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1、1,數(shù)列的概念,收斂數(shù)列的性質(zhì),小結(jié) 思考題 作業(yè),數(shù)列極限的概念,概念的引入,第二節(jié) 數(shù)列的極限,第一章 函數(shù)與極限,2,一、概念的引入,極限概念是從常量到變量,,從有限到無限,,即從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的關(guān)鍵.,極限的思想源遠流長.,莊子(約公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.,意思是:,一尺長的棍子,,第一天取其一半,,第二,天取其剩下的一半,,以后每天都取其剩下的一,半,,這樣永遠也取不完.,中寫道:,3,劉徽(三世紀)的“割圓術(shù)”中說:,意思是:,設(shè)給定半徑為1尺的圓,,從圓內(nèi)接正6邊,形開始,,每次把邊數(shù)加倍,,屢次用勾股定理.,求出,正12邊形、,
2、等等正多邊形的邊長,,正24邊形.,邊數(shù)越多,,圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近,,最后與,圓周重合,,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤,差了.,“割之彌細,所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”,4,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,,,5,如,定義,按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù),簡記為,通項(general,term),,或者一般項.,二、數(shù)列 (sequence of number) 的概念,6,可看作一動點在數(shù)軸上依次取,,,,,,,,,,,,,數(shù)列的(兩種)幾何表示法:,數(shù)列可看作自變量為正整數(shù) n的函數(shù):,整標函數(shù)或下標函數(shù),(1)數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一
3、個點列.,7,(2) 在平面上畫出自變量坐標軸和因變量坐標軸,,不可將這串點連成曲線.,,,,,則數(shù)列的幾何意義是,平面上一串分離的點.,8,,,三、數(shù)列極限的概念,即,問題,當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?,如果是,,當n無限增大時,,無限接近于1.,如何確定?,9,,如何用數(shù)學語言刻劃它.,可以要多么小就多么小,,則要看,?,“無限接近”,意味著什么?,只要n充分大,,小到什么要求.,當n無限增大時,,無限接近于1.,10,,,,11,定義,如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么小),,總存在正整數(shù)N,,使得對于 時的一切,不等式,成立.,收斂于a (converge
4、to a) .,或稱數(shù)列,記為,或,如果數(shù)列沒有極限,,就說數(shù)列發(fā)散(diverge).,12,xn有沒有極限,,一般地說,,但是一旦給出之后,,它就是確定了;,主要看“后面”的無窮多項.,(1),(2),(3),(4),“前面” 的有限項不起作用,,13,,,,,,,,,,,數(shù)列極限的幾何意義,,,,,,,,,數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理,需要預(yù)先知道極限值是多少.,和證明極限,而不是用來求極限,,因為這里,即,14,,例,所以,,證,15,例,證明數(shù)列 以 0為極限.,證,要使,由于,有,16,例,證,所以,,說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,17,例,證,為了
5、使,只需使,18,,1. 有界性,如,,有界;,無界.,定義,若存在正數(shù)M,,數(shù)n,恒有,稱為無界.,則稱數(shù)列 有界;,數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點 都落在,閉區(qū)間 上.,否則,,使得一切自然,四、收斂數(shù)列的性質(zhì),19,,,定理1,證,由定義,,有界性是數(shù)列收斂的必要條件,,推論,收斂的數(shù)列必定有界.,無界數(shù)列必定發(fā)散.,不是充分條件.,20,,,2. 唯一性,定理2,證,由定義,,故收斂數(shù)列極限唯一.,每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,才能成立.,使得,21,,例,證,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).,,反證法,假設(shè)數(shù)列,收斂，,則有唯一極限a 存在.,但卻發(fā)散.,22,3
6、. 保號性,定理3,如果,且,證,由定義,,對,有,從而,推論,如果數(shù)列,從某項起有,且,那么,用反證法,23,在數(shù)列 中依次任意抽出無窮多項:,所構(gòu)成的新數(shù)列,這里 是原數(shù)列中的第 項,,在子數(shù)列中是,第k項,,4. 收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系,子數(shù)列.,叫做數(shù)列,?,24,*********************,證,是數(shù)列,的任一子數(shù)列.,若,則,成立.,現(xiàn)取正整數(shù) K,使,于是當,時, 有,從而有,由此證明,,*********************,,,定理4,設(shè)數(shù)列,正整數(shù) K,收斂數(shù)列的任一子數(shù)列,收斂于同一極限.,25,,由此定理可知,,但若已
7、知一個子數(shù)列發(fā)散,,或有兩個子數(shù)列,斂于a .,收斂于不同的極限值,,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.,一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;,還可以證明:,數(shù)列,的奇子數(shù)列,和偶子數(shù)列,均收斂于同一常數(shù)a 時,,則數(shù)列,也收,僅從某一個子數(shù)列的收斂,(證明留給做作業(yè)),26,例,試證數(shù)列 不收斂.,證,因為 的奇子數(shù)列,不收斂.,收斂于,而偶子數(shù)列,所以數(shù)列,收斂于,27,數(shù)列,數(shù)列極限,收斂數(shù)列的性質(zhì),收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.,五、小結(jié),研究其變化規(guī)律;,極限思想, 精確定義, 幾何意義;,有界性, 唯一性,,保號性,,28,思考題,“,”,恒有,是數(shù)列,收斂于a的( ).,A. 充分但非必要條件,B. 必要但非充分條件,C. 充分必要條件,D. 既非充分也非必要條件,(1),C,(2),D. 不確定,29,作業(yè),習題1-2 (30頁),2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6.,
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