高中數(shù)學(xué) 1.1.2 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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第2課時 分類加法計數(shù)原理與分步乘法 計數(shù)原理的綜合應(yīng)用,【題型示范】 類型一 選(抽)取與分配問題 【典例1】 (1)兩人進行乒乓球比賽，采取五局三勝制，即先贏三局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( ) A.10種 B.15種 C.20種 D.30種,(2)(2013·四川高考)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a,b，共可得到lg a－lg b的不同值的個數(shù)是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 (3)甲、乙、丙3個班各有三好學(xué)生3,5,2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會，共有_____種不同的推選方法.,【解題探究】1.題(1)的五局三勝中，兩人可以進行幾局比賽？ 2.題(2)中每次從1，3，5，7，9中任取兩個不同的數(shù)，則共有多少種不同的取法？ 3.題(3)中推選的2名三好學(xué)生的班級有幾種情況？,【探究提示】1.五局三勝中，兩人可以進行3局，4局，5局比賽. 2.分兩步選取共有5×4=20種不同的選取方法. 3.有3種情況，分別是甲、乙班各1名，甲、丙班各1名，乙、丙班各1名.,【自主解答】(1)選C.由題意知，比賽局?jǐn)?shù)最少為3局，至多為5局.當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為3局時，情形為甲或乙連贏3局，共2種；當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為4局時，若甲贏，則前3局中甲贏2局，最后一局甲贏，共有3(種)情形；同理，若乙贏，則也有3種情形，所以共有6種情形；當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為5局時，前4局，甲、乙雙方各贏2局，最后一局勝出的人贏，若甲前4局贏2局，共有贏取第1、2局，1、3局，1、4局，2、3局，2、4局，3、4局六種情形，所以比賽局?jǐn)?shù)為5局時共有2×6=12 (種)，綜上可知，共有2+6+12=20(種).故選C.,(2)選C.由于lg a－lg b=lg ,從1,3,5,7,9中取出兩個不同的 數(shù)分別賦值給a和b共有5×4=20種,而得到相同值的是1,3與3,9 以及3,1與9,3兩組,所以可得到lg a-lg b的不同值的個數(shù)是18, 故選C. (3)分為三類：第一類，甲班選一名，乙班選一名，根據(jù)分步 乘法計數(shù)原理有3×5＝15種選法； 第二類，甲班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有 3×2＝6種選法；,第三類，乙班選一名，丙班選一名，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有5×2＝10種選法. 綜合以上三類，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有15+6+10＝31種不同選法. 答案：31,【方法技巧】選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法 (1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法. (2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，則按分類進行. ②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.,【變式訓(xùn)練】(2013·成都高二檢測)設(shè)集合I={1，2，3，4，5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有( ) A.50種 B.49種 C.48種 D.47種 【解題指南】以A中最大的數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，進行分類討論，A中最大的數(shù)可能為1，2，3，4，共四種情況.,【解析】選B.按分類加法計數(shù)原理做如下討論： ①當(dāng)A中最大的數(shù)為1時，B可以是{2，3，4，5}的非空子集，即有24-1=15(種)方法. ②當(dāng)A中最大的數(shù)為2時，A可以是{2}或{1，2}，B可以是{3，4，5}的非空子集，即有2×(23-1)=14(種)方法. ③當(dāng)A中最大的數(shù)為3時，A可以是{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，B可以是{4，5}的非空子集，即有4×(22-1)=12(種)方法.,④當(dāng)A中最大的數(shù)為4時，A可以是{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，B可以是{5}，即有8×1=8(種)方法. 故共有15+14+12+8=49(種)方法.,【補償訓(xùn)練】圖書館有8本不同的有關(guān)勵志教育的書，任選3本分給3個同學(xué)，每人1本，有____________種不同的分法. 【解析】分三步進行：第一步，先分給第一個同學(xué)，從8本書中選一本，共有8種方法；第二步，再分給第二個同學(xué)，從剩下的7本中任選1本，共有7種方法；第三步，分給第三個同學(xué)，從剩下的6本中任選1本，共有6種方法.所以不同分法有8×7×6＝336種. 答案：336,類型二 組數(shù)問題 【典例2】 (1)(2013·青島高二檢測)如果一個三位正整數(shù)形如“a1a2a3”滿足a1a2且a3a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，363，374等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為( ) A.240 B.204 C.729 D.920,(2)用0，1，2，3，4五個數(shù)字， ①可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？ ②可以排成多少個三位數(shù)？ ③可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,【解題探究】1.題(1)中的凸數(shù)有什么特點？如何進行“分類”或“分步”計數(shù)？ 2.題(2)①②③中的三位數(shù)有什么特點？如何進行計數(shù)？ 【探究提示】1.題(1)中的凸數(shù)具有中間的一個數(shù)比兩端兩個數(shù)大的特點，可按中間數(shù)為2，3，4，…，9分8類計數(shù). 2.題(2)①中的三位數(shù)首位可以為0，且每個位上數(shù)字可以重復(fù)，需分步來計數(shù).②中的三位數(shù)首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，按首位優(yōu)先安排進行分步計數(shù).③中數(shù)為偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，可分末位為0與不為0兩類來計數(shù).,【自主解答】(1)選A.