四年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

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1、 第一講 整數(shù)計(jì)算綜合 知識(shí)精講 一、交換律 加法交換律：a+b=b+a 例如：123+234=234+123 乘法交換律：ab=ba 例如：123234=234123 二、結(jié)合律 加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+(b+c) 例如：（123+234）+345=123+（234+345） 乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc) 例如：（123234）345=123（234345） 三、分配率 c（a+b）=ca+cb c（a－b）=ca－cb （a+b）c=ac+bc （a－b）c=ac－bc 乘法分配率：

2、 例如：（234－123）5=2345－1235 5 （234－123）=5234－5123 （a+b）c=ac+bc （a－b）c=ac－bc 除法分配率： 例如：（100－40）10=10010－4010 不能100（10－40）=10010－10040（錯(cuò)誤的） 四、去（添）括號(hào)： 1、加減法去（添）括號(hào)：括號(hào)前面是“＋”，去（添）括號(hào)后不變號(hào)；括號(hào)前面是“－”，去（添）括號(hào)后要變號(hào)。 例如：234＋（345－123）=234＋3

3、45－123 345－（234－123）=345－234＋123 2、乘、除法去（添）括號(hào)：括號(hào)前面是“”，去（添）括號(hào)后不變號(hào)； 括號(hào)前面是“”，去（添）括號(hào)后要變號(hào)。 例如：8（58）=858； 93（313）=93313 五、帶符號(hào)搬家： 同級(jí)運(yùn)算時(shí)，可以帶符號(hào)搬家，改變運(yùn)算順序。 注意：加、減法同為第一級(jí)運(yùn)算，乘、除法同為第二級(jí)運(yùn)算。 例如：241－164＋59=241＋59－164 165295=165529 四則混合運(yùn)算時(shí)要先算乘除法、后算加減法，同級(jí)運(yùn)算按照從左到右的順序計(jì)算，有括號(hào)時(shí)先算括號(hào)內(nèi)的。 例題一： 計(jì)算：（1）1

4、25718 （2）1242431 （3）287287 練習(xí)1： 計(jì)算：（1）251234543214 （2）962524 例題二： 計(jì)算：（1）2226432 （2）123（4132） （3）1252160（7815） 練習(xí)2： 計(jì)算：（1）722788（91112） （2）251212（1154） 例題三： 計(jì)算：（1）22233＋88966 （2）2132＋5868＋3237 （3）122

5、1＋2312＋5211 練習(xí)3： 計(jì)算：235＋4625＋6915 例題四： 計(jì)算：（1）（16＋32＋40）4 （2）964＋1764＋1284 （3）156＋536－206 練習(xí)4： 計(jì)算：（1）527－137＋37 （2）115＋1115＋15－235 挑戰(zhàn)極限： 例題五：計(jì)算：（1）151612 （2）642835 例題六：計(jì)算：（1）5647＋4644 （2）5545－5644

6、 作業(yè)： 1、計(jì)算（1）752425 （2）46132623 2、 計(jì)算（1）502777（25119） （2）11047－125100（478） 3、 計(jì)算：1329＋2619＋1139 4、計(jì)算4913－10713＋11013 5、計(jì)算：502745 第二講 和差倍中的分組比較 一、 知識(shí)梳理 三年級(jí)我們學(xué)習(xí)過,當(dāng)題目中包含兩個(gè)以上的對(duì)象時(shí),最簡(jiǎn)單的解決方法就是：把其中的若干對(duì)象“打包”變成一個(gè)對(duì)象,從而減少對(duì)

7、象的數(shù)量,最終把問題變成兩個(gè)對(duì)象間的和差倍問題.這種“打包”的方法就是所謂的分組法.在有多個(gè)對(duì)象的和差倍問題中,分組法和比較法是常用的方法. 我們先來看這么簡(jiǎn)單的問題： 甲、乙、丙三人稱重,由于秤出了點(diǎn)問題,只能準(zhǔn)確地稱出60千克與90千克之間的重量,因此他們?nèi)酥荒軆扇藘扇艘黄鸱Q重.甲和乙一起稱,總重量是73千克；乙和丙一起稱,總重量是80千克；丙和甲一起稱,總重量是75千克.三人的體重分別是多少千克? 我們把甲、乙兩人看成一組,乙、丙兩人也看成一組（其中乙同時(shí)屬于兩組）,比較這兩組我們發(fā)現(xiàn)丙比甲重80-73=7千克.再結(jié)合甲、丙總重量為75千克,可以根據(jù)和差關(guān)系算出甲、丙各自的重量.

8、 在這個(gè)例子中,我們既考慮兩人一組的總重量,也把兩組的總重量作比較. 除此之外,還有另一種利用分組比較的分析方法:我們把甲、乙、丙三個(gè)人兩兩的體重看做一組,把三組相加,即為三個(gè)人體重和的2倍.由此可得三人體重之和為千克,再分別與每一組進(jìn)行比較,即可得到三個(gè)人的體重. 由此可見,用分組法與比較法在處理多個(gè)對(duì)象的和差倍關(guān)系時(shí),可以把條件之間的關(guān)系變得更清晰.而且,一個(gè)題目往往是可以從不同的角度采用不同的分析方法進(jìn)行解決的,所以我們要根據(jù)題目的實(shí)際情況進(jìn)行合理地比較. 有些題目直接列出算式去比較會(huì)很麻煩,所以我們可以用畫圖的方法來幫助我們比較. 二、 典例精析 【典例1】 成都樹才學(xué)校舉

9、辦包包子大賽,小明比小紅多包3個(gè),小張比小黃多包9個(gè),小明和小黃共包了87個(gè),那么著四個(gè)人共包了多少個(gè)包子? 【分析】按條件畫出分組圖,比較兩組中有關(guān)聯(lián)的人,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎? 【典例2】 在神秘的星球上只有四種水果,其中火龍果和水龍果共83個(gè),水龍果和金龍果共86個(gè),金龍果和木龍果共88個(gè),請(qǐng)問:火龍果和木龍果共多少個(gè)? 【分析】這三組的總數(shù)之間有什么聯(lián)系嗎？比較其中兩組的水果數(shù)量,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？或者試試比較法中“累加”的方法,能有什么發(fā)現(xiàn)嗎？ 【典例3】 某學(xué)生到工廠勤工儉學(xué),按合同規(guī)定,干滿30天,工廠將給他一套工作服和1000元錢,但由于學(xué)校另有安排,他工作了10天后便終止了合

10、同.按天計(jì)算所得報(bào)酬,工廠需要給他一套工作服和200元錢,請(qǐng)問:這套工作服值多少元錢? 【分析】工作10天比工作30天要少拿20天的報(bào)酬,究竟拿了多少元錢呢? 【典例4】 某食堂買來的大米的袋數(shù)是面粉的4倍,該食堂每天消耗面粉20袋,大米60袋.幾天后面粉全部用完,大米還剩下200袋.請(qǐng)問:這個(gè)食堂買來大米多少袋? 【分析】由于大米的袋數(shù)是面粉的4倍,我們可以把1份面粉和4份大米分成一組,怎么分組才能使每天恰好消耗完一組中的面粉呢?這時(shí)一組里剩下多少袋大米呢?你能算出一共用了多少天嗎? 【典例5】 五年級(jí)有甲、乙、丙、丁四個(gè)班,不算甲班,其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是121人;不算丁班,其余三個(gè)

11、班的總?cè)藬?shù)是134人;丁班人數(shù)的2倍比甲班多9人.請(qǐng)問:這四個(gè)班共有多少人? 【分析】把題目給出的條件例舉出來,進(jìn)行分析比較,能得出關(guān)于丁、甲兩班的關(guān)系嗎? 三、 牛刀小試 【練習(xí)1】 有來自陽光、燦爛、雨天、清風(fēng)這四所小學(xué)的同學(xué)參加成都樹才學(xué)校吃包子比賽,其中陽光學(xué)校參賽人數(shù)比燦爛學(xué)校多5人,雨天學(xué)校參賽人數(shù)比清風(fēng)學(xué)校多7人,如果燦爛、雨天兩校一共有40人參加比賽,那么陽光、清風(fēng)兩校一共有多少人參加比賽? 【練習(xí)2】 西瓜太郎有四種西瓜,其中紅西瓜和綠西瓜共23個(gè),綠西瓜和粉西瓜共35個(gè),粉西瓜和黃西瓜共39個(gè),請(qǐng)問:紅西瓜和黃西瓜共多少個(gè)? 【練習(xí)3】 在海陽王國(guó)里,海豚在鯨魚開

