離散型隨機變量的均值和方差.ppt

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思考：,,例：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1， X2 的分布列如下：,誰的水平高些？,復習引入,對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學在一次數(shù)學測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學數(shù)學成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學成績的方差。 我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.,2.3離散型隨機變量的均值和方差,高二數(shù)學 選修2-3,1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？,把環(huán)數(shù)看成隨機變量的概率分布列：,,,,,,權(quán)數(shù),,加權(quán)平均,二、具體問題,2、某商場要將單價分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？,把3種糖果的價格看成隨機變量的概率分布列：,一、離散型隨機變量取值的平均值,數(shù)學期望,一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：,則稱,為隨機變量X的均值或數(shù)學期望。它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。是一個常數(shù)。,設(shè)Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？,思考：,···,···,···,···,···,···,···,···,···,···,,,一、離散型隨機變量取值的平均值,數(shù)學期望,二、數(shù)學期望的性質(zhì),三、基礎(chǔ)訓練,1、隨機變量ξ的分布列是,(1)則Eξ= .,2、隨機變量ξ的分布列是,2.4,(2)若η=2ξ+1，則Eη= .,5.8,Eξ=7.5,則a= b= .,0.4,0.1,例1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？,一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，,則,四、例題講解,小結(jié)：,例2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，他連續(xù)罰球3次； （1）求他得到的分數(shù)X的分布列； （2）求X的期望。,解：,(1) X～B（3，0.7）,(2),一般地，如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n,p），則,小結(jié)：,基礎(chǔ)訓練：,一個袋子里裝有大小相同的3 個紅球和2個黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學期望是 .,3,,離散型隨機變量取值的方差,一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：,則稱,為隨機變量X的方差。,稱,為隨機變量X的標準差。,它們都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,三、基礎(chǔ)訓練,1、已知隨機變量X的分布列,求DX和σX。,解：,2、若隨機變量X滿足P（X＝c）＝1，其中c為常數(shù)，求EX和DX。,解：,離散型隨機變量X的分布列為：,EX＝c×1＝c,DX＝（c－c）2×1＝0,四、方差的應用,,例：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1， X2分布列如下：,用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。,解：,表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在9環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在8－10環(huán)。,問題1：如果你是教練，你會派誰參加比賽呢？,問題2：如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？,問題3：如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？,練習：有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：,,,根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？,解：,在兩個單位工資的數(shù)學期望相等的情況下，如果認為自己能力很強，應選擇工資方差大的單位，即乙單位；如果認為自己能力不強，就應選擇工資方差小的單位，即甲單位。,五、幾個常用公式：,相關(guān)練習：,3、有一批數(shù)量很大的商品，其中次品占1％，現(xiàn)從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其次品數(shù)為X，求EX和DX。,117,10,0.8,2，1.98,課堂小結(jié),一、離散型隨機變量的期望和方差,二、性質(zhì),三、如果隨機變量X服從兩點分布，,四、如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n,p）,1.一次英語單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且只有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個。求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望。,五、鞏固應用,2. 決策問題： 根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設(shè)備，有以下種方案： 方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。 方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能 擋住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。 試比較哪一種方案好。,3.某商場的促銷決策： 統(tǒng)計資料表明，每年國慶節(jié)商場內(nèi)促銷活動可獲利2萬元；商場外促銷活動如不遇下雨可獲利10萬元；如遇下雨則損失4萬元。9月30日氣象預報國慶節(jié)下雨的概率為40%，商場應選擇哪種促銷方式？,4.（07全國）某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的分起付款期數(shù) 的分布列為：,商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元，分2期或3期付款，其利潤為250元，分4期或5期付款，其利潤為300元， 表示經(jīng)銷一件該商品的利潤。 （1）求事件A：”購買該商品的3位顧客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)； （2）求 的分布列及期望E 。,,E = 1000－0.03a≥0.07a,得a≤10000,故最大定為10000元。,練習： 1、若保險公司的賠償金為a（a＞1000）元，為使保險公司收益的期望值不低于a的百分之七，則保險公司應將最大賠償金定為多少元？,2、射手用手槍進行射擊，擊中目標就停止，否則繼續(xù)射擊，他射中目標的概率是0.7,若槍內(nèi)只有5顆子彈,求射擊次數(shù)的期望。(保留三個有效數(shù)字),,E =1.43,六、課堂小結(jié),一、離散型隨機變量取值的平均值,數(shù)學期望,二、數(shù)學期望的性質(zhì),三、如果隨機變量X服從兩點分布，,則,四、如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n,p），則,證明：,所以,若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np．,證明：若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np,,