高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3.7正弦定理和余弦定理課件 .ppt
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第七節(jié) 正弦定理和余弦定理,【知識(shí)梳理】 1.正弦定理與余弦定理,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,a∶b∶c,2.在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況,一解,兩解,一解,一解,無解,【考點(diǎn)自測(cè)】 1.(思考)給出下列命題: ①三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比; ②在△ABC中,若sin A>sin B,則A>B; ③在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素; ④正弦定理對(duì)鈍角三角形不成立; ⑤在△ABC中, 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.②⑤ D.④⑤,【解析】選C. ①錯(cuò)誤. 由正弦定理知a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C. ②正確.由正弦定理知sin A= ,sin B= ,由sin A>sin B 得ab,即A>B. ③錯(cuò)誤.當(dāng)已知三個(gè)角時(shí)不能求三邊. ④錯(cuò)誤.正弦定理對(duì)任意三角形都成立. ⑤正確. 由正弦定理結(jié)合比例的性質(zhì)可證明.,2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為A∶B∶C=3∶2∶1,那么對(duì)應(yīng)的 三邊之比a∶b∶c=( ) A.3∶2∶1 B. ∶2∶1 C. ∶ ∶1 D.2∶ ∶1 【解析】選D.由A∶B∶C=3∶2∶1及A+B+C=180°,可解得 A=90°,B=60°,C=30°,所以a∶b∶c=sin A∶sin B∶ sin C=1∶ ∶ ,即a∶b∶c=2∶ ∶1.,3.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,則cos B等于( ) 【解析】選D.因?yàn)? 所以 所以sin B= 又因?yàn)閍>b,A=60°, 所以B<60°, 所以cos B=,4.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a= 2bcos C,則此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】選C.因?yàn)閍=2bcos C,所以由余弦定理得:a= 整理得b2=c2,則此三角形為等腰三角形.,5.(2014·金華模擬) 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c,若sin A= sin C,B=30°,b=2,則邊c= . 【解析】依題意得,sin A= sin C,即a= c,根據(jù)余弦 定理可得b2=a2+c2-2accos B,即4=3c2+c2-2 c2× , 解得c=2. 答案:2,6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2-bc =0,則A=______________. 【解析】由b2+c2-a2-bc =0得 b2+c2-a2=bc,所以cos A= 所以A=60°. 答案:60°,考點(diǎn)1 正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【典例1】(1)在△ABC中,A=60°, a= ,b=2,那么滿足條件 的△ABC( ) A.有一個(gè)解 B.有兩個(gè)解 C.無解 D.不能確定 (2)(2014·麗水模擬)如圖,在△ABC中,AB= AC=2,BC=2 ,點(diǎn)D在BC邊上,∠ADC=75°, 則AD的長(zhǎng)為_______.,(3)在△ABC中,a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若 A=2B,則cos B=_______. 【解題視點(diǎn)】(1)通過具體計(jì)算的方法或數(shù)形結(jié)合的方法求解. (2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出角B,再利用正弦定理求解. (3)由兩邊之比聯(lián)想用正弦定理,化為兩角的正弦值之比,再利用二倍角公式化簡(jiǎn).,【規(guī)范解答】(1)選A.方法一:因?yàn)?又A=60°,且ab,所以B<60°,故B=45°,所以有一個(gè)解. 方法二:結(jié)合草圖,因?yàn)锳=60°,a= ,b=2所以ab,故三角 形有一個(gè)解.,(2)過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,則在 Rt△ABE中, 故B=30°. 在△ABD中,∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得 答案:,(3)由正弦定理得 又A=2B, 所以 所以cos B= . 答案:,【互動(dòng)探究】把本例(3)條件改為“在銳角△ABC中,a,b,c分 別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,A=2B”,試求 的取值范圍.,【解析】由正弦定理得 因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形, 所以 所以 即 所以 所以 即 的取值范圍是,【易錯(cuò)警示】注意角的范圍的確定 本例【互動(dòng)探究】由△ABC 是銳角三角形判斷角B的范圍時(shí),要注意應(yīng)保證三個(gè)內(nèi)角都是銳角,否則易出現(xiàn)范圍過大的情況.,【規(guī)律方法】 1.正弦定理的應(yīng)用技巧 (1)求邊:利用公式 或其他相應(yīng)變形公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式 或其他相應(yīng)變形公式求解. (3)相同的元素歸到等號(hào)的一邊:即 可應(yīng)用這些公式解決邊或角的比例關(guān)系問題.,2.判斷解的個(gè)數(shù)的兩種方法 (1)代數(shù)法:根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷. (2)幾何圖形法:根據(jù)條件畫出圖形,通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù). 提醒:利用正弦定理解三角形時(shí),要注意解的個(gè)數(shù)的判斷.,【變式訓(xùn)練】已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是( ) A.x2 B.x2且xsin45°2, 所以2x2 .,【加固訓(xùn)練】 1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,則c等于( ) A.10+ B.10( -1) C. +1 D.10 【解析】選B.A=180°-(B+C)=180°-(60°+45°)=75°. 由正弦定理,得,2.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1∶ , 則A=_______. 【解析】因?yàn)閍∶b=1∶ ,所以sin A∶sin B=1∶ , 即sin A∶sin 2A=1∶ ,所以cos A= ,故A=30°. 答案:30°,考點(diǎn)2 余弦定理的應(yīng)用 【典例2】(1)(2013·青島模擬) 已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1,3,a,則a的取值范圍是( ) A.8<a10 B.2 <a< C.2 <a<10 D. <a<8 (2)(2013·安徽高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=( ),【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)銳角三角形三邊關(guān)系,并結(jié)合余弦定理求解. (2)將條件統(tǒng)一為邊,然后把三邊用一個(gè)量表示,最后根據(jù)余弦定理求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.若a是最大邊,則 所以3<a< ; 若3是最大邊,則 所以2 a3; 當(dāng)a=3時(shí)符合題意,綜上2 <a< ,故選B.,(2)選B.由題設(shè)條件可得 ? 