12、的餐廳打工,它倆說好工作滿30天,鯨魚就付給海豚100個(gè)海洋幣和1顆珍珠.但工作了25天,海豚決定不干了.按天算工資,鯨魚只給付給它50個(gè)海幣和1顆珍珠.請(qǐng)問:這個(gè)珍珠值多少個(gè)海洋幣? 【練習(xí)4】 箱子里有紅、白兩種玻璃球,紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍.每次從箱子里取出7個(gè)白球,15個(gè)紅球.經(jīng)過若干次后,箱子里白球恰好被取完,只剩下54個(gè)紅球.那么箱子里原有紅球、白球各多少個(gè)? 【練習(xí)5】 五年級(jí)有甲、乙、丙、丁四個(gè)班,不算甲班,其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人;不算丁班,其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是140人;乙、丙兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)少1人.請(qǐng)問:這四個(gè)班共有多少人 四、 鞏固提高 1.

13、 學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì)，如果甲、乙、丙三個(gè)班的學(xué)生參加,共60人;如果只有甲、乙兩班的學(xué)生參加,共40人;如果只有乙、丙兩班的學(xué)生參加,共32人.乙班有多少人? 2. 某次數(shù)學(xué)考試,甲、乙的成績(jī)和是184分,乙、丙的成績(jī)和是188分,那么甲比丙少多少分? 3. 一個(gè)桶里有一些油,如果把油加到原來的2倍,油桶連油共重26千克;如果把油加到原來的4倍,這時(shí)油和桶共重46千克,那么桶重多少千克? 4. 森林學(xué)校里,有的學(xué)生愛吃蘋果,有的學(xué)生愛吃香蕉.于是,兔子廚師就專門針對(duì)不同學(xué)生的口味訂購(gòu)了一批蘋果核香蕉,已知蘋果數(shù)量是香蕉的5倍,小朋友們每天一共要吃30個(gè)香蕉個(gè)90個(gè)蘋果,幾天后香蕉全部被吃完了

14、,蘋果卻還剩下600個(gè).請(qǐng)問:兔子廚師一共訂購(gòu)了多少個(gè)蘋果? 5. 老大、老二、老三是張家三兄弟,今年老大與老二的年齡之和是23歲,老二與老三的年齡之和是18歲,老大與老三的年齡之和比老二年齡的2倍多1歲,請(qǐng)問:今年三兄弟的年齡之和是多少歲? 第講 變倍問題 一、 知識(shí)梳理 大家在前面的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了基本和倍、差倍、和差等問題的解法.對(duì)于基本和差倍問題,可以根據(jù)已知條件直接畫出線段圖.而對(duì)于有些較復(fù)雜的和差倍問題,我們往往需要先分析題目中的隱藏條件,找到各個(gè)數(shù)量之間的和差倍關(guān)系,然后再通過畫線段圖等方法求解. 之前學(xué)過的題目一般只涉及兩個(gè)量的一種倍數(shù)關(guān)系

15、,這時(shí)“1”份的量較容易確定.如果已知條件涉及多個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系,或是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化,那么這時(shí)選擇哪個(gè)量作為“1”分量就是解題的關(guān)鍵了.如果設(shè)為“1”份不好算,還可以選擇一個(gè)合適的數(shù)設(shè)為多份數(shù). 試一試: 甲是乙的2倍,也是丙的3倍,那么設(shè)甲為( )份. 甲是乙的2倍,也是丙的5倍,那么設(shè)甲為( )份. 甲是乙的3倍,也是丙的5倍,那么設(shè)甲為( )份. 甲是乙的11倍,也是丙的20倍,那么設(shè)甲為( )份. 甲是乙的99倍,也是丙的100倍,那么設(shè)甲為( )份. 甲是乙的4倍,也是丙的12倍,那么設(shè)甲為( )份. 甲是乙的6倍,也是丙的9倍,

16、那么設(shè)甲為( )份. 二、 典例精析 【典例1】 學(xué)校門口放有紅、黃、藍(lán)三種顏色的花,其中黃花的盆數(shù)是最多的,是紅花的4倍,是藍(lán)花的3倍.已知藍(lán)花比紅花多20盆,請(qǐng)問:學(xué)校門口一共有多少盆花? 【分析】黃花盆數(shù)是紅花的4倍,是藍(lán)花的3倍,紅花、藍(lán)花都與黃花有倍數(shù)關(guān)系,我們應(yīng)該把黃花設(shè)為幾份呢? 【典例2】 爸爸和小明跑步回來,各吃了一些餃子,此時(shí)爸爸吃的餃子是小明的3倍,過了一會(huì)兒,小明覺得不過癮,又吃了3個(gè)餃子,這時(shí)爸爸吃的餃子只有小明的2倍了.請(qǐng)問:爸爸吃了幾個(gè)餃子? 【分析】小明又吃了3個(gè)餃子,小明吃的數(shù)量發(fā)生了變化,但是爸爸吃的數(shù)量沒有變,我們把不變的量設(shè)為多少呢? 【

17、典例3】 有紅色、綠色兩個(gè)箱子,紅色箱子里裝的是紅球,綠色箱子里裝的是綠球,紅球的數(shù)量是綠球數(shù)量的3倍.從紅色箱子里拿出10個(gè)球放入綠色箱子里,這時(shí)紅色箱子里球的數(shù)量是綠色箱子里球的數(shù)量的2倍.那么現(xiàn)在紅色、綠色兩個(gè)箱子里各有多少個(gè)球? 【分析】從紅色箱子里拿出10個(gè)放入綠色箱子里,兩個(gè)箱子里的球數(shù)都發(fā)生了變化,那到底有沒有不變量,什么不變呢?我們又該把這個(gè)不變量設(shè)為幾份呢? 【典例4】 成都樹才學(xué)校小學(xué)部與初中部老師們?yōu)橄ＭW(xué)的孩子們捐書,小學(xué)部的捐書量是初中部的6倍,若兩個(gè)部門各增加30本,則小學(xué)部的捐書量是初中部的4倍.請(qǐng)問:兩個(gè)部門原來各捐書多少本? 【分析】?jī)蓚€(gè)部門各增加30

18、本,那么兩個(gè)部門的捐書量都發(fā)生了變化,但是什么沒有變呢?我們把它設(shè)為幾份比較容易計(jì)算呢? 【典例5】 王老師和麥兜搶包子,一開始王老師的包子個(gè)數(shù)是麥兜的3倍,麥兜趁王老師不注意,從王老師的手里搶走了100個(gè)包子,結(jié)果麥兜的包子數(shù)量變成了王老師的2倍.請(qǐng)問:王老師和麥兜原來分別有多少包子? 【分析】先找不變量,要仔細(xì)讀題,注意倍數(shù)關(guān)系,千萬別弄反哦! 三、 牛刀小試 【練習(xí)1】 暑假里，心靈手巧的萱萱折了很多紙鶴，做了一副漂亮的紙鶴簾.這幅紙鶴簾以粉色和黃色的紙鶴做背景,綠色的紙鶴排列成一個(gè)“家”字,其中粉色的紙鶴比較多,既是黃色紙鶴的3倍,又是綠色紙鶴的5倍.讓你過綠色和黃色的紙鶴一共

