古典概型與幾何概型.doc

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1、 概率(古典概型與幾何概型) 【教學(xué)目標(biāo)】 1.了解隨機(jī)事件的含義，了解頻率與概率的區(qū)別． 2.理解古典概型，掌握其概率計(jì)算公式，會(huì)求一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率． 3.了解幾何概型的意義及其概率的計(jì)算方法，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單幾何概型的概率． 【教學(xué)重點(diǎn)】 對(duì)概率含義的正確理解及其在實(shí)際中的應(yīng)用；古典概型與幾何概型 【教學(xué)難點(diǎn)】 無(wú)限過(guò)渡到有限，實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度、面積、體積等的問(wèn)題 【知識(shí)點(diǎn)梳理】 1.隨機(jī)事件 （1）必然事件：在一定條件下，必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件。 （2）不可能事件：在一定條件下，肯定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件． （3）隨機(jī)事件：在一定條件下，可

2、能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件。 2.頻率與概率的關(guān)系 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值. 3.概率的基本性質(zhì) （1）隨機(jī)事件A的概率：. （2）必然事件的概率為1. （3）不可能事件的概率為0. （4）如果事件A與事件B互斥，則. （5）如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么，即. 4.古典概型 （1）特點(diǎn)：有限性，等可能性. （2）概率公式：. 5.幾何概型 （1）特點(diǎn)：無(wú)限性，等可能性. （2）概率公式：. 古典概型 題型一 隨機(jī)事件及概率 例1　某市地鐵全線共有四個(gè)車站，甲、乙兩個(gè)同時(shí)在地鐵第1號(hào)車站(首車站)乘車。假設(shè)每人自第2號(hào)車站開始，

3、在每個(gè)車站下車是等可能的。約定用有序數(shù)對(duì)表示“甲在x號(hào)車站下車，乙在y號(hào)車站下車”。 （1）用有序數(shù)對(duì)把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來(lái)； （2）求甲、乙兩人同在第3號(hào)車站下車的概率； （3）求甲、乙兩人同在第4號(hào)車站下車的概率． 變式1 同時(shí)擲兩顆骰子一次 （1）“點(diǎn)數(shù)之和是13”是什么事件？其概率是多少？ （2）“點(diǎn)數(shù)之和在2～13范圍之內(nèi)”是什么事件？其概率是多少？ （3）“點(diǎn)數(shù)之和是7”是什么事件？其概率是多少？ 題型二 互斥事件與對(duì)立事件 例題1：每一萬(wàn)張有獎(jiǎng)明信片中，有一等獎(jiǎng)5張，二等獎(jiǎng)10張，三等獎(jiǎng)100張。某人買了1張，設(shè)事

4、件A“這張明信片獲一等獎(jiǎng)”，事件B“這張明信片獲二等獎(jiǎng)”，事件C“這張明信片獲三等獎(jiǎng)”，事件D“這張明信片未獲獎(jiǎng)”，事件E“這張明信片獲獎(jiǎng)”，則在這些事件中 1． 與事件D互斥的有哪些事件？ 2． 與事件D對(duì)立的有哪些事件？ 3． 與事件A+B對(duì)立的有哪些事件？ 4． 與事件互斥的有哪些事件？ 例題2：某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得一張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得，每1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位。設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)。設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，求： ⑴． ⑵．1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率； ⑶．1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)的概率。

5、 變式2：對(duì)立事件求概率 某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下： 醫(yī)生人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 求：①派出醫(yī)生至多是2人的概率；②派出醫(yī)生至少是2人的概率． 變式：（2010湖北，理）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（ ） A. B. C. D. 題型三 簡(jiǎn)單事件的古典概型 例題3：無(wú)放回抽取、擲骰子、有放回抽取、

6、排隊(duì)問(wèn)題的古典概型 袋中裝有6個(gè)形狀完全相同的小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率．①A：取出的兩球都是白球；②B：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球． 變式3 同時(shí)拋擲兩枚骰子． (1)求“點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率； (2)求“至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的概率． 題型四 與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的古典概型 例題4 (2010福建卷)設(shè)平面向量，，其中． （1）請(qǐng)列出有序數(shù)組的所有可能結(jié)果； （2）記“使得成立的”為事件A，求事件A發(fā)生的概率． 2．(本題滿分12分)(08廣東文)某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生200

7、0名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表： 初一年級(jí) 初二年級(jí) 初三年級(jí) 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19. (1)求x的值； (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問(wèn)應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？ (3)已知y≥245，z≥245，求初三年級(jí)中女生比男生多的概率． 3．(本題滿分12分)某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，愛我中華”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…

