高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇專題突破專題六解析幾何第3講圓錐曲線中的綜合問題課件理.ppt

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第3講 圓錐曲線中的綜合問題,考情分析,總綱目錄,考點一 范圍、最值問題,典型例題 (2017浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點A ,B ,拋物線上 的點P(x,y) .過點B作直線AP的垂線,垂足為Q. (1)求直線AP斜率的取值范圍; (2)求|PA|·|PQ|的最大值.,解析 (1)設(shè)直線AP的斜率為k,k= =x- , 因為- x ,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1). (2)解法一:聯(lián)立方程得 解得點Q的橫坐標(biāo)是xQ= . 因為|PA|= = (k+1), |PQ|= (xQ-x)=- ,,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因為f '(k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在區(qū)間 上單調(diào)遞增, 上單調(diào)遞減,因此當(dāng)k= 時,|PA|·| PQ|取得最大值 . 解法二:如圖,連接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ= ·( - )= · - .,易知P(x,x2) , 則 · =2x+1+2x2- =2x2+2x+ , = + =x2+x+ +x4- x2 + =x4+ x2+x+ . ∴|AP|·|PQ|=-x4+ x2+x+ . 設(shè)f(x)=-x4+ x2+x+ , 則f '(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, ∴f(x)在 上為增函數(shù),在 上為減函數(shù), ∴f(x)max=f(1)= .,故|AP|·|PQ|的最大值為 .,方法歸納 求解范圍、最值問題的五種方法 解決有關(guān)范圍、最值問題時,先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點的坐標(biāo)、角、 斜率等),建立目標(biāo)函數(shù),然后利用函數(shù)的有關(guān)知識和方法求解. (1)利用判別式構(gòu)造不等式,從而確定參數(shù)的取值范圍; (2)利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是在 兩個參數(shù)之間建立相等關(guān)系; (3)利用隱含的不等關(guān)系,求出參數(shù)的取值范圍; (4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍; (5)利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.,跟蹤集訓(xùn) (2017合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知橢圓E: + =1(ab0)的兩焦點 與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形,直線 + =1與橢圓E有且僅有 一個交點M. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)直線 + =1與y軸交于P,過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A, B,若λ| |2=|PA|·|PB|,求實數(shù)λ的取值范圍.,∴λ|PM|2=|PA|·|PB|?λ= , 當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0, 依題意得,x1x2= ,且Δ=48(4k2-1)0,∴k2 . ∴|PA|·|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)· =1+ = λ,∴λ= , ∵k2 ,∴ λ1. 綜上所述,λ的取值范圍是 .,考點二 定點、定值問題,典型例題 (2017課標(biāo)全國Ⅰ,20,12分)已知橢圓C: + =1(ab0),四點P1(1,1),P2 (0,1),P3 ,P4 中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜 率的和為-1,證明:l過定點.,因此 解得 故C的方程為 +y2=1. (2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2. 如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t≠0,且|t|2,可得A,B的坐標(biāo)分別為 , . 則k1+k2= - =-1,得t=2,不符合題設(shè). 從而可設(shè)l:y=kx+m(m≠1).將y=kx+m代入 +y2=1得,解析 (1)由于P3,P4兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過P3,P4兩點. 又由 + + 知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上.,(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由題設(shè)可知Δ=16(4k2-m2+1)0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=- ,x1x2= . 而k1+k2= + = + = , 由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)· +(m-1)· =0. 解得k=- .,當(dāng)且僅當(dāng)m-1時,Δ0,于是l:y=- x+m, 即y+1=- (x-2),所以l過定點(2,-1). 方法歸納 定點與定值問題的求解策略 (1)解決動直線恒過定點問題的一般思路是設(shè)出直線y=kx+m(k存在的情 形),然后利用條件建立k與m的關(guān)系,借助于點斜式方程確定定點坐標(biāo). (2)定值的證明與探索一般是先利用特殊情形確定定值,再給出一般化 的證明或直接推證得出與參數(shù)無關(guān)的數(shù)值.