19、有240個(gè),那么萱萱的這幅紙鶴簾一共有多少個(gè)紙鶴? 【練習(xí)2】 小矮人和綠巨人比身高,綠巨人的身高是小矮人的3倍,后來小矮人從巫婆那里獲得了生長(zhǎng)劑,結(jié)果長(zhǎng)了30厘米,,而綠巨人卻沒有再長(zhǎng)高,此時(shí)綠巨人的身高只有小人的2倍.請(qǐng)問:小矮人和綠巨人原來分別有多高? 【練習(xí)3】 張三和李四一起搬磚,原計(jì)劃張三搬其中的一些,,李四搬剩余的磚,那么張三所搬的磚數(shù)是李四的5倍;如果李四幫張三搬10塊,那么張三所搬的磚數(shù)是李四的4倍,請(qǐng)問:原計(jì)劃張三搬多少塊磚?李四搬多少塊磚? 【練習(xí)4】 熊大和熊二吃蜂蜜,一開始熊大吃的個(gè)數(shù)是熊二的4倍,之后熊大和熊二又分別吃了10個(gè),此時(shí)熊大吃的個(gè)數(shù)只有熊二的2倍,

20、請(qǐng)問:最后熊大和熊二分別吃了多少個(gè)蜂窩? 【練習(xí)5】 張三和李四一起搬磚,原計(jì)劃張三搬其中的一些,,李四搬剩余的磚,如果張三幫李四搬10塊,那么張三所搬的磚數(shù)是李四的5倍;如果李四幫張三搬10塊,那么張三所搬的磚數(shù)是李四的2倍,請(qǐng)問:原計(jì)劃張三搬多少塊磚?李四搬多少塊磚? 四、 鞏固提高 1. 風(fēng)老師、雨老師、云老師吃松子,風(fēng)老師吃的松子顆數(shù)是雨老師的5倍,是云老師的3倍,其中云南老師比雨老師多吃了100顆松子.請(qǐng)問:風(fēng)老師吃了多少顆松子? 2. 李師傅有大小兩種型號(hào)的零件,其中大型號(hào)零件個(gè)數(shù)是小型號(hào)的3倍,李師傅使用了10個(gè)小型號(hào)零件,使得大型號(hào)零件個(gè)數(shù)變成了是小型號(hào)零件個(gè)數(shù)的4倍.

21、請(qǐng)問:李師傅原來有多少個(gè)小型號(hào)零件? 3. 河馬和犀牛是好朋友,他們經(jīng)常派家里養(yǎng)的信鴿給對(duì)方送信,河馬家信鴿的數(shù)量是犀牛家的3倍,但某次河馬出遠(yuǎn)門不小心忘記了鎖鴿籠,結(jié)果等它回來時(shí),已經(jīng)有10只信鴿飛到了犀牛家,這時(shí)河馬家的信鴿數(shù)量就只有犀牛家的2倍了.請(qǐng)問:犀牛家原來養(yǎng)了多少只信鴿? 4. 花園里開著一些紅花和黃花,紅花的朵數(shù)是黃花的3倍.秋天到了花兒凋謝了,紅花和黃花各自減少了60朵,這時(shí)剩余的紅花朵數(shù)是黃花的6倍.請(qǐng)問:還剩下多少朵紅花? 5. 兄弟兩人分壓歲錢,一開始哥哥的錢數(shù)是弟弟的3倍,后來哥哥給弟弟20元,結(jié)果弟弟的錢數(shù)是哥哥的2倍.請(qǐng)問:兩人一共有多少元壓歲錢? 

22、第講 年齡問題 一、 知識(shí)梳理 在與年齡有關(guān)的應(yīng)用題中,年齡一般只與年份有關(guān),比如某人在2012年是30歲,那么他在2013年一定是31歲,不用具體考慮他今年是否已經(jīng)過完生日. 這類應(yīng)用題中,給出的條件一般是兩個(gè)人或者多個(gè)人的具體年齡活著他們年齡之間的和差倍關(guān)系.所以年齡問題其實(shí)就是一類特殊的和差倍問題. 與其他和差倍問題相同,年齡問題也可以通過畫線段圖來分析,但和其他和差倍相比,年齡問題中時(shí)常包含一些隱藏條件,需要大家格外關(guān)注. 我們先來看一下只與兩個(gè)人的年齡有關(guān)的幾類問題. 二、 典例精析 【典例1】 今年小高12歲,他父親42歲,請(qǐng)問:多少年后,父親的年齡是小高的2倍?多少

23、年前,父親的年齡是小高的4倍? 【分析】小高和父親的年齡差是不變的,怎么把年齡差與年齡的倍數(shù)關(guān)系聯(lián)系起來呢? 【典例2】 今年爸爸的年齡是兒子的4倍,4年以后,爸爸年齡就只有兒子的3倍,請(qǐng)問:今年爸爸、兒子分別各多少歲？ 【分析】父親年齡的倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化,是一個(gè)典型的變倍問題,其中的不變量是什么呢?把不變量設(shè)為幾份呢? 【典例3】 小紅問師傅多少歲,師傅說:“當(dāng)我像你這么大時(shí),你剛3歲;當(dāng)你想我這么大時(shí).我已經(jīng)39歲了.”請(qǐng)問:師傅和小紅現(xiàn)在分別多少歲? 【分析】本題中過去、現(xiàn)在、將來的時(shí)間都出現(xiàn)了,你能在一個(gè)圖里把這些時(shí)間都表示出來嗎? 【典例4】 兄弟倆現(xiàn)在年齡之和是32歲

24、,當(dāng)哥哥像弟弟現(xiàn)在這么大時(shí),哥哥的年齡是當(dāng)時(shí)弟弟年齡的3倍.請(qǐng)問:哥哥現(xiàn)在幾歲了? 【分析】這個(gè)題目中只有現(xiàn)在和過去,應(yīng)該先畫哪個(gè)時(shí)間點(diǎn)呢?和差倍問題,有倍數(shù)我們要優(yōu)先畫出倍數(shù)關(guān)系. 【典例5】 一年前,父母的年齡和是兄弟二人年齡和的7倍;4年后,父母的年齡和是兄弟二人年齡和的4倍.已知爸爸和媽媽同歲,請(qǐng)問:媽媽今年多少歲? 【分析】這是關(guān)于父母年齡和與兄弟年齡和的變倍問題,我們是不是應(yīng)該把父母二人分成一組,兄弟二人分成另一組來計(jì)算呢? 三、 牛刀小試 【練習(xí)1】 今年小高10歲,他父親30歲.請(qǐng)問:多少年前,父親年齡是小高的5倍?多少年前,父親年齡是小高的6倍? 【練習(xí)2】 今年

25、,母親年齡是兒子年齡的3倍,10年后,母親年齡是兒子年齡的2倍.請(qǐng)問:今年母親的年齡是幾歲? 【練習(xí)3】 叔叔對(duì)小亮說:“當(dāng)你像我這么大的時(shí)候,,我已經(jīng)60歲了;當(dāng)我像你這么大的時(shí)候,你才24歲.”請(qǐng)問:小亮和叔叔今年各多少歲? 【練習(xí)4】 姐妹兩個(gè)現(xiàn)在年齡之和是35歲,當(dāng)姐姐是妹妹現(xiàn)在這么大時(shí),姐姐當(dāng)時(shí)的年齡是妹妹當(dāng)時(shí)年齡的2倍,請(qǐng)問:姐姐現(xiàn)在的年齡是多少? 【練習(xí)5】 哥哥對(duì)弟弟說:“你長(zhǎng)到我這么大的時(shí)候,,我恰好獲得博士學(xué)位;我在你這么大的時(shí)候,你剛剛上幼兒園.”已知哥哥和弟弟現(xiàn)在的年齡和為32歲,哥哥獲得博士學(xué)位時(shí)的年齡是弟弟上幼兒園時(shí)年齡的7倍.請(qǐng)問:哥哥獲得博士學(xué)位時(shí)是多少歲

26、? 四、 鞏固提高 1. 2010年張伯伯45歲,小聰9歲,那么在哪一年張伯伯的年齡是小聰?shù)?倍? 2. 今年父親年齡是兒子年齡的4倍,24年后父親年齡是兒子年齡的2倍,那么今年父親幾歲? 3. 李家有老大、老二、老三三兄弟,當(dāng)老二像老大那么大時(shí),老二的年齡是老三的3倍,老大的年齡是老二、老三的年齡之和.已知現(xiàn)在三兄弟年齡和為28歲,那么現(xiàn)在老大幾歲? 4. 哥哥對(duì)弟弟說:“當(dāng)我到爸爸現(xiàn)在的年齡時(shí),爸爸就70歲了.”弟弟對(duì)哥哥說:“當(dāng)我到媽媽現(xiàn)在的年齡時(shí),媽媽也70歲了.”已知爸爸比媽媽大2歲,那么哥哥比弟弟大幾歲? 5. 5年前父母的年齡和是兄弟二人年齡和的10倍,明年父母的年齡

