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1、理科數(shù)學(xué) 2018年高三試卷
理科數(shù)學(xué)
考試時間:____分鐘
題型
單選題
填空題
簡答題
總分
得分
單選題 (本大題共12小題,每小題____分,共____分。)
1.已知集合,,則
A.
B.
C.
D.
2.
A.
B.
C.
D.
3.中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是
A. A
B. B
C. C
D. D
4.若,則
A.
2、
B.
C.
D.
5.的展開式中的系數(shù)為
A. 10
B. 20
C. 40
D. 80
6.直線分別與軸,軸交于,兩點,點在圓上,則面積的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
7.函數(shù)的圖像大致為
A. A
B. B
C. C
D. D
8.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),,,則
A. 0.7
B. 0.6
C. 0.4
D. 0.3
9.的內(nèi)角的對邊分別為,,,若的面積為,則
A.
B.
C.
D.
10.設(shè)是同一個半徑為4的
3、球的球面上四點,為等邊三角形且其面積為,則三棱錐體積的最大值為
A.
B.
C.
D.
11.設(shè)是雙曲線()的左,右焦點,是坐標(biāo)原點.過作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為
A.
B. 2
C.
D.
12.設(shè),,則
A.
B.
C.
D.
填空題 (本大題共4小題,每小題____分,共____分。)
13.已知向量,,.若,則________.
14.曲線在點處的切線的斜率為,則________.
15.函數(shù)在的零點個數(shù)為________.
16.已知點和拋物線,過的焦點且斜率為的直線與交于,兩點.若,則________
4、.
簡答題(綜合題) (本大題共6小題,每小題____分,共____分。)
17.(12分)
等比數(shù)列中,.
(1)求的通項公式;
(2)記為的前項和.若,求.
18.(12分)
某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人。第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)
5、任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
19.(12分)
如圖,邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直,是上異于,的點.
(1)證明:平面平面;
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時,求面與面所成二面角的正弦值.
20.(12分)
已知斜率為的直線與橢圓交于,兩點,線段的中點為.
(1)證明:;
(2)設(shè)為的右焦點,為上一點,且.證明:,,成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
21.(12分)
已知函數(shù).
(1)若,證明:當(dāng)時,;當(dāng)時,;
(2)若是的極大值點,求.
(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分。
6、
22.[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在平面直角坐標(biāo)系中,的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過點且傾斜角為的直線與交于兩點.
(1)求的取值范圍;
(2)求中點的軌跡的參數(shù)方程.
23.[選修4—5:不等式選講](10分)
設(shè)函數(shù).
(1)畫出的圖像;
(2)當(dāng),,求的最小值.
答案
單選題
1. C 2. D 3. A 4. B 5. C 6. A 7. D 8. B 9. C 10. B 11. C 12. B
填空題
13.
14.
15.
3
16.
2
簡答題
17.
(1)設(shè)的公比為,由題設(shè)得.
由已
7、知得,解得(舍去),或.
故或.
(2)若,則.由得,此方程沒有正整數(shù)解.
若,則.由得,解得.
綜上,.
18.
1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
理由如下:
(i)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ii)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(iii)由莖葉圖可知:用第
8、一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(iv)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布,又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.
(
9、2)由莖葉圖知.
列聯(lián)表如下:
(3)由于,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
19.
(1)由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因為M為上異于C,D的點,且DC為直徑,所以 DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz.
當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時,M為的中點.
由題設(shè)得,
設(shè)是平面MAB的法向量,則
即
可取.
是平面
10、MCD的法向量,因此
,
,
所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.
20.
(1)設(shè),則.
兩式相減,并由得
.
由題設(shè)知,于是
.①
由題設(shè)得,故.
(2)由題意得,設(shè),則
.
由(1)及題設(shè)得.
又點P在C上,所以,從而,.
于是
.
同理.
所以.
故,即成等差數(shù)列.
設(shè)該數(shù)列的公差為d,則
.②
將代入①得.
所以l的方程為,代入C的方程,并整理得.
故,代入②解得.
所以該數(shù)列的公差為或.
21.
(1)當(dāng)時,,.
設(shè)函數(shù),則.
當(dāng)時,;當(dāng)時,.故當(dāng)時,,且僅當(dāng)時,,從而,且僅當(dāng)時,.
所以在單調(diào)遞增.
又,故
11、當(dāng)時,;當(dāng)時,.
(2)(i)若,由(1)知,當(dāng)時,,這與是的極大值點矛盾.
(ii)若,設(shè)函數(shù).
由于當(dāng)時,,故與符號相同.
又,故是的極大值點當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點.
.
如果,則當(dāng),且時,,故不是的極大值點.
如果,則存在根,故當(dāng),且時,,所以不是的極大值點.
如果,則.則當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以是的極大值點,從而是的極大值點
綜上,.
22.
(1)的直角坐標(biāo)方程為.
當(dāng)時,與交于兩點.
當(dāng)時,記,則的方程為.與交于兩點當(dāng)且僅當(dāng),解得或,即或.
綜上,的取值范圍是.
(2)的參數(shù)方程為為參數(shù),.
設(shè),,對應(yīng)的參數(shù)分別為,,,則,且,滿足.
于是,.又點的坐標(biāo)滿足
所以點的軌跡的參數(shù)方程是為參數(shù),.
23.
(1)的圖像如圖所示.
(2)由(1)知,的圖像與軸交點的縱坐標(biāo)為,且各部分所在直線斜率的最大值為,故當(dāng)且僅當(dāng)且時,在成立,因此的最小值為
解析
單選題
略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略 略
填空題
略 略 略 略
簡答題
略 略 略 略 略