離散型隨機(jī)變量的期望及方差.ppt

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,離散型隨機(jī)變量的均值與方差,1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 (1)均值 若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為,則ξ的數(shù)學(xué)期望(或平均數(shù)、均值，簡稱期望)為 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． (2)方差 如果離散型隨機(jī)變量ξ所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn，…那么 D(ξ)＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做ξ的方差．,隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．(標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位) (3)若ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B(n，p)，則 Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．兩點(diǎn)分布，則Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)．,2．均值、方差的性質(zhì)及應(yīng)用 (1)EC＝C(C為常數(shù))； (2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b為常數(shù))； (3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.,1．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，則( ) A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45,答案：A,2．如果ξ是離散型隨機(jī)變量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A,3．一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望________．,,熱點(diǎn)之一 求離散型隨機(jī)變量的期望與方差 求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟： 1．理解X的意義，寫出Y的所有可能取值； 2．求X取每個(gè)值的概率； 3．寫出X的分布列； 4．由均值的定義求EX； 5．由方差的定義求DX.,【例】某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球，1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，摸出1個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出2個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元，現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲，乙摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額．求： (1)X的概率分布； (2)X的數(shù)學(xué)期望．,解：摸球的情形有以下5種：甲1白，乙2白(0元)；甲1紅，乙2白或甲1白，乙1紅1白(10元)；甲1紅，乙1紅1白(20元)；甲1白，乙2紅(50元)；甲1紅，乙2紅(60元)． (1)X的所有可能的取值為0,10,20,50,60，,,熱點(diǎn)之二 期望與方差的性質(zhì)及應(yīng)用 利用均值和方差的性質(zhì)，可以避免復(fù)雜的運(yùn)算．常用性質(zhì)有： (1)EC＝C(C為常數(shù))； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))； (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；,[例1] 袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一個(gè)，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求ξ的分布列、期望和方差； (2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值．,(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11， 即a＝±2. 又Eη＝aEξ＋b，,∴當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.,[思維拓展] 在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，首先要弄清其分布特征，正確求出分布列，這是求均值和方差的前提，然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式，特別是充分利用期望和方差的性質(zhì)解題，善于使用公式E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，能避免繁瑣的運(yùn)算過程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．,即時(shí)訓(xùn)練 如果X是離散型隨機(jī)變量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1和DX1分別是( ) A．12,1 B．7,1 C．12,2 D．7,2 解析：因?yàn)镋(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX，由已知可得EX1＝7，DX1＝2，應(yīng)選D. 答案：D,熱點(diǎn)之三 與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差 當(dāng)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布時(shí)，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.,,[思路探究] 解答該5個(gè)問題可以認(rèn)為是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，答對(duì)問題的個(gè)數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布，求η的期望與方差可通過ξ與η的線性關(guān)系間接求出．,[思維拓展] (1)當(dāng)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果服從，則用公式求解，可大大減少運(yùn)算量．(2)注意利用E(aξ＋b)＝aEξ＋b及D(aξ＋b)＝a2Dξ求期望與方差．,即時(shí)訓(xùn)練 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p＝0.6. (1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)X的期望與方差； (2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)η的期望與方差．,