27、和是兄弟二人年齡和的4倍.那么從今年起多少年后父母的年齡和是兄弟年齡和的2倍?  第講 相遇問題 一、 知識(shí)梳理 院子里兩棵槐樹之間的距離是10米,一只小貓從一棵槐樹跑到10米外的另一棵槐樹需要5秒,那么小貓每秒跑米. 行程問題是研究路程、時(shí)間和速度之間的關(guān)系.速度是衡量運(yùn)動(dòng)快慢的量,一般我們選用1個(gè)單位的時(shí)間,如用1小時(shí)或1分鐘或1秒,用1個(gè)單位的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程的多少來表示速度的大小.因此我們有了速度的定義. 速度就是單位時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程. 1. 速度、時(shí)間和路程是行程問題中最重要的三個(gè)量，它們之間的關(guān)系如下： 2. 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在一條直線上運(yùn)動(dòng),行進(jìn)的方向可能相同

28、,也可能相反.當(dāng)它們行進(jìn)方向相反時(shí),如果它們面對(duì)面地接近,我們就稱為“相向而行”；如果它們背對(duì)背地遠(yuǎn)離，我們就稱為“相背而行”.兩人之間的“相遇問題”既可以是“相向而行”，也可以是“相背而行”，其中“相向而行”的相遇問題更為常見些. 相遇問題是關(guān)心兩個(gè)人的“速度和”以及“路程和”.根據(jù)行程問題基本公式,我們可以類似得到相遇問題的三個(gè)基本公式: 在使用上述公式時(shí),一定要注意,兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體必須同時(shí)進(jìn)行.如何整個(gè)相遇過程不是同時(shí)進(jìn)行的,這個(gè)公式就不能直接應(yīng)用,需要分段考慮. 3.解決行程問題最得力的助手------畫線段圖. 畫線段圖要注意： A. 專人專線：如果我們考慮的是兩

29、個(gè)或多個(gè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，可以把它們的運(yùn)動(dòng)路線并排擺放，要注意不同人的運(yùn)動(dòng)路線不同. B. 同時(shí)性:如果運(yùn)動(dòng)時(shí)間分為幾個(gè)階段,那么應(yīng)該在運(yùn)動(dòng)路線上表示相應(yīng)的時(shí)刻. 課前練一練： 1、 長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員每秒跑4米，如果按照這個(gè)速度跑完10000米，需要秒. 2、 一顆子彈射出后2秒鐘，恰好擊中1800米處的目標(biāo)，那么，他的速度是每秒米. 3、 一名長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員以每秒4米的速度奔跑，那么2分鐘內(nèi)，他跑了米. 二、 典例精析 【典例1】 甲乙兩地相距360千米，一輛汽車原計(jì)劃用8小時(shí)從甲地到乙地，那么汽車每小時(shí)應(yīng)該行駛多少千米？實(shí)際上汽車行駛了一半路程后發(fā)生了故障，在途中停留了1小時(shí)，如

30、果按照原定的時(shí)間到達(dá)乙點(diǎn)，汽車在后一半路程每小時(shí)應(yīng)該行駛多少千米？ 【分析】需要計(jì)算速度，找清楚對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間即可. 【典例2】 A、B兩地相距4800米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，如果甲每分鐘走60米，以每分鐘走100米，請(qǐng)問： （1） 將從A走到B需要多長(zhǎng)時(shí)間？ （2） 兩個(gè)人從出發(fā)到相遇需要多長(zhǎng)時(shí)？ 【分析】從出發(fā)到相遇，兩人一共走了多遠(yuǎn)？他倆每分鐘一共走多遠(yuǎn)呢？ 【典例3】 一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距350千米的兩地出發(fā)相向而行，公交汽車每小時(shí)行駛40千米，小轎車每小時(shí)行駛60千米，請(qǐng)問: （1）2小時(shí)后，兩車相距多少千米？ （2）出發(fā)幾小

31、時(shí)后兩車第一次相距50千米？ （3）出發(fā)幾小時(shí)后兩車第二次相距50千米？ 【分析】?jī)绍噺膬傻爻霭l(fā)相向而行，為什么會(huì)有兩次相距50千米呢？畫出線段圖，試著找找相同時(shí)間內(nèi)兩輛車的路程和吧！ 【典例4】 甲、乙兩地相距，350千米，一輛汽車早上8點(diǎn)從甲地出發(fā)，以每小時(shí)40千米的速度開往乙地，兩小時(shí)后，另一輛汽車以每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲地，請(qǐng)問：什么時(shí)候兩車在途中相遇？ 【分析】?jī)奢v車不同時(shí)出發(fā)，是不能直接用公式計(jì)算時(shí)間的.還是畫出線段圖，尋找相同時(shí)間內(nèi)的路程和進(jìn)行分析計(jì)算吧！ 【典例5】 （1）小高跑400米用50秒，旗魚每小時(shí)能游120千米，請(qǐng)問：誰的速度更快？ （2）一般

32、情況下，成年人跑100米要用14秒，河馬奔跑的速度是40千米/小時(shí)，河馬跑得比人快嗎？ 三、 牛刀小試 【練習(xí)1】 兔子和烏龜賽跑，從A地跑到B地，全程共6000米.兔子計(jì)劃5分鐘跑完全，結(jié)果比賽時(shí)兔子實(shí)際每分鐘跑的路程比計(jì)劃的要少200米，那么兔子實(shí)際跑完全程用了多長(zhǎng)時(shí)間？ 【練習(xí)2】 阿呆和阿瓜從相距5000千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行.如果阿呆每分鐘走150米，阿瓜每分鐘走350米，那么兩人從出發(fā)到相遇需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 【練習(xí)3】 A、B兩地相距400千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車的速度為每小時(shí)60千米，乙車的速度為每小時(shí)40千米，請(qǐng)問： （1）出發(fā)

33、幾小時(shí)后，甲、乙兩車第一次相距，100千米？ （2）再過多長(zhǎng)時(shí)間兩車第二次相距100千米？ 【練習(xí)4】 小王和小許從相距5000米的各自的家里出發(fā)相向而行，小王每分鐘走200米，小許每分鐘走300米，小王出發(fā)后10分鐘后小許才從家出發(fā).那么小王走了多長(zhǎng)時(shí)間兩人才相遇？ 四、 鞏固提高 1、 一名長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員以每秒4米的速度奔跑，那么5分鐘后他跑了多少米？ 2、 甲、乙兩車從相距700千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲車每小時(shí)行駛40千米，乙車每小時(shí)行駛60千米，那么出發(fā)幾小時(shí)后兩車相遇？ 3、 甲、乙兩車從兩地同，是出發(fā)相向而行，甲車每小時(shí)行駛60千米，一車每小時(shí)行駛75千米，出發(fā)兩小時(shí)

34、后兩車相遇.請(qǐng)問兩地相距多少千米？ 4、 一只大老鼠和一只小老鼠分別從一根長(zhǎng)1000厘米的直線面條的兩端開始吃，大老鼠每秒吃3厘米，小老鼠，每秒吃1厘米.請(qǐng)問多長(zhǎng)時(shí)間后，大老鼠和小老鼠第一次相距40厘米？ 5、 甲、乙兩城相距580千米，從甲城開往乙城的客車每小時(shí)行駛60千米，客車出發(fā)1小時(shí)后，貨車從乙城開往甲城，每小時(shí)行駛70千米，請(qǐng)問，貨車開出多少小時(shí)后兩車相遇？  第講 追及問題 一、 知識(shí)梳理 上一講我們學(xué)習(xí)了基本行程問題中的相遇問題，這一講我們來學(xué)習(xí)行程問題中的另一類重要問題——追及問題. 基本追及問題是指兩個(gè)人在同一直線上同向而行的行程問題，主要分為兩種情況：一種是