8、，[90,100]后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問(wèn)題： (1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖； (2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分； (3)從成績(jī)是[40,50)和[90,100]的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率． 幾何概型 題型一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型概率問(wèn)題 例題1：在區(qū)間[1,3]上任取一數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于等于1.5的概率（ ） A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75 變式1：（2010湖南卷理）在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)

9、，則的概率為 . 題型二 與面積有關(guān)的幾何概型概率問(wèn)題 例題2：如果所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、下底分別為與，高為。向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為 變式2：(2011福建卷)如圖1－1，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( ) 圖1－1 A. B. C. D. 題型三 會(huì)面問(wèn)題中的概率 例3：兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必須等遲

10、到者40分鐘方可離去.如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20:00至21:00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率. 分析：兩人不論誰(shuí)先到都要等40分鐘，即2/3小時(shí),設(shè)兩人到的時(shí)間分別為x、y,則當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|≤2/3時(shí)，兩人才能見面，因而此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型 ， 變式3：在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于的概率是 ． 題型四 與體積有關(guān)的幾何概型概率問(wèn)題 例題4：在400毫升自來(lái)水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。 變式4：（2011山東臨沂

11、一中期末）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得的概率是（ ） A. B. C. D. 【方法與技巧總結(jié)】 1. 互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系： （1）對(duì)立一定互斥，互斥未必對(duì)立； （2）可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)來(lái)求，也可通過(guò)對(duì)立事件公式來(lái)求P(A). 2.古典概型與幾何概型 古典概型 （1）特點(diǎn)：有限性，等可能性. （2）概率公式：. 幾何概型 （1）特點(diǎn)：無(wú)限性，等可能性. （2）概率公式： 課堂練習(xí) 一、選擇題 1．從12個(gè)同類產(chǎn)品中(其中有10個(gè)正品，

12、2個(gè)次品)，任意抽取3個(gè)，下列事件是必然事件的是(　　) A．3個(gè)都是正品　　　　　 B．至少有一個(gè)是次品 C．3個(gè)都是次品 D．至少有一個(gè)是正品 2．給出關(guān)于滿足AB的非空集合A、B的四個(gè)命題： ①若任取x∈A，則x∈B是必然事件； ②若任取x?A，則x∈B是不可能事件； ③若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件； ④若任取x?B，則x?A是必然事件． 其中正確的是命題有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 3．4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(　　) A. B.

13、 C. D. 4．(2011威海模擬)一個(gè)袋子里裝有編號(hào)為1,2，…，12的12個(gè)相同大小的小球，其中1到6號(hào)球是紅色球，其余為黑色球．若從中任意摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號(hào)碼后再放回袋子里，然后再摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號(hào)碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 5．(2010江蘇卷，理)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________． 6.同時(shí)擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為 ； 點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為

14、 。 7. 口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，四個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率。 9（2010湖南文數(shù)）在區(qū)間[-1,2]上隨即取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為 。 10取一根長(zhǎng)度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是(　　)． A. B. C. D.　　　 11（2009遼寧卷文）ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)

15、，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 （A） （B） （C） （D） 12（2009榮成模擬）設(shè)-1≤≤1,-1≤≤1,求關(guān)于的方程有實(shí)根的概率. 【課后作業(yè)】 1、在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5，的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是(　　) A. B. C. D. 2、將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為(　　) A. B. C.

16、 D. 3、把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是(　　) A. B. C. D. 4、有兩個(gè)質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4.把兩個(gè)玩具各拋擲一次，斜向上的面所有數(shù)字之和能被5整除的概率為(　　) A. B. C. D. 5、若將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是________． 6、

17、(09江蘇)現(xiàn)有5根竹稈，它們的長(zhǎng)度(單位：m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的概率為________． 7、我國(guó)已經(jīng)正式加入WTO，包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品將最多五年內(nèi)把關(guān)稅全部降低到世貿(mào)組織所要求的水平，其中有21%的進(jìn)口商品恰好5年關(guān)稅達(dá)到要求，18%的進(jìn)口商品恰好4年達(dá)到要求，其余的進(jìn)口商品將在3年或3年內(nèi)達(dá)到要求，求進(jìn)口汽車在不超過(guò)4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求的概率． 8（2009福建卷文）點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為

18、 。 9在長(zhǎng)為10cm的線段AB上取一點(diǎn)G，并以AG為半徑作一個(gè)圓，求圓的面積介于36cm2 到64cm2 的概率 10(2011西安模擬)如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為(　　)． A. B. C. D．無(wú)法計(jì)算 11送報(bào)人每天早上6：30至7：30之間把劉師傅訂的報(bào)紙送到劉師傅家，若劉師傅離開家去上班的時(shí)間在7：00至8：00之間，問(wèn)：劉師傅在離家前收到報(bào)紙的概率是多少？

