納什討價(jià)還價(jià)問(wèn)題(翻譯)

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1、納什討價(jià)還價(jià)問(wèn)題 約翰福布斯納什 在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中出現(xiàn)了一種新的處理方式。它可以以很多形式出現(xiàn)，例如討價(jià)還價(jià)，雙邊壟斷等等。它也可以被看作是一種非零和博弈。在這種處理方式中，一般的假設(shè)是，在特定的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中關(guān)于單個(gè)的個(gè)人的和一個(gè)兩個(gè)人的群體的行為。從這些假設(shè)出發(fā)，我們可以得到這個(gè)經(jīng)典問(wèn)題的解。這篇文章對(duì)博弈論來(lái)說(shuō)也是有價(jià)值的。 引言 一個(gè)兩人博弈討價(jià)還價(jià)的解涉及到兩個(gè)個(gè)人，他們?yōu)榱穗p方共同的利益都有合作的機(jī)會(huì)，而且合作還不止一種方式。在更簡(jiǎn)單的情況下，正如本文所考慮的，在沒(méi)有另一個(gè)人同意情況下，一個(gè)人不能采取任

2、何行動(dòng)來(lái)影響另一個(gè)人的福利。 賣方壟斷與買方壟斷的經(jīng)濟(jì)情況，兩國(guó)之間的國(guó)際貿(mào)易，還有雇主和勞動(dòng)聯(lián)盟之間的談判都可以被看成是討價(jià)還價(jià)問(wèn)題。本文的目的是為這些問(wèn)題提供一個(gè)理論上的探討，并且獲得一個(gè)確定的“解”——當(dāng)然，為此我們做了一些理想化的的假設(shè)。這里的“解”的意思是：每一個(gè)個(gè)人期望從這種情況中獲得的滿意的數(shù)量的決定?；蛘?，甚至是，對(duì)于每一個(gè)個(gè)人來(lái)說(shuō)，擁有討價(jià)還價(jià)的機(jī)會(huì)應(yīng)該價(jià)值多少的決定。 這就是經(jīng)典的交換問(wèn)題，更確切地說(shuō)，古諾等人所說(shuō)的雙邊壟斷。馮諾依曼和摩根斯坦在《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》一書中介紹了另一種方法。書中用兩人非零和博弈來(lái)證明這種經(jīng)典交換情形。 總的來(lái)說(shuō)，通過(guò)設(shè)定一些假設(shè)，我們將

3、討價(jià)還價(jià)問(wèn)題理想化了。這些假設(shè)包括：兩個(gè)個(gè)體都是高度理性的；每一個(gè)人都能精確地將他自己的意愿和不同的東西相比較；他們?cè)谟憙r(jià)還價(jià)的能力上是相等的；并且每一個(gè)人都完全了解對(duì)方品位和偏好。 為了給出討價(jià)還價(jià)情形的理論解釋，我們提取出這種情形來(lái)建立一個(gè)明確的數(shù)學(xué)模型。 在尋找討價(jià)還價(jià)解的過(guò)程中，我們采用基數(shù)效用來(lái)表示討價(jià)還價(jià)中個(gè)人的偏好或者品位。通過(guò)這個(gè)方法，我們將個(gè)人的意愿加入到數(shù)學(xué)模型中，以此來(lái)最大化他在討價(jià)還價(jià)中的收益。我們將簡(jiǎn)略地回顧一下這篇論文中所用的專業(yè)術(shù)語(yǔ)的理論。 個(gè)人的效用理論 預(yù)期這個(gè)概念在這個(gè)理論中是很重要的。我們將會(huì)部分地解釋一下這個(gè)概念。假設(shè)斯密思先生知道他明天

4、將會(huì)獲得一輛新的別克汽車。我們就說(shuō)他有一個(gè)別克汽車的預(yù)期。同樣地，他也可能有凱德拉克汽車的預(yù)期。假如他知道明天用擲硬幣的方式來(lái)決定他到底是擁有別克汽車還是凱迪拉克汽車，我們就說(shuō)，他有二分之一的別克汽車和二分之一的凱迪拉克汽車的預(yù)期。因此，個(gè)人的預(yù)期是一種期待的狀態(tài)。這種期待也許涉及到一些可能事件的必然性，或者是其他可能事件的不同概率。另一個(gè)例子，斯密思先生可能知道他明天將會(huì)得到一輛別克汽車并且認(rèn)為他也有二分之一的概率獲得一輛凱迪拉克汽車。上文提到的二分之一的別克汽車和二分之一的凱迪拉克汽車的預(yù)期闡釋了下面預(yù)期的重要性質(zhì)：假如0≤p≤1，A和B代表兩個(gè)不同的預(yù)期，這就會(huì)有一個(gè)預(yù)期pA+（1-p）

