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1、高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 9.2 兩直線的位置關(guān)系 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 一 .直線與直線的位置關(guān)系: 1.平行與垂直 若直線 l1和 l2有斜截式方程 l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2,則 ( 1)直線 l1 l2的充要條件是 k1=k2且 b1b2. ( 2)直線 l1 l2的充要條件是 k1k2= 1. 若 l1和 l2都沒有斜率,則 l1與 l2平行或重合 . 若 l1和 l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為 0,則 l1 l2. 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 2.相交 ( 1)交點(diǎn): 直線 l1: A1x+B1y+C1=0和 L2: A2x+B2y+C2=0的公共點(diǎn)
2、的坐標(biāo)與方程組 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解一一對(duì)應(yīng) . 相交 方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解; 平行 方程組無解 . 重合 方程組有無窮多個(gè)解 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 二 .點(diǎn)與直線的位置關(guān)系: 若點(diǎn) P( x0, y0)在直線 Ax+By+C=0上, 則有 Ax0+By0+C=0; 若點(diǎn) P( x0, y0)不在直線 Ax+By+C=0上, 則有 Ax0+By0+C0。 三 .兩點(diǎn)間的距離公式: 已知 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y ||AB 22 2 1 2 1( ) ( )x x y y
3、 則 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 四 .點(diǎn) P( x0, y0)到直線 l: Ax+By+C=0的距離: d= 22 00 || BA CByAx 兩平行線 l1: Ax+By+C1=0和 l2: Ax+By+C2=0之間的距離: d= 22 12 || BA CC 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 五 .直線系 (屬知識(shí)拓展 ) 1共點(diǎn)直線系方程: 過兩直線 的交點(diǎn)的直線系方程 為參數(shù), 不包括在內(nèi)) 0: 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl (0)( 222111 CyBxACyBxA 0222 CyBxA 高
4、考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 2平行、垂直直線系: Ax+By+m=0(m為參數(shù) )表示與 Ax+By+C=0 平行的 直線系 Bx--Ay+n=0(n為參數(shù) )表示與 Ax+By+C=0垂直的直 線系 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 確定參數(shù),使兩直線分別相交、平行、重合 已知兩直線 l1: x+ 2y+6=0, l2:( -2) x+3 y+2 =0, 當(dāng)為何值時(shí), l1與 l2 (1)相交; (2)平行; (3)重合 ? 思路分析:依據(jù)兩直線位置關(guān)系判斷方法便可解決 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)
5、 解:當(dāng) m=0時(shí), l1: x+6=0, l2: x=0, l1 l2. 當(dāng) m=2時(shí), l1: x+4y+6=0, l2: 3y+2=0, l1與 l2相交 . = 當(dāng) 0且 2時(shí),由 2 1 m m m 3 2 得 m=-1或 m=3, 由 = 得 =3. 2 1 m m2 6 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 故 (1)當(dāng) -1, 3且 0時(shí), l1與 l2相交; (2)當(dāng) =-1或 =0時(shí), l1 l2; ( 3)當(dāng) =3時(shí), l1與 l2重合 . 點(diǎn)評(píng)與感悟 :對(duì)這類問題,要從直線有斜率、沒有斜率
6、兩個(gè)方面進(jìn)行分類討論 . 在確定參數(shù)的值時(shí),應(yīng)注意先討論、系數(shù)為的情況。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 兩直線垂直的充要條件的應(yīng)用 已知兩條直線 和 互相垂直,則 等于 2y ax ( 2) 1y a x a ( A) 2 ( B) 1 ( C) 0 ( D) -1 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解析:兩條直線 和 互相垂直,則 , a= 1,選 D. 2y ax ( 2) 1y a x ( 2) 1aa 點(diǎn)評(píng)與感悟:( 1)若直
7、線 l1和 l2有斜截式方程 l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2,則 直線 l1 l2的充要條件是 k1k2= 1. (2) 設(shè) l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0.則 l1 l2A1A2+B1B2=0. 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用 已知點(diǎn) P( 2, 3)到直線 l:3x+my-4=0的距離為 2, 求實(shí)數(shù) m的值。 思路分析:逆用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 2: 2 , 1 2 3 2 0 , . mm 2 3 2 + 3 m - 4