35、后面的人速度快，經(jīng)過一段時(shí)間追上了另一個(gè)人；還有一種是前面的人速度快，兩人的距離越來越遠(yuǎn). 相遇問題考慮的是“路程和”與“速度和”，而追及問題中兩人是同向而行，因此我們考慮的是兩個(gè)人的“路程差”以及“速度差”，仿照行程問題公式我們同樣可以得到追及問題的三個(gè)基本公式： 路程差=速度差追及時(shí)間 追及時(shí)間=路程差速度差 速度差=路程差追及時(shí)間 二、 典例精析 【典例1】 A、B兩地相距260米，甲乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，（乙在前，甲在后）甲每秒走5米，乙每秒走3米那么甲出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后可以追上乙？ 【分析】從出發(fā)到追上，甲一共比乙多走了多少？甲每分鐘比乙多走多少呢？ 【

36、典例2】 墨莫步行上學(xué)，每分鐘行75米，墨莫離家12分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶文具盒，馬上騎自行車去追，每分鐘行375米，求爸爸追上墨莫所需要的時(shí)間？ 【分析】畫出線段圖，注意兩人不是同時(shí)出發(fā)的哦！試著找找兩人相同時(shí)間內(nèi)的路程差吧！ 【典例3】 一輛公共汽車和一輛小轎車從相距100千米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，公共汽車在前面，每小時(shí)行駛40千米，小轎車在后面，每小時(shí)行駛60千米，請(qǐng)問： （1） 經(jīng)過2小時(shí)后，兩車相距多少千米？ （2）出發(fā)幾小時(shí)后小轎車會(huì)領(lǐng)先公共汽車100千米？ 【典例4】 一輛汽車早上6點(diǎn)從A城出發(fā)，以每小時(shí)40千米的，速度向B城市駛?cè)ィ?小時(shí)后一輛小轎車以每小時(shí)75千

37、米的速度也從A城出發(fā)到B城，當(dāng)小轎車到達(dá)B城后，公共汽車離B城還有160千米，請(qǐng)問：小轎車什么時(shí)候到達(dá)B城？ 【典例5】 甲、乙兩車同時(shí)從東西兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行駛36千米，乙車每小時(shí)行駛30千米，兩車在距離中點(diǎn)9千米處相遇，求東西兩地間的距離？ 【分析】?jī)绍囅嘤?，兩地距離是兩車的路程和，我們?nèi)菀姿愠鰞绍囁俣群?，但不知道兩者的相遇時(shí)間，能通過“在距離中點(diǎn)9千米處相遇”，這個(gè)條件算出相遇時(shí)間嗎？大家試著畫出線段圖進(jìn)行分析 三、 牛刀小試 【練習(xí)1】 龜、兔賽跑，龜比兔先出發(fā)100分鐘，龜每分鐘爬30米，兔每分鐘跑330米，請(qǐng)問，兔4出發(fā)后多久追上烏龜？ 【練習(xí)2】 京、津兩

38、地相距120千米，客車和貨車分別從北京和天津同時(shí)出發(fā)同向而行，客車在前，貨車在后，已知客車每小時(shí)行駛100千米，貨車每小時(shí)行駛120千米，那么出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間貨車追上客車， 【練習(xí)3】 阿呆和阿瓜沿著同一條路線跑步上學(xué)，阿呆每秒跑3米，阿瓜每秒跑7米，現(xiàn)在，阿瓜落后阿呆50米，那么過多長(zhǎng)時(shí)間阿瓜會(huì)領(lǐng)先阿呆50米？ 【練習(xí)4】 高速公路上自西向東分布著A、B、C、D四個(gè)加油站，其中A、B之間的距離是20千米，C、D之間的距離是40千米，上午6：00快、慢兩車分別從A、B兩地出發(fā)向東前進(jìn)，快車的速度是每小時(shí)80千米，慢車的速度是每小時(shí)60千米，當(dāng)快車到達(dá)D加油站的時(shí)候，慢車正好到達(dá)C，那么快車從

39、A到D一共行駛了幾個(gè)小時(shí)？ 四、 鞏固提高 1、 甲、乙兩鎮(zhèn)相距100千米，上午7點(diǎn)，一輛汽車和一輛馬車分別從甲、乙兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)同向而行，馬車在前，汽車在后，汽車的速度是每小時(shí)行50千米，馬車的速度是每小時(shí)行30千米，那么經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間汽車會(huì)追上馬車？ 2、 甲、乙兩車分別從相距60千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，乙車在前，甲車在后，20小時(shí)后甲車追上了乙車，已知乙車每小時(shí)行50千米，那么甲車每小時(shí)行多少千米？ 3、 甲從A出發(fā)，每分鐘走50米，甲出發(fā)30分鐘后，乙也從A出發(fā)，去追甲，乙每分鐘走80米，那么乙出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后追上了甲？ 4、 甲、乙兩車分別從相距300千米的A、B兩地同

40、時(shí)出發(fā)同向而行，乙車在前，甲車在后，甲車每小時(shí)行駛60千米，乙車每小時(shí)行駛30千米，那么出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后，甲車會(huì)領(lǐng)先乙車300千米？ 5、 甲、乙兩車分別從東、西兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，已知甲車較快，每小時(shí)行駛45千米，乙車每小時(shí)行駛37千米，那么出發(fā)后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，兩車會(huì)在距離東、西兩地中間點(diǎn)12千米處相遇？  第講 火車行程問題 一、 知識(shí)梳理 我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本行程問題，明確了速度、時(shí)間和路程這三個(gè)量之間的關(guān)系. 路程=速度時(shí)間速度=路程時(shí)間時(shí)間=路程速度 另外，我們還學(xué)習(xí)了兩個(gè)對(duì)象之間的形成關(guān)系：相遇和追及 相遇問題中有： 路程和=速度和相遇時(shí)間 速度和=路程和相

41、遇時(shí)間 相遇時(shí)間=路程和速度和 追及問題中有： 路程差=速度差追及時(shí)間 追及時(shí)間=路程差速度差 速度差=路程差追及時(shí)間 本講，我們將在之前的內(nèi)容的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一類新的、比較特殊的行程問題——與運(yùn)動(dòng)對(duì)象本身長(zhǎng)度有關(guān)系的行程問題——我們稱之為“火車行程”. 比如，北京到廣州的鐵路全長(zhǎng)2300千米，如果一列火車從北京出發(fā)，以每秒100千米的速度開往廣州，我們很容易算出火車需要行駛23小時(shí)，在這個(gè)問題中火車的長(zhǎng)度與北京到廣州的距離相比微乎其微，我們可以忽略不計(jì)火車的長(zhǎng)度. 但是當(dāng)行人在鐵路旁行走，火車從行人身邊開過時(shí)，火車頭與行人相遇到車尾離開行人，是需要一段時(shí)間的，這時(shí)火車的長(zhǎng)度就不

42、能忽略不計(jì)了，我們需要把火車看成考慮自身長(zhǎng)度的運(yùn)動(dòng)物體. 火車行程問題和一般的行程問題最大的區(qū)別在于，火車是有長(zhǎng)度的，因此計(jì)算火車行駛的距離，我們盯住火車上的一個(gè)點(diǎn)，比如車頭，或者車尾，車頭行了多遠(yuǎn)，火車就行了多遠(yuǎn)；車尾行了多遠(yuǎn)，火車也就行了多遠(yuǎn). 分析火車形成過程，首先要畫出始末兩個(gè)狀態(tài)，找到最后對(duì)齊的部位及其初始位置，將火車行程過程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)部分之間的相遇或追及過程. 火車的行程問題大起上可分為三類：火車過橋/山洞/隧道等問題；火車與行人相遇和追及問題；火車與貨車相遇和追及問題. 我們先來看看火車經(jīng)過橋/山洞/隧道的過程. 這類問題一般會(huì)考慮兩種情況——“火車通過橋/山洞/隧道”