5、B。它是由概率為A和概率為B的兩個(gè)預(yù)期的概率組合而成。 通過(guò)做出如下假設(shè)，我們能夠建立個(gè)人的效用理論： 1. 一個(gè)提供兩種可能的預(yù)期的個(gè)人能夠決定哪一個(gè)是更好的，或者至少它們是一樣好的； 2. 因此而產(chǎn)生的順序是可傳遞的。假如A比B更好，B比C更好，則A比C更好； 3. 任何相同意愿的狀態(tài)的概率的組合，彼此之間是令人滿意的； 4. 假如A,B,C符合假設(shè)2，那么，存在一個(gè)A,C的概率組合使得它和C一樣好。這意味著假設(shè)的連續(xù)性； 5. 假如0≤p≤1，A,B一樣好，那么pA+（1-p）C和pB+（1-p）C一樣好。假如A,B一樣好，那么當(dāng)B滿足任何的意愿順序關(guān)系時(shí)，A可以替代B。

6、這些假設(shè)條件足夠說(shuō)明存在符合要求的效用函數(shù)。將每一個(gè)個(gè)人的預(yù)期都賦予一個(gè)實(shí)數(shù)。這個(gè)效用函數(shù)并不是唯一的，這是因?yàn)?，假如u是這樣一個(gè)效用函數(shù)，那么au+b也會(huì)是一個(gè)效用函數(shù)（a>0）。令大寫字母代表預(yù)期，小寫字母代表實(shí)數(shù)。這樣的效用函數(shù)將會(huì)滿足一下性質(zhì)： 1. u（A）> u（B）等價(jià)于A比B更好，等等； 2. 假如0≤p≤1，那么u [pA+（1-p）B]=p u（A）+（1-p）u（B）。 這就是效用函數(shù)重要的線性性質(zhì)。 兩人理論 在《博弈論和經(jīng)濟(jì)行為》一書中，作者提出了n個(gè)人博弈的理論。它將兩人討價(jià)還價(jià)問(wèn)題作為其特殊的情形。但是，那里所發(fā)展的理論沒(méi)有試圖找出給定的n個(gè)人博

7、弈的價(jià)值，也就是，對(duì)于每一個(gè)參與人來(lái)說(shuō)，決定有機(jī)會(huì)參與到博弈中來(lái)有什么價(jià)值。這種決定只有在兩人零和博弈情況下才能達(dá)到。 我們的觀點(diǎn)是：這些n個(gè)人博弈應(yīng)該是有價(jià)值的。那就是，應(yīng)該有一組數(shù)字，它連續(xù)地取決于一組數(shù)量，而這組數(shù)量由博弈的數(shù)學(xué)描述構(gòu)成。并且，這組數(shù)字表示每一個(gè)有機(jī)會(huì)參與到博弈中的個(gè)人的效用。 我們將一個(gè)兩人預(yù)期定義為兩個(gè)一人預(yù)期的組合。這樣，我們就有兩個(gè)個(gè)人，每一個(gè)個(gè)人都有一個(gè)關(guān)于他自己未來(lái)環(huán)境的確定的預(yù)期。我們把一人效用函數(shù)看成是可應(yīng)用到兩人預(yù)期的。假如一人預(yù)期（兩人預(yù)期的一個(gè)組成部分）被應(yīng)用到相應(yīng)的兩人預(yù)期中，那么每一個(gè)一人預(yù)期都給出了它將要給出的預(yù)期。兩個(gè)兩人預(yù)期的概率組合的

8、定義為給它們的成分制定相應(yīng)的組合。因此，假如[A，B]是一個(gè)兩人預(yù)期，并且0≤p≤1，則有 p[A，B]+（1-p）[C，D] 將被定義為 [pA+（1-p）C，pB+（1-p）D] 顯然，一人效用函數(shù)和一人情況一樣擁有相同的線性特征。從這一點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)使用“預(yù)期”這一名詞時(shí)，它表示的意思是兩人預(yù)期。 在一個(gè)討價(jià)還價(jià)情形中，一個(gè)預(yù)期是很容易辨別的。這是一種在討價(jià)還價(jià)者之間的非合作的預(yù)期。因此，對(duì)兩個(gè)個(gè)體使用效用函數(shù)很自然的。這兩個(gè)個(gè)體賦予預(yù)期的數(shù)字為0.這依然使得每一個(gè)個(gè)體的效用函數(shù)由只和正的實(shí)數(shù)相乘來(lái)決定。從此以后，任何效用函數(shù)的使用都一定