在這類試題中選擇消元的方 法是非常關(guān)鍵的.,跟蹤集訓(xùn) (2017寶雞質(zhì)量檢測(一))已知橢圓C: + =1(ab0)經(jīng)過(1,1)與 兩點. (1)求橢圓C的方程; (2)過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點,橢圓C上一點M滿足|MA|=|MB |.求證: + + 為定值.,解析 (1)將(1,1)與 代入橢圓C的方程, 得 解得 ∴橢圓C的方程為 + =1. (2)證明:由|MA|=|MB|知M在線段AB的垂直平分線上,由橢圓的對稱性知 A、B關(guān)于原點對稱. ①若點A、B是橢圓的短軸端點,則點M是橢圓長軸的一個端點,此時 + + = + + =2 =2. 同理,若點A、B是橢圓的長軸端點,則點M是橢圓短軸的一個端點,此時,+ + = + + =2 =2. ②若點A、B、M不是橢圓的頂點,設(shè)直線l的方程為y=kx(k≠0),則直線 OM的方程為y=- x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由 解得 = , = , ∴|OA|2=|OB|2= + = ,同理,|OM|2= , 所以 + + =2× + =2. 綜上, + + =2,為定值.,考點三 探索性問題,典型例題 (2017武漢武昌調(diào)研考試)已知直線y=k(x-2)與拋物線Γ:y2= x相交于A,B 兩點,M是線段AB的中點,過M作y軸的垂線交Γ于點N. (1)證明:拋物線Γ在點N處的切線與直線AB平行; (2)是否存在實數(shù)k使 · =0?若存在,求k的值;若不存在,請說明理由. 解析 (1)證明:由 消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= ,x1x2=4, ∴xM= = ,yM=k(xM-2)=k = .,由題設(shè)條件可知,yN=yM= ,xN=2 = ,∴N . 設(shè)拋物線Γ在點N處的切線l的方程為y- =m , 將x=2y2代入上式,得2my2-y+ - =0. ∵直線l與拋物線Γ相切, ∴Δ=(-1)2-4×2m× = =0, ∴m=k,即l∥AB. (2)假設(shè)存在實數(shù)k,使 · =0,則NA⊥NB. ∵M是AB的中點,∴|MN|= |AB|. 由(1),得|AB|= |x1-x2|= · = ·,= · . ∵MN⊥y軸,∴|MN|=|xM-xN|= - = . ∴ = · ,解得k=± .故存在k=± ,使 · =0. 方法歸納 解決探索性問題的注意事項 存在性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在,若結(jié) 論不正確,則不存在. (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時,要分類討論. (2)當(dāng)給出結(jié)論要求推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件. (3)當(dāng)條件和結(jié)論都未知,按常規(guī)方法解題很難時,要思維開放,采取其他 的途徑.,跟蹤集訓(xùn) (2017蘭州診斷考試)已知橢圓C: + =1(ab0)經(jīng)過點( ,1),且離心 率為 . (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)M,N是橢圓上的點,直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點)的斜率之積為- . 若動點P滿足 = +2 ,試探究是否存在兩個定點F1,F2,使得|PF1|+| PF2|為定值.若存在,求F1,F2的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解析 (1)∵e= ,∴ = ,可得 = , 又橢圓C經(jīng)過點( ,1),,∴ + =1, 解得a2=4,b2=2. ∴橢圓C的方程為 + =1. (2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由 = +2 得x=x1+2x2,y=y1+2y2, ∵點M,N在橢圓 + =1上, ∴ +2 =4, +2 =4, 故x2+2y2=( +4x1x2+4 )+2( +4y1y2+4 )=( +2 )+4( +2 )+4(x1x2+2y 1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). ∵kOM·kON= =- ,∴x1x2+2y1y2=0. ∴x2+2y2=20,,故點P是橢圓 + =1上的點. ∴由橢圓的定義知存在點F1,F2滿足|PF1|+|PF2|=2 =4 ,為定值, 又|F1F2|=2 =2 , ∴F1,F2的坐標(biāo)分別為(- ,0),( ,0). 隨堂檢測 (2017東北四市高考模擬)已知橢圓C: +y2=1(a1),B1,B2分別是其上、 下頂點,橢圓C的左焦點F1在以B1B2為直徑的圓上. (1)求橢圓C的方程; (2)過點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的垂直 平分線與x軸交于點N,點N的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ,求|AB|的取值,隨堂檢測 (2017東北四市高考模擬)已知橢圓C: +y2=1(a1),B1,B2分別是其上、 下頂點,橢圓C的左焦點F1在以B1B2為直徑的圓上. (1)求橢圓C的方程; (2)過點F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點,線段AB的垂直 平分線與x軸交于點N,點N的橫坐標(biāo)的取值范圍是 ,求|AB|的取值范圍.,解析 (1)由題知b=c=1, ∴a= = ,∴橢圓的方程為 +y2=1. (2)設(shè)直線l:y=k(x+1),聯(lián)立方程得 消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,記A(x1,y1),B(x2,y2), 由根與系數(shù)的關(guān)系可得 則y1+y2=k(x1+x2+2)= , 設(shè)AB的中點為Q,則Q ,,∴直線QN的方程:y- =- =- x- , ∴N ,已知條件得- - 0,即02k21. |AB|= = , ∵02k21,∴ 1, ∴|AB|∈ , ∴|AB|的取值范圍為 .,