43、與“火車完全在橋上/山洞/隧道中”. ① “火車通過橋”即指“火車從車頭上橋到車尾離橋”的過程.如圖所示： 首先，找到最后對(duì)齊的部位——車尾與車頭（紅旗），再找出它們最初的位置，整個(gè)過程便可以轉(zhuǎn)化為車尾從初始位置已知行駛到橋頭紅旗出的過程，很明顯，路程即為“火車車長(zhǎng)與橋長(zhǎng)之和” 由此我們可以總結(jié)出以下規(guī)律： 火車在通過橋/山洞/隧道時(shí)行駛的總路程是火車車長(zhǎng)與橋/山洞/隧道的長(zhǎng)度之和. 二、 典例精析 【典例1】 （1）一列火車車長(zhǎng)180米，每秒行20米，請(qǐng)問這列火車通過320米的大橋需要多長(zhǎng)時(shí)間？ （2）一列火車以每分鐘，1000米的速度通過一條長(zhǎng)2800米的隧道，用了180

44、秒，請(qǐng)問這列火車長(zhǎng)多少米？ 【分析】火車通過橋即從車頭上橋到車尾下橋的過程，火車的路程是什么呢？ 【典例2】 （1）一列火車車長(zhǎng)180米，每秒行20米，請(qǐng)問這列火車通過320米的大橋需要多長(zhǎng)時(shí)間？ （2）一列火車以每分鐘，1000米的速度通過一條長(zhǎng)2800米的隧道，用了180秒，請(qǐng)問這列火車長(zhǎng)多少米？ 【分析】火車通過橋即從車頭上橋到車尾下橋的過程，火車的路程是什么呢？ 【典例3】 （1）一行人沿著鐵路散步，每秒走1米，迎面過來一列長(zhǎng)300米的火車.已知火車每秒鐘行駛14米，那么火車頭與行人相遇到火車尾離開行人共用了多長(zhǎng)時(shí)間？ （2）一行人以每分鐘60米的速度沿鐵路步行，一列長(zhǎng)14

45、4米的火車從他身后開來，火車的速度是每秒17米，那么客車從他身邊經(jīng)過用了多少秒？ 【分析】題（1）是火車與行人相遇問題，在相遇過程中，路程和是什么呢？題（2）是火車與行人的追及過程，路程差又是什么呢? 【典例4】 （1）一列火車車長(zhǎng)180米，每秒行20米，另一列火車車長(zhǎng)200米，每秒行18米，兩車相向而行，請(qǐng)問他們從車頭相遇到車尾相離要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間？ （2）甲火車車長(zhǎng)370米，每秒行15米，乙火車車長(zhǎng)350米，每秒行21米，兩車同向而行，請(qǐng)問：乙車中追上甲車到完全超過共需多長(zhǎng)時(shí)間？ 【分析】題（1）是兩列火車的相遇問題，在相遇過程中，路程和是什么呢？題（2）是兩列火車的追及問題，路程差

46、又是什么呢？ 【典例5】 與鐵路平行的一條小路上，有一行人與一個(gè)騎車的人，同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為每秒1米，騎車人的速度為每秒3米，這時(shí)有一列長(zhǎng)360米的火車，從他們背后開過來，火車從行人身旁經(jīng)過用了18秒，請(qǐng)問：這列火車從騎車人身邊經(jīng)過用了多長(zhǎng)時(shí)間？ 【分析】問題的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)追及問題，火車與行人的追及問題，以及火車與騎車人的追及問題，在追及過程中火車、行人、騎車人經(jīng)過的路程有什么關(guān)系，路程差分別是什么？ 三、 牛刀小試 【練習(xí)1】 一列火車長(zhǎng)700米，以每分鐘500米的速度通過一座長(zhǎng)1300米的大橋，請(qǐng)問：從車頭上橋到車尾離橋要多少分鐘？ 【練習(xí)2】 一列貨車以每秒20米的速度通過

47、一條長(zhǎng)2800千米的隧道，完全在隧道中的時(shí)間是100秒，請(qǐng)問：這列貨車有多長(zhǎng)？ 【練習(xí)3】 （1）一人每分鐘60米的速度沿鐵路步行，一列長(zhǎng)144米的客車從對(duì)面開來，從他身邊通過用了8秒，請(qǐng)問客車的速度是每秒多少米？ （2）東東在鐵路旁邊沿著鐵路方向散步，他散步的速度是2米每秒，背后開來一列火車，從車頭追上他到車尾離開他，一共用了18秒，已知火車速度17米每秒，請(qǐng)問：火車車長(zhǎng)是多少米？ 【練習(xí)4】 （1）已知快車長(zhǎng)582米，每秒行24米，慢車長(zhǎng)1018米，兩車相向而行，他們從車頭相遇到車尾相離共用40秒，請(qǐng)問：慢車速度是多少？ （2）已知快車長(zhǎng)182米，每秒行20米，慢車長(zhǎng)1340，每秒

48、行18米，兩車同向而行.請(qǐng)問：快車追上到完全超越慢車的時(shí)間是多少秒？ 四、 鞏固提高 1. 一列火車車長(zhǎng)180米，每秒行25米，請(qǐng)問：這列火車完全通過320米的大橋需要多少秒？ 2. 一列火車長(zhǎng)240米，每秒行30米，如果這列火車車尾在720米的大橋的一端，那么行駛多少秒后，火車的車頭到達(dá)大橋的另一端？ 3. 詩(shī)詩(shī)在鐵路旁的公路上散步，他散步的速度是每秒2米，這時(shí)迎面開來一列火車，經(jīng)過他身旁用了18秒，已知火車全長(zhǎng)360米，請(qǐng)問：火車每秒行多少米？ 4. 高高在鐵路旁的公路上，以每秒2米的速度步行，一列長(zhǎng)180米的火車從他后面駛來，從他身邊通過用了10秒，請(qǐng)問火車每秒行多少米？ 5

49、. 有兩列火車，一列火車長(zhǎng)360米，每秒行18米，另一列火車長(zhǎng)216米，每秒行30米，兩車同向而行，請(qǐng)問：快車超趕慢車（從追上到完全超過）需要多少秒？  第講 邏輯推理 五、 知識(shí)梳理 邏輯學(xué)是一門思維科學(xué)，研究對(duì)象時(shí)人們的思維形式及其規(guī)律.邏輯學(xué)主要包括形式邏輯、辯證邏輯和數(shù)理邏輯，我們學(xué)習(xí)的邏輯推理主要是形式邏輯中的推理部分.有一位家喻戶曉的任務(wù)就是演繹推理方面的大師——江戶川柯南！ 首先，我們看一下最簡(jiǎn)單的真假話問題.一句話不是真話，就是假話.這在邏輯學(xué)中被稱為排中律，判斷真?zhèn)问沁壿嬐评碇凶罨镜膯栴}之一. 我們?cè)谶M(jìn)行邏輯推理時(shí)，往往還需要應(yīng)用假設(shè)法分析問題，要考慮全面.既

50、要考慮到所假設(shè)的條件成立的情況，還要考慮到條件不成立的情況. 六、 典例精析 【典例6】 甲、乙、丙三人中有一人是牧師，有一人是騙子，還有一個(gè)人是賭棍.牧師從不說謊，騙子總說謊，賭棍有時(shí)說真話有時(shí)說謊話.甲說：我是牧師.乙說：我是騙子.丙說：我是賭棍.請(qǐng)問：甲、乙、丙三人中誰是牧師？誰是騙子？誰是賭棍？ 【分析】這三句話那句話是真的？那句話是假的？ 【典例7】 有甲、乙、丙三名學(xué)生一起到動(dòng)物園看見一只動(dòng)物.甲判斷：不是雞，不是鴨.乙判斷：不是雞，而是鵝.丙判斷：不是鵝，而是雞.經(jīng)飼養(yǎng)員的證實(shí)，有一個(gè)人判斷完全正確，一個(gè)人只說對(duì)了一半，一個(gè)人則完全說錯(cuò).那么這只動(dòng)物是什么呢？ 【典例8