9、要被理解成這樣被選擇。 我們制作一個(gè)圖標(biāo)來(lái)表示面對(duì)如下兩種情形：給它們選擇效用函數(shù)以及在平面圖形上構(gòu)建所有可用的預(yù)期的效用。 介紹關(guān)于獲得的點(diǎn)集的性質(zhì)的假設(shè)是有必要的。我們希望假設(shè)從數(shù)學(xué)的意義上來(lái)說(shuō)，這個(gè)點(diǎn)集是緊的凸的。它也應(yīng)該是凸的，因?yàn)橥ㄟ^(guò)描繪成兩點(diǎn)的兩個(gè)預(yù)期的適當(dāng)?shù)母怕式M合，在點(diǎn)集中的兩點(diǎn)構(gòu)成的線段上，總是能夠找到描繪成任意點(diǎn)的預(yù)期。緊的條件暗示了一件事：點(diǎn)集一定是有界的。這就是說(shuō)，它們能夠被包圍在一個(gè)足夠大的平面空間。緊還暗示著任何連續(xù)的效用函數(shù)在集合中的某些點(diǎn)具有最大值。 我們應(yīng)該把與具有相同效用的任何效用函數(shù)相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)個(gè)體的預(yù)期看成是等價(jià)的。因此，這個(gè)圖形變成了這種情形的重

10、要特征的完全描述。當(dāng)然，圖形僅僅由比例的改變所決定，因?yàn)樾в煤瘮?shù)并沒(méi)有完全決定。 現(xiàn)在，因?yàn)槲覀兊慕鈶?yīng)該包含兩個(gè)討價(jià)還價(jià)者獲得的理性預(yù)期，所以這些預(yù)期應(yīng)該在這兩個(gè)人之間適當(dāng)?shù)钠跫s是可實(shí)現(xiàn)的。因此，應(yīng)該存在一個(gè)可利用的預(yù)期，這個(gè)預(yù)期給每個(gè)人他所期望獲得的滿足的數(shù)量。有理由假設(shè)：兩個(gè)人是理性的將會(huì)很容易符合那種預(yù)期，或者是一個(gè)等價(jià)的預(yù)期。因此，我們把圖形中的集合的某一點(diǎn)看做是代表“解”。并且它也代表所有的作為公平討價(jià)還價(jià)的兩個(gè)人會(huì)同意預(yù)期。通過(guò)給定在這個(gè)解點(diǎn)和集合之間應(yīng)該成立的條件，以及從這些演繹出一個(gè)簡(jiǎn)單的決定解點(diǎn)的條件，我們擴(kuò)展了這個(gè)理論。我們應(yīng)該只考慮那些存在一個(gè)雙方都能從這種情形中獲利的

11、例子。（這并沒(méi)有排除那些最后只有一個(gè)人獲益的例子，因?yàn)椤肮降慕灰住笨赡馨粋€(gè)契約用以使用某種概率的方法來(lái)決定最后誰(shuí)獲得收益。任何可利用的預(yù)期的概率的組合都是可以利用的預(yù)期） 令u1和u2表示兩個(gè)人的效用函數(shù)。令c（S）表示集合S的解點(diǎn)。S是緊的凸的，還包括原點(diǎn)。我們假設(shè)： 6. 假如是S中的點(diǎn)，在S中存在另一點(diǎn)，若u1（）> u1（），u2（）> u2（），則≠c（S）。 7. 假如集合T包含集合S，并且c（T）在集合S中，那么c（T）= c（S）。 我們說(shuō)一個(gè)集合S是對(duì)稱的假如存在效用算符u1和u2以致于當(dāng)（a，b）包含于集合S 時(shí)，（b，a）也包含于集合S。這就是說(shuō)，圖形關(guān)于

