高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十七章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件(理) 新人教B版.ppt

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第十七章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程,高考理數(shù),1.坐標(biāo)系與極坐標(biāo) (1)極坐標(biāo)系的概念:在平面內(nèi)取一個定點O,叫做 極點 ;自極點O引一條射線Ox,叫做 極軸 ; 再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就 建立了一個極坐標(biāo)系. 設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的 極徑 ,記為ρ;以極軸Ox為始邊,射線 OM為終邊的∠xOM叫做點M的極角,記為θ.有序數(shù)對 (ρ,θ) 叫做點M的極坐標(biāo),記為M(ρ,θ). 一般地,不作特殊說明時,我們認(rèn)為ρ≥0,θ可取任意實數(shù). (2)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取 相同 的長度單 位.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(ρ,θ),則,知識清單,(3)直線的極坐標(biāo)方程:若直線過點M(ρ0,θ0),且與極軸所成的角為α,則它的方程為ρsin(θ-α)= ρ0sin(θ0-α) . 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程: (i)直線過極點:θ=θ0和θ= π-θ0 ; (ii)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:ρcos θ= a ; (iii)直線過點M 且平行于極軸:ρsin θ= b . (4)圓的極坐標(biāo)方程:圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r的圓的方程為ρ2-2ρρ0cos(θ-θ0)+ -r2=0. 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程: (i)圓心位于極點,半徑為r:ρ= r ; (ii)圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ= 2acos θ ; (iii)圓心位于M ,半徑為a:ρ= 2asin θ . 2.參數(shù)方程 (1)參數(shù)方程的意義,一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù) 并 且對于t的每一個允許值,由上述方程組所確定的點 (x,y) 都在這條曲線上,則該方程叫做這 條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱 參數(shù) . 注意:相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. (2)常見曲線的參數(shù)方程的一般形式 (i)經(jīng)過點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任一 點,則t表示有向線段 的數(shù)量. (ii)圓的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)). (iii)圓錐曲線的參數(shù)方程 橢圓 + =1(ab0)的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)), 雙曲線 - =1(a0,b0)的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)),,拋物線y2=2px的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)). 注:①曲線上任一點的坐標(biāo)都可用一個參數(shù)表示,變元只有一個.特別對于圓、圓錐曲線有很大 用處.②參數(shù)方程化為普通方程,主要用“消元法”消參,常用代入法、加減消元法、三角恒等 式消元等.在參數(shù)方程化為普通方程時,要注意保持同解變形.③無論極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程還 是普通方程,在進行互化時,一定要注意變量的范圍,要注意轉(zhuǎn)化的等價性.,求曲線的極坐標(biāo)方程的一般步驟: 例1 (2015課標(biāo)Ⅰ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建 立極坐標(biāo)系.,突破方法,方法1 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用,(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ= (ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求△C2MN的面積. 解析 (1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=-2,C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ- 4ρsin θ+4=0. (5分) (2)將θ= 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 ,ρ2= ,故ρ1-ρ2= ,即|MN|= . 由于C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為 . (10分) 規(guī)律總結(jié) 直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ)的步驟: (1)運用ρ= ,tan θ= (x≠0); (2)在[0,2π)內(nèi)由tan θ= (x≠0)求θ時,先由直角坐標(biāo)的符號特征判斷點所在的象限和極角θ的范 圍,再求θ的值. 直角坐標(biāo)方程 極坐標(biāo)方程,1-1 (2015貴州遵義一模,23,10分)已知在一個極坐標(biāo)系中,點C的極坐標(biāo)為 . (1)求出以C為圓心,2為半徑長的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形; (2)在極坐標(biāo)系中,以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,點P 是圓C上任意一點,Q(5,- ),M是線段PQ的中點,當(dāng)點P在圓C上運動時,求點M的軌跡的普通方 程. 解析 (1)如圖,設(shè)圓C上任意一點A(ρ,θ),則∠AOC=θ- 或 -θ. 由余弦定理得4+ρ2-4ρcos =4,,∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos . (2)在直角坐標(biāo)系中,點C的坐標(biāo)為(1, ),可設(shè)圓C上任意一點P(1+2cos α, +2sin α), 設(shè)M(x,y),由Q(5,- ),M是線段PQ的中點, 得M的參數(shù)方程為 ? (α為參數(shù)). ∴點M的軌跡的普通方程為(x-3)2+y2=1.,參數(shù)方程化為普通方程的注意事項: 在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時,不僅要把參數(shù)消去,還要注意x、y的取值范圍,即在消去 參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性. 例2 (2014課標(biāo)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cos θ,θ∈ . (1)求C的參數(shù)方程; (2)設(shè)點D在C上,C在D處的切線與直線l:y= x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐 標(biāo). 解析 (1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0≤t≤π). (2)設(shè)D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓.,方法2 參數(shù)方程及應(yīng)用,因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線GD與l的斜率相同,tan t= ,t= . 故D的直角坐標(biāo)為 ,即 . 規(guī)律總結(jié) 由參數(shù)方程得到普通方程的思路是消參,消去參數(shù)的方法要視情況而定,一般有三種 情況: (1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式,然后代入消去參數(shù),或直接利用加減消元法消參; (2)利用三角恒等式消去參數(shù),一般是將參數(shù)方程中的兩個方程分別變形,使得一個方程一邊只 含有sin θ,另一個方程一邊只含有cos θ,兩個方程分別平方后兩式左右相加消去參數(shù); (3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù). 2-1 (2016云南昆明質(zhì)檢三,23,10分)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原 點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程; (2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ2π).,解析 (1)將 消去參數(shù)t,化為普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 將 代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程為x2+y2-2y=0. 由 解得 或 所以C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為 , .,涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題,求解方法一般是分別化普通方程和直角坐標(biāo)方程后 求解,要求掌握直線、圓及圓錐曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程. 例3 (2015課標(biāo)Ⅱ,23,10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1: (t為參數(shù),t≠0),其中0≤απ.在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極 軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo); (2)若C1與C2相交于點A,C1與C3相交于點B,求|AB|的最大值. 解析 (1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2 x=0. 聯(lián)立 解得 或 所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和 .,方法3 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤απ. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為(2 cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2 cos α|=4 . 當(dāng)α= 時,|AB|取得最大值,最大值為4. 3-1 (2015甘肅一模,23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)).以O(shè) 為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin =3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點為O、P,與直線l的交點為 Q,求線段PQ的長. 解析 (1)利用cos2φ+sin2φ=1,可把圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù))化為(x-1)2+y2=1,∴ρ2-2ρ cos θ=0,即ρ=2cos θ. (2)設(shè)(ρ1,θ1)為點P的極坐標(biāo),,由 解得 設(shè)(ρ2,θ2)為點Q的極坐標(biāo), 由 解得 ∵θ1=θ2, ∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2. ∴|PQ|=2.,