51、】 某校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，A、B、C、D、E、F、G、H這八位同學(xué)獲得前八名.老師讓他們猜一下誰是第一名.A說：F或H是第一名.B說：我不是第一名.C說：G是第一名.D說：B不是第一名.E說：A說的不對(duì).F說：我不是第一名，H也不是第一名.G說：C不是第一名.H說：我同意A的意見.老師指出：八人中有三人猜對(duì)了.問：第一名是誰？ 【分析】這八位同學(xué)中一定有一人是第一名，對(duì)第一名逐個(gè)實(shí)驗(yàn)，似乎可以解決問題.有沒有更簡(jiǎn)單的方法呢？這八個(gè)人說的話中有沒有哪些人意見相同？有沒有哪些人意見相反？ 【典例9】 徐、王、陳、趙四位師傅分別是木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷.已知： ①木工只和車工下棋，而且

52、總是輸給車工； ② 王、陳兩位師傅和木工經(jīng)常一起看球； ③ 陳師傅與電工下棋互有勝負(fù)； ④ 徐師傅比趙師傅棋藝高很多. 請(qǐng)問：徐、王、陳、趙四位師傅各是什么工種？ 【分析】這是一個(gè)多對(duì)多的邏輯推理問題，我們可以用列表分析的方法來解決.比如根據(jù)條件②，王師傅和陳師傅都不是木工，我們可以在相應(yīng)的格子中打“”. 【典例10】 甲、乙、丙、丁四人對(duì)A先生的藏書數(shù)目作了一個(gè)估計(jì).甲說：A先生有500本書.乙說：A先生至少有1000本書.丙說：A先生的書不到2000本.丁說：A先生最少有1本書.實(shí)際上這四個(gè)人的估計(jì)中只有一句話是對(duì)的.請(qǐng)問：A先生究竟有多少本書？ 【典例11】 有三戶人家，父

53、親分別姓王、張、陳，母親分別姓劉、李、胡，每家有一個(gè)人孩子，分別叫明明（女）、寧寧（女）、松松（男）.已知： ①王家和李家的孩子都參加了女子體操隊(duì)； ②張家的女兒不叫寧寧； ③陳和胡不是一家人. 請(qǐng)問：哪些人是一家？ 七、 牛刀小試 【練習(xí)5】 甲、乙、丙三人中有一人是牧師，有一人是騙子，還有一人是賭棍.牧師從不說謊，騙子總說謊，賭棍有時(shí)說真話有時(shí)說謊話.甲說：我不是牧師.乙說：我不是騙子.丙說：我不是賭棍.請(qǐng)問：甲、乙、丙三人中誰是賭棍？ 【練習(xí)6】 某地質(zhì)學(xué)院的三名學(xué)生對(duì)一種礦石進(jìn)行分析.甲判斷：不是鐵，不是銅.乙判斷：不是鐵，不是錫.丙判斷：不是錫，不是鐵.經(jīng)化驗(yàn)證明，有一

54、個(gè)人判斷完全正確，一個(gè)人直說對(duì)了一半，一個(gè)人則完全說錯(cuò).那么誰說對(duì)了一半？ 【練習(xí)7】 小剛、小李、小楊、小王四個(gè)人中有一位打破了玻璃.老師問：這時(shí)誰干的？小王說：不是我干的.小剛也說：不是我干的.小李說：小王干的.小楊說：是小李干的.已知他們四個(gè)人中有且僅有一個(gè)人沒有說真話，那么是誰打碎的玻璃？ 【練習(xí)8】 甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行象棋比賽，并決出了一、二、三、四名.已知：甲比乙的名次靠前；丙、丁喜歡一起踢足球；乙、丁每天一起騎自行車上班；第二名不會(huì)騎自行車，也不愛踢足球；第一、三名在這次比賽之前并不認(rèn)識(shí).請(qǐng)你按照名次給出他們的排名. 八、 鞏固提高 1. 小黃遇到了瘋子、傻子、騙子三

55、人.傻子只說真話，騙子只說假話，瘋子有時(shí)說真話，有時(shí)說假話.第一個(gè)人說：我和第二個(gè)人是兄弟.第二個(gè)人說：我是騙子.第三個(gè)人說：傻子和瘋子是兄弟.那么究竟哪個(gè)人是騙子？ 2. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)衫上印有不同的號(hào)碼.趙說：甲是2號(hào)，乙是3號(hào).錢說：丙是4號(hào)，乙是2號(hào).孫說：丁是2號(hào)，丙是3號(hào).李說：丁是1號(hào)，乙是3號(hào).又知道趙、錢、孫、李每人都只說對(duì)了一半.請(qǐng)問：丙的號(hào)碼是幾號(hào)？ 3. 觀眾給賽馬比賽的前四名A、B、C、D四匹馬排名次，甲說：第一名不是A就是C；乙說：B跑得比D快；丙說：如果A得第一，C就得第二；丁說：B、D都不會(huì)得第三；結(jié)果四個(gè)人誰沒得錯(cuò).那么四匹馬的名次是什么？

56、 4. 甲、乙、丙三位老師教五年級(jí)三班的語文、數(shù)學(xué)和外語.已知甲老師上課全用漢語，外語老師是一個(gè)學(xué)生的哥哥，丙是一位女老師，她比數(shù)學(xué)老師活潑.那么乙老師教什么課？ 5. 甲、乙、丙三人分別是一班、二班和三班的學(xué)生，在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上他們分別獲得跳高、百米和鉛球冠軍.已知： ① 甲不是百米冠軍； ② 一班的不是鉛球冠軍； ③ 二班的是百米冠軍； ④ 乙既不是二班的也不是跳高的冠軍； 請(qǐng)問：他們?nèi)朔謩e是哪個(gè)班的？分別獲得哪項(xiàng)冠軍？  第講 最值問題 九、 知識(shí)梳理 最值問題即求最大值、最小值問題. 這類問題中，有時(shí)滿足題目的情況并不多，這時(shí)我們就可以用枚舉法將所有的可能情況一一

57、列出，再比較大小，直接枚舉的優(yōu)點(diǎn)是不用過多考慮的，大家都比較容易. 但是，我們可以思考一下，最大值和最小值有沒有什么特殊的規(guī)律. 十、 典例精析 【典例12】 （1）在五位數(shù)12345的某一位數(shù)后面插入一個(gè)同樣的數(shù)字，可以得到一個(gè)六位數(shù)（例如：在2后面可以插入2可以得到122345）.請(qǐng)問：能得到的最大六位數(shù)是多少？ （2）在七位數(shù)9876789的某一位數(shù)字后面再插入一個(gè)同樣的數(shù)字.請(qǐng)問：能得到的最小八位數(shù)是多少？ 【分析】一共有多少中不同的插入數(shù)字的方法？你能將它們?nèi)棵杜e出來嗎？ 【典例13】 有9個(gè)同學(xué)要進(jìn)行象棋比賽，他們準(zhǔn)備分成兩組，不同組的任意兩人之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，同

58、組人不比賽.那么最多有多少場(chǎng)比賽？ 【分析】把9個(gè)同學(xué)分成兩組，有多少種情況呢？你能算出這些分法各自對(duì)應(yīng)的比賽場(chǎng)數(shù)嗎？ 通過以上例題，最終我們得出：兩個(gè)數(shù)的和相等，當(dāng)他們?cè)浇咏鼤r(shí)（也就是它們的差越小時(shí)），兩數(shù)乘積越大，也可以簡(jiǎn)單記成：“和同近積大”. “和同近積大”的應(yīng)用很廣泛，接下來我們分析一下比較典型的“籬笆問題”. 【典例14】 莫爺爺要用長(zhǎng)20米的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，已知長(zhǎng)和寬均為整數(shù)米.那么怎樣圍所得的養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大？（正方形是特殊的長(zhǎng)方形） 【分析】長(zhǎng)方形面積是長(zhǎng)、寬的乘積，要想長(zhǎng)、寬乘積最大，可不可以應(yīng)用“和同近積大”的道理來解決呢？能找到“和同”嗎？

59、【典例15】 請(qǐng)將1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)分別填入下面的方格中，使得乘法算式的結(jié)果最大. 【分析】要使得乘積最大，百位應(yīng)當(dāng)填哪兩個(gè)數(shù)？十位呢？個(gè)位呢？ 【典例16】 如圖，莫爺爺要用長(zhǎng)20米的籬笆圍成一個(gè)靠墻的直角三角形養(yǎng)雞場(chǎng)，已知靠近墻的恰好為三角形斜邊，兩條直角邊長(zhǎng)均為整數(shù)米.那么怎樣圍成所得的養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大？ 【分析】長(zhǎng)方形籬笆我們已經(jīng)解決了，三角形的與長(zhǎng)方形的有什么聯(lián)系嗎？ 想一想：要用籬笆圍成一個(gè)靠墻的三角形，那么銳角三角形、直角三角中、鈍角三角形中哪一種面積會(huì)最大？ 注意：在很多問題中，我們需要先進(jìn)行整體思考，再對(duì)局部進(jìn)行一些調(diào)整，千萬不能“丟了西瓜撿了芝麻.

