,,答案:C,1 2 3 4,,,,,1 2 3 4,,,,,