12、直線u1=u2對(duì)稱。 8. 假如S是對(duì)稱的，并且u1和u2顯示出這樣的性質(zhì)，那么c（S）是一個(gè)形式為（a，a）的點(diǎn)。這就是，在直線u1=u2上的一點(diǎn)。 上文第一個(gè)假設(shè)表達(dá)的意思是：每一個(gè)個(gè)人希望在最終的交易中最大化他自己的效用。第三個(gè)假設(shè)表達(dá)討價(jià)還價(jià)技巧的質(zhì)量。第二個(gè)假設(shè)有點(diǎn)復(fù)雜。以下的描述或許有利于揭示這條假設(shè)的性質(zhì)：假如兩個(gè)理性的個(gè)人同意c（T）是一個(gè)公平的交易，假如T是可能的交易的集合，那么他們應(yīng)該愿意簽訂一個(gè)限制更少的契約，并且如果S包含c（T），沒(méi)有試圖到達(dá)任何集合S以外的點(diǎn)的交易。假如S包含于T，這將會(huì)減少有S的概率集合的情形。因此c（T）= c（S）。 現(xiàn)在，我們展示這些條

13、件要求解在點(diǎn)集的u1和u2 取最小值的第一象限。我們知道一些這樣的點(diǎn)存在于緊空間。凸性使它獨(dú)特。 現(xiàn)在讓我們選擇效用函數(shù)，這樣以上提到的點(diǎn)就轉(zhuǎn)換成點(diǎn)（1，1）。因?yàn)檫@涉及到效用乘以常數(shù)，點(diǎn)（1，1）現(xiàn)在將是u1，u2最佳的點(diǎn)。集合中沒(méi)有哪一點(diǎn)使得u1+u2>2，現(xiàn)在，因?yàn)榧偃缂现写嬖谝稽c(diǎn)使得u1+u2>2，這一點(diǎn)位于點(diǎn)（1，1）和該點(diǎn)的線段上。那么存在一個(gè)u1，u2 的值大于1（見(jiàn)表1）。 我們?cè)趨^(qū)域u1+u2≤2建立一個(gè)空間：它關(guān)于直線u1=u2對(duì)稱；有一邊位于直線u1+u2=2；完全包含選擇集。把這個(gè)空間當(dāng)做是選擇集而他不是原先的那個(gè)集合，很清晰的是點(diǎn)（1，1）是唯一滿足假設(shè)（8）的

14、點(diǎn)。現(xiàn)在使用假設(shè)（7），我們可以總結(jié)道當(dāng)我們?cè)嫉募鲜沁x擇集時(shí)，點(diǎn)（1，1）也是解點(diǎn)。這證明了這個(gè)斷言。 我們現(xiàn)在給出以下這個(gè)理論的應(yīng)用的例子。 假設(shè)兩個(gè)聰明人比爾和杰克，他們以物作為交換卻沒(méi)有錢來(lái)促進(jìn)交換。進(jìn)一步講，讓我們假設(shè)每一個(gè)人涉及到的物品總數(shù)目的某一部分的效用是他那一部分物品的效用的總和。如下的表格表示每一個(gè)個(gè)人所擁有的物品的效用。當(dāng)然，每個(gè)個(gè)人的效用函數(shù)都是任意的。 Billgoods Utility to Bill Utility to Jack book 2 4 whip 2 2 ball 2 1 bat 2 2 box

15、 4 1 Jackgoods 　 　 pen 10 1 toy 4 1 knife 6 2 hat 2 2 討價(jià)還價(jià)情形的圖表包含在圖2的詳細(xì)解釋之中。它的結(jié)果是一個(gè)凸的多邊形，獲得產(chǎn)品效用最大的點(diǎn)是頂點(diǎn)且在多邊形內(nèi)，并且只有一個(gè)相應(yīng)的預(yù)期。那就是： Bill給Jack:書、奶油甜點(diǎn)、球、球拍； Jack給Bill筆、玩具、小刀。 當(dāng)交易者有一個(gè)共同的交換媒介時(shí)，問(wèn)題將會(huì)變得非常的簡(jiǎn)單。在很多情況下，與貨幣相等的某一物品可以用作滿意的大概的效用函數(shù)（貨幣相等的意思是與我們所關(guān)心的個(gè)人的物品一樣好的貨幣的數(shù)量）。當(dāng)貨幣的某一數(shù)量的效用大概等于一個(gè)線性數(shù)量函數(shù)（在這種情形考慮的數(shù)量范圍之內(nèi)）時(shí)，這是會(huì)發(fā)生的。當(dāng)我們將共同的交換媒介使用到每一個(gè)人的效用函數(shù)上時(shí)，圖中點(diǎn)集是圖中那一部分在第一象限形成了一個(gè)等腰直角三角形。因此，解是每一個(gè)人都獲得相同的貨幣收益（見(jiàn)圖3）。 普林斯頓大學(xué)