60、 【典例17】 各位數(shù)字互不相同的多位數(shù)中，請(qǐng)問：（1）數(shù)字之和為23的最小數(shù)是多少？（2）數(shù)字之和為32的最大數(shù)是多少？ 【分析】?jī)蓚€(gè)多位數(shù)比較大小，首先要比較它們的位數(shù).如果位數(shù)相同，還要從高位到地位依次比較. 十一、 牛刀小試 【練習(xí)9】 有五位數(shù)41729的某一位數(shù)字前面插入一個(gè)同樣的數(shù)字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位數(shù)是多少？ 【練習(xí)10】 有7個(gè)同學(xué)要進(jìn)行乒乓球單打比賽，他們準(zhǔn)備分成兩組，不同組的任意兩人之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，同組的人不比賽，那么最多有多少場(chǎng)比賽？ 【練習(xí)11】 莫爺爺要用30米的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，已知長(zhǎng)和寬均為整數(shù)

61、米，那么怎樣圍所得的養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大？ 【練習(xí)12】 請(qǐng)將1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)分別填入下面的方格中，使得乘法算式的結(jié)果最大. 十二、 鞏固提高 1. 在六位數(shù)129854的某一位數(shù)字前面再插入一個(gè)同樣的數(shù)字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），那么能得到的最小七位數(shù)是多少？ 2. 兩個(gè)自然數(shù)之和等于10，那么它們的乘積最大是多少？ 3. 用20根長(zhǎng)1厘米的火柴棒圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的面積最大是多少平方厘米？ 4. 請(qǐng)將3、4、5、6、7、8這個(gè)六個(gè)數(shù)分別填入算式的方格中，使這個(gè)乘法算式的結(jié)果最大. 5. 各位數(shù)字互不相同的多位數(shù)中，請(qǐng)問：

62、 （1） 數(shù)字之和為32的最小數(shù)是多少？ （2） 數(shù)字之和為32的最大數(shù)是多少？  第講 統(tǒng)籌規(guī)劃 十三、 知識(shí)梳理 統(tǒng)籌方法，是一種研究如何安排工作進(jìn)程的方法.舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，有些工作是可以兩件事情或多件事情同時(shí)做的.比如：燒水時(shí)可以洗茶壺、茶杯.有些工作務(wù)必有先后次序要求，比如在洗水壺要安排在燒水之前.所以，要根據(jù)實(shí)際情況，合理的安排工作順序，使得總時(shí)間或總花費(fèi)最少，正是統(tǒng)籌法研究的問題. 十四、 典例精析 【典例18】 萱萱中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的時(shí)間如下：切豆腐2分鐘，切肉片2分鐘，準(zhǔn)備蔥姜蒜3分鐘，準(zhǔn)備佐料1分鐘，燒熱鍋2分鐘，燒熱油2分鐘，

63、炒菜4分鐘.請(qǐng)問：萱萱燒好這道菜最短要多少分鐘？ 【分析】有哪些工序是能同時(shí)做的？哪些工序是必須考慮先后順序的？ 【典例19】 小雜店里有一位售貨員賣貨，同時(shí)來了A、B、C、D、E五位顧客.A買糖果需要2分鐘，B買大米需要6分鐘，C買香煙和啤酒需要4分鐘，D買水果需要3分鐘，E買蔬菜需要5分鐘.請(qǐng)問：售貨員應(yīng)該如何安排這五位客人的順序，使得這五位客人排隊(duì)等候的所用時(shí)間的總和最少？最少是多少？（只計(jì)算每位顧客排隊(duì)的時(shí)間，不計(jì)算買東西的時(shí)間） 【典例20】 如圖是一張道路圖，每段路旁標(biāo)注的數(shù)字表示小山羊走完這段路所需的分鐘數(shù)，請(qǐng)問：小山羊從A出發(fā)走到B最快需要多少分鐘？ 【典例21】 如圖

64、，一條路上從西向東有A、B、C、D、E五所學(xué)校，分別有200人、300人、400人、500人、600人.任意相鄰的兩所學(xué)校之間的距離都是100米.現(xiàn)在要在某所學(xué)校門口修建一個(gè)公共汽車站，使得所有人到達(dá)車站的距離之和最小.那么車站應(yīng)該建在什么地方？這時(shí)距離之和是多少？ 【典例22】 北京和上海分別制成同樣型號(hào)的車床10臺(tái)和6臺(tái)，這些車床準(zhǔn)備分給武漢11臺(tái)、西安5臺(tái)，每臺(tái)車床的運(yùn)費(fèi)如下圖，那么總運(yùn)費(fèi)最少是多少元？ 【典例23】 西點(diǎn)店里賣的面包都是5個(gè)一袋或3個(gè)一袋的，不拆開零售.已知5個(gè)一袋的售價(jià)是8元，3個(gè)一袋的售價(jià)是5元.要給47位同學(xué)每人發(fā)1個(gè)面包最少要話多少元？ 十五、 牛刀小

65、試 【練習(xí)13】 媽媽讓冬冬個(gè)客人燒水沏茶.洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘.冬冬估算了一下，完成這些工作要20分鐘.為了盡快給客人沏茶，你認(rèn)為最合理的安排，最少需要多少分鐘？ 【練習(xí)14】 理發(fā)店里只有一位理發(fā)師，但同時(shí)來了五位顧客，理發(fā)師一次只能給一位顧客理發(fā).由于顧客要求的發(fā)型不同，理發(fā)師給這五位顧客理發(fā)分別需要10、20、16、12、25分鐘，怎樣安排這五位顧客理發(fā)的順序，才能使這五位顧客排隊(duì)等候所用時(shí)間的總和最少？最少是多少？ 【練習(xí)15】 如圖是某城市的道路圖，每段路旁標(biāo)注的數(shù)字表示走完這段路所需的分鐘數(shù).請(qǐng)問：郵遞

66、員從A點(diǎn)沿道路到達(dá)B點(diǎn)至少要經(jīng)過多少時(shí)間？ 【練習(xí)16】 如圖，有八個(gè)村莊1、2、3、4、5、6、7、8分布在公路兩側(cè)，由一些小路與公路相連.現(xiàn)在要在公路上設(shè)一個(gè)汽車站，并且使得汽車站到各村莊的距離之和最小.那么車站應(yīng)設(shè)在哪里？ 十六、 鞏固提高 1. 早晨，媽媽起來準(zhǔn)備早飯，她燒開水需要8分鐘，灌開水需要1分鐘，擦桌子需要5分鐘，下樓拿牛奶需要6分鐘，煮牛奶需要6分鐘，如果灶頭上只有一個(gè)灶頭，請(qǐng)問：媽媽準(zhǔn)備早飯最少需要幾分鐘？ 2. 四個(gè)人各拿一個(gè)大小不同的水壺在飲水機(jī)前接水，他們接水所需的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘和5分鐘.由于飲水機(jī)只有一個(gè)出口，請(qǐng)你適當(dāng)安排這四個(gè)人接水的順序，使所有人排隊(duì)和接水所用的時(shí)間的總和最少.請(qǐng)問：這個(gè)總時(shí)間最少是多少？ 3. 一條直街上