19、 【參考答案】 1、鞏固練習(xí)答案 1.答案　D 解析　在基本事件空間中，每一個(gè)事件中正品的個(gè)數(shù)可能是1,2,3，而不可能沒(méi)有． 2.答案　C 3.答案　C 解析　從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，∴P＝. 4、答案　B 解析　據(jù)題意由于是有放回地抽取，故共有1212＝144種取法，其中兩次取到紅球且至少有一次號(hào)碼是偶數(shù)的情況共有66－33＝27種可能，故其概率為＝. 5.答案　 解析　設(shè)3只白球?yàn)锳，B，C,1只黑球?yàn)閐，則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩

20、只球顏色不同的有3種，故所求概率為. 6答案：； 7．答案：把四人依次編號(hào)為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號(hào)1、2，把兩黑球也編上序號(hào)1、2，于是四個(gè)人按順序依次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來(lái)如下： 白2 白1 黑1 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2 黑1 黑1 白1 白1 白1 白1 黑1 黑2 甲 乙 丙 丁 白1 白2 黑1 黑2 黑1 黑2 黑2 黑2 黑1 黑1 白2 白2 白2 白2 黑1 黑2 甲 乙 丙 丁

21、 黑1 白1 白2 黑2 白2 黑2 黑2 黑2 白2 白1 白1 白2 白2 白1 白1 黑2 甲 乙 丙 丁 黑2 白1 白2 白2 黑1 黑1 黑1 白2 黑1 白1 白1 白2 白2 白1 白1 黑1 甲 乙 丙 丁 從上面的樹形圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24，第二人摸到白球的結(jié)果有12種，記“第二個(gè)人摸到白球”為事件A，則。 8【答案】 9【解析】把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為 P＝＝. 【答案】

22、 C 10【解析】長(zhǎng)方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為 因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為2＝，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為 【答案】B 11【解析】由題意知方程有實(shí)根滿足條件： -1≤≤1，-1≤≤1， ≥0，作平面區(qū)域如圖. 由圖知陰影面積為1，總的事件對(duì)應(yīng)面積為正方形的面積4，故概率為 . 2、課后作業(yè)答案 1、答案　A 解析　從分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球中隨機(jī)取出2個(gè)小球的基本事件數(shù)分別為：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9

23、共10種不同情形；而其和為3或6的共3種情形，故取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是. 2、答案　A 解析　若方程有實(shí)根，則Δ＝b2－4c≥0，當(dāng)有序?qū)崝?shù)對(duì)(b，c)的取值為(6,6)，(6,5)，…，(6,1)，(5,6)，(5,5)，…，(5,1)，(4,4)，…，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)時(shí)方程有實(shí)根，共19種情況，而(b，c)等可能的取值共有36種情況，所以，方程有實(shí)根的概率為P＝. 3、答案　B 解析　若m與n共線，則2a－b＝0，而(a，b)的可能性情況為66＝36個(gè)．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三個(gè)．故共線的概率是＝，從而不

24、共線的概率是1－＝. 4、答案　B 解析　“斜向上的所有數(shù)字之和能被5整除”，等價(jià)于：兩個(gè)底面數(shù)字之和能被5整除，而兩底數(shù)所有的情況有44＝16(種)，而兩底數(shù)和為5，包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4種情況，∴P＝＝. 5、答案　 解析　本題基本事件共66個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4的有3個(gè)事件為(1,3)、(2,2)、(3,1)，故P＝＝. 6、答案　0.2 解析　從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根竹竿共有C＝10種抽取方法，而抽取的兩根竹竿長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的種數(shù)為2，∴P＝＝0.2. 7、解法一　設(shè)“進(jìn)口汽車恰好4年關(guān)稅達(dá)到要求”為事件A，“不到4年達(dá)到要求”為事件B，

25、則“進(jìn)口汽車不超過(guò)4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求”就是事件A＋B，顯然A與B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79. 解法二　設(shè)“進(jìn)口汽車在不超過(guò)4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求”為事件M，則為“進(jìn)口汽車5年關(guān)稅達(dá)到要求”，所以P(M)＝1－P()＝1－0.21＝0.79. 8【解析】如圖可設(shè),則,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長(zhǎng)，則其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 9【解析】圓的面積介于36cm2 到64cm2，則圓的半徑介于6cm 到8cm之間，所以 【答案】 10【解析】由幾何概型知，＝，故S陰＝22＝. 【答案】 B 11【解析】設(shè)“劉師傅在離家前收到報(bào)紙”為事件A，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x和y分別表示報(bào)紙送到的時(shí)間和劉師傅離家的時(shí)間，則劉師傅能收到報(bào)紙的充要條件是x≤y，而（x,y）的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為1的正方形，劉師傅在離家前收到報(bào)紙的可能結(jié)果為圖中的陰影部分. 【答案】 13