由余弦定理,得 所以,【規(guī)律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步驟,2.利用余弦定理解三角形的注意事項(xiàng) (1)余弦定理的每個(gè)等式中包含四個(gè)不同的量,它們分別是三角形的三邊和一個(gè)角,要充分利用方程思想“知三求一”. (2)已知三邊及一角求另兩角的兩種方法:①利用余弦定理的推論求解,雖然運(yùn)算較復(fù)雜,但較直接;②利用正弦定理求解,雖然比較方便,但需注意角的范圍,這時(shí)可結(jié)合“大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊”的法則或圖形幫助判斷.,【變式訓(xùn)練】(2014·溫州模擬)在△ABC中,a=2,b=2 ,C=45°, 則A=______. 【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2ab·cos C=4+(2 )2-2×2 ×2 ×cos 45°=4,故c=2,因此a=c,故A=C=45°. 答案:45°,【加固訓(xùn)練】 1.在△ABC中,若a=c=2,B=120°,則邊b=( ) 【解析】選B.由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=4+4-2×2×2×(- )=12, 所以b=2 .,2.在△ABC中,C=60°,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,則 = . 【解析】因?yàn)镃=60°,所以a2+b2-c2=ab, 所以a2+b2=ab+c2, 等式兩邊都加上ac+bc,整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), 所以 答案:1,考點(diǎn)3 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 【考情】正、余弦定理的應(yīng)用很廣泛,也比較靈活.在高考中三種題型都有可能出現(xiàn),主要考查邊角的計(jì)算、三角形形狀的判斷等問題.,高頻考點(diǎn) 通 關(guān),【典例3】(1)(2013·陜西高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的 邊分別為a, b, c, 若bcos C+ccos B=asin A, 則△ABC的形狀 為( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 (2)(2013·山東高考)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c, 若B=2A,a=1,b= ,則c=( ) A. 2 B.2 C. D.1,【解題視點(diǎn)】(1)利用正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系來判斷三角形的形狀. (2)根據(jù)角的關(guān)系結(jié)合正弦定理求出角A,然后求出角B,C后再求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.因?yàn)閎cos C+ccos B=asin A,所以由正弦 定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sin A=sin2A,sin A=1,即A= ,所以三角形ABC是直角三角形. (2)選B.由B=2A,則sin B=sin 2A,由正弦定理知 即 所以cos A= ,所以 所以C=π-B-A= ,所以c2=a2+b2=1+3=4, 故c=2.,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】在判斷三角形的形狀時(shí),注意等式兩邊的公因式不要約掉,要移項(xiàng)提取公因式,否則會(huì)有漏掉一種情況的可能.,【關(guān)注題型】,【通關(guān)題組】 1.(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),且ABC,3b=20acosA,則sinA∶sinB∶sinC為( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4,【解析】選D.由題意知:a=b+1,c=b-1,所以3b=20acosA= 整理得:7b2-27b-40=0,解得b=5或b=- (舍去), 可知:a=6,c=4.結(jié)合正弦定理可知答案.,2.(2014·衢州模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別 為a,b,c,若acos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2= bc,則 角B= . 【解析】由b2+c2-a2= bc,得 所以A=30°.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A= sin Csin C,即sin(A+B)=sin Csin C=sin C,解得 sin C=1(sin C=0舍去),所以C=90°,所以B=60°. 答案:60°,3.(2014·金華模擬)在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C- sin Bsin C,則A的取值范圍是_________. 【解析】因?yàn)閟in2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C, 所以由正弦定理得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc, 故cos A= 又A∈(0,π),故0<A≤ . 答案:0<A≤,【加固訓(xùn)練】 1.(2014·嘉興模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c,滿足 (1)求角C. (2)求 的取值范圍.,【解析】(1) 化簡(jiǎn)得a2+b2-c2=ab, 所以,2.(2014·長(zhǎng)沙模擬)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,求證: 【證明】方法一:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, 所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B. 整理,得 由正弦定理,得 即,方法二:右邊= 故,【規(guī)范解答4】正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用 【典例】(14分)(2013·江西高考)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的 邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0. (1)求角B的大小. (2)若a+c=1,求b的取值范圍.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)在△ABC中,因?yàn)锳+B+C=π, 所以-cos(A+B)+cos Acos B-① sin Acos B=0,………3分 即sin Asin B- sin Acos B=0, 因?yàn)閟in A≠0,所以sin B- cos B=0, ……………5分 cos B≠0,所以tan B= , 又0<B<π, 所以B= . ……………………………7分,(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B, 因?yàn)閍+c=1,cos B= ,所以c=1-a,代入上式整理得 ………11分 又因?yàn)閏=1-a,由0<c<1得0a1③, 所以 ≤b2<1,即 ≤b<1. 綜上,b的取值范圍是[ ,1)④. ……14分,【點(diǎn)題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓(xùn)練,能力遷移 (2014·杭州模擬)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別 為a,b,c,asin Asin B+bcos2A= a. (1)求 .(2)若c2=b2+ ,求B.,【解析】(1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A= sin A, 即sin B(sin2A+cos2A)= sin A. 故sin B= sin A,所以 (2)由余弦定理和c2=b2+ a2,得 由(1)知b2=2a2,故c2=(2+ )a2. 可得cos2B= .又cos B0,故cos B= ,所以B=45°.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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