8、解 由 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 得 , 化 簡(jiǎn) 得 5 9+m 8 解 得 m=-4 或 m= 5 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 點(diǎn)到直線的距離公式與直線的方程的整合 已知點(diǎn) P( 2, -1),求: (1)過 P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為 2的直線的方程; (2)過 P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線的方程, 最大距離是多少? (3)是否存在過 P點(diǎn)與原點(diǎn)距離為 6的直線? 若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說明 理由。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 思路分析: 已知直線過定點(diǎn)求方程,首先想到的是求斜率或設(shè)方 程的斜截式,但不要忘記考察斜率不存在的直線是否 滿足題意 .若滿足,可先把它求出,然后再考慮
9、斜率 存在的一般情況 .圖形中量的最值問題往往可由幾何 原理作依據(jù)求得解決 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解:( 1)過 P點(diǎn)的直線 l與原點(diǎn)的距離為 2,而 P點(diǎn)坐標(biāo) 為( 2, -1),可見過 P( 2, --1)垂直于 x軸的直線滿 足條件,其方程為: x=2. 若斜率存在,設(shè) l的方程為 , 即 )2(1 xky 012 kykx 由已知,得 解得 , 2 1 12 2 k k 4 3k 這時(shí)設(shè) l的方程為 01043 yx 綜上,可得直線 l的方程為 x=2.或 01043 yx 高
10、考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) ( 2) P點(diǎn)在直線 l上 , 原點(diǎn)到直線的距離 d<= 過 P點(diǎn)與原點(diǎn) O距離最大的直線是 過 P點(diǎn)且與 PO垂直的直線 , OP 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 由 ,得 OPl 1l O Pkk ,得直線 l的方程為 ,即直 線 是過 P點(diǎn)且與原點(diǎn) O距離最大的直線, 最大距離為 21 OP l kk 052 yx 052 yx 5 5 5 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) (3) 解法一:由( 2)知,過 P點(diǎn)的直
11、線與原點(diǎn) O 最大距離為 ,故過 P點(diǎn)不存在 到原點(diǎn)距離為 6的直線。 5 5 5 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解法二:由于斜率不存在且過 P點(diǎn)的直線到原點(diǎn)距離不是 6,因此,設(shè)過 P點(diǎn)到原點(diǎn)距離為 6的直線的斜率存在且 方程為 y+1=k( x 2),即 kx y 2k 1=0.原點(diǎn) O到它 的距離 d= =6,即 32k2 4k+35=0.因 =16 4 32 35<0,故方程無解 .所以不存在這樣的直線 . 1 |12| 2 k k 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 點(diǎn)評(píng)與感悟 ( 1) 求直線方程時(shí)一定要注意斜率不存在
12、的況; ( 2) 第( 3)問是判斷存在性問題,通常的解決方法是先假設(shè)判斷 對(duì)象存在, 令其滿足應(yīng)符合的條件, 若有解,則存在,并求得; 若無解,則不存在,判斷無解的過程就是結(jié)論的理由 . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 與兩直線的交點(diǎn)有關(guān)的問題 求過直線 和 的交點(diǎn),且與直線 x+4y-7=0垂直的直線方程。 03251 yx:l 08532 yx:l 思路分析 根據(jù)所求的直線與已知直線的位置關(guān)系, 靈活選擇直線方程的形式。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 法:由 求得 l1與 l2的交點(diǎn)
13、 的坐標(biāo)為( 1, -1)。 0853 0325 yx yx 因?yàn)橹本€ x+4y-7=0的斜率為 -1/4,所以直線 l的斜率為。 因此滿足條件的直線 l的方程為 y+1=4(x-1),即 4x-y-5=0。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 法:由直線 l垂直于直線 x+4y-7=0,則可設(shè)直線 l的方程 為 4x-y+t=0。 因?yàn)?l1與 l2的交點(diǎn)為 (1,-1),所以 從而 t=-5 0)1(14 t 所以直線 l的方程為 4x-y-5=0。 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 法:由于直線過 l1與 l2的交點(diǎn),所以直線 l的方程為, 0)853()325( yxy
14、x 即 083)52()35( yx 因?yàn)?l與直線 x+4y-7=0垂直, 所以 452 35 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 從而 17 13 所以直線 l的方程為 x+4y-7=0。 點(diǎn)評(píng)與感悟 :與直線 平行的直線 可表示為 ; 與直線 垂直的直線可表示為 . :0l Ax By C 1 0A x B y C :0l Ax By C 1 0B x A y C 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 兩直線的綜合問題 當(dāng) m為何值
15、時(shí),三條直線 l1:4x+y=4, l2:mx+y=0, l3:2x-3my=4不能構(gòu)成三角形? 思路分析: 三條直線不能構(gòu)成三角形的情況: 有兩條直線平行; 三條直線相交于一點(diǎn) . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 解:當(dāng) l1 l2時(shí), m=4. 當(dāng) l1 l3時(shí), = 即 m=-. 4 2 1 3m 6 1 當(dāng) l2 l3時(shí), = 無解 . 2 m 1 3m 當(dāng) l1,l2,l3相交于一點(diǎn)時(shí), 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 由 得交點(diǎn) A( , ) ,0 ,44 ymx yx m4 4 m m 4 4 A點(diǎn)在 l3上,即 -3m =4. m4 8 m m 4 4 解得 m= 或 m=-1. 3 2 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 綜上,當(dāng) m=-1, -1/6, 2/3, 4時(shí)三條直線不能構(gòu)成三角形 . 點(diǎn)評(píng)與感悟: 三條直線不能構(gòu)成三角形的情況有 其中有兩條直線平行或三條直線相交 于一點(diǎn) . 高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)