可按十位數(shù)字進行分類.a2最小為2，最大為9，共分8類: a2=2時，a1=1，a3=0,1，共有2個； a2=3時，a1可取1，2，a3可取0，1，2，共有2×3=6(個)； a2=4時，a1可取1，2，3，a3可取0,1,2,3,共有3×4=12(個)； …… a2=9時，共有8×9=72個數(shù)，故所有凸數(shù)的個數(shù)為 N=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9=240(個).,(2)①三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5=53=125(種). ②三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5=100(種).,③被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3=12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3=18(種)排法.因而有12+18=30(種)排法.即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).,【延伸探究】由題(2)中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？ 【解析】完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1，3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用過的一個還有3個可任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理共有2×3×3×2=36(個).,【方法技巧】組數(shù)問題的常見類型及解決原則 (1)常見的組數(shù)問題 ①組成的數(shù)為“奇數(shù)”“偶數(shù)”“被某數(shù)整除的數(shù)”； ②在某一定范圍內(nèi)的數(shù)的問題； ③各位數(shù)字和為某一定值問題； ④各位數(shù)字之間滿足某種關(guān)系問題等.,(2)解決原則 ①明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解. ②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.,【變式訓(xùn)練】(2013·山東高考)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( ) A.243 B.252 C.261 D.279 【解題指南】本題可利用間接法來求解. 【解析】選B. 三位數(shù)個數(shù)為9×10×10=900.沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648,所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648=252.,【補償訓(xùn)練】從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為( ) A.24 B.18 C.12 D.6 【解析】選B.由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況：奇偶奇；偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析(3種情況)，之后十位(2種情況)，最后百位(2種情況)，共12種；如果是第二種情況偶奇奇：個位(3種情況)，十位(2種情況)，百位(不能是0，一種情況)，共6種.因此總共有12+6=18種情況.故選B.,類型三 染色與種植問題 【典例3】 (1)用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有__________種不同的涂色方法.,(2)在一塊并排10 壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共_________種.,【解題探究】1.題(1)中涂色的順序一般是什么？ 2.在題(2)中A，B兩種作物的間隔不小于6壟，有幾種情形？ 【探究提示】1.一般可按1,2,3,4的順序進行. 2.有3種情形，即間隔6,7,8壟三種.,【自主解答】(1)完成該件事可分步進行.涂區(qū)域1，有5種顏色可選.涂區(qū)域2，有4種顏色可選.涂區(qū)域3，可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選；若區(qū)域3的顏色與2不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時區(qū)域4有3種顏色可選.所以共有5×4×(1×4+3×3)=260(種)涂色方法. 答案：260,(2)將并排的10壟田地從左到右編號為1到10號.由于A，B兩種作物的間隔不小于6壟，依據(jù)題意知也不大于8壟，運用分類討論的思想，根據(jù)兩種作物的左右及間隔進行討論. 當(dāng)A種在B左邊時(括號內(nèi)為田壟的序號)， ①間隔6壟時，(1,8)，(2,9)，(3,10)； ②間隔7壟時，(1,9)，(2,10)； ③間隔8壟時，(1,10).,上述共有6種選壟方法， 當(dāng)B種在A左邊時，同理也有6種選壟方法， 綜上所述，總的選壟方法數(shù)為6+6=12(種). 答案：12,【方法技巧】解決涂色(種植)問題的一般思路 (1)按涂色(種植)的順序分步進行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù). (2)按顏色(種植品種)恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù). (3)幾何體的涂色問題轉(zhuǎn)化為平面的涂色問題處理. (4)如果正面情況較多，可用間接法計算.,【變式訓(xùn)練】將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，若只有5種顏色可用，則不同的染色方法共有__________種. 【解析】此題等價于如圖所示的平面著色問題：,第一步：對O點著色，有5種著色方法. 第二步：對A點著色，有4種著色方法. 第三步：對B點著色，有2種情況： 第一種情況，B，D同色，有3種方法， C點有3種方法，共有3×3=9種方法； 第二種情況，B，D不同色，有3×2=6種方法，C點有2種方法，共有6×2=12種方法,則第三步共有9+12=21種方法. 綜上所述，不同的染色方法共有5×4×21=420種. 答案：420,【補償訓(xùn)練】(2013·西安高二檢測)湖 北省(鄂)分別與湖南(湘)、安徽(皖)、 陜西(陜)三省交界(示意圖如圖)，且湘、 皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有五種不同顏色可供選用，則不同的涂色方法有__________種.,【解析】由題意知本題是一個分步乘法計數(shù)問題，首先涂陜西，有5種結(jié)果，再涂湖北省，有4種結(jié)果，然后涂安徽，有4種結(jié)果，再涂湖南有4種，即5×4×4×4=320. 答案：320,【規(guī)范解答】綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決涂色問題 【典例】(12分)用6種不同顏色的彩色 粉筆寫黑板報，板報設(shè)計如圖所示， 要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩 色粉筆.則該板報有多少種書寫方案？,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點題】警誤區(qū)，促提升 失分點1：若不能準(zhǔn)確把握已知信息，對①處數(shù)學(xué)天地的涂色，易出現(xiàn)選取3種顏色的情況而致誤. 失分點2：若對兩種計數(shù)原理不理解，在②處不能用分步乘法計數(shù)原理求出所有的不同方案，則考試時至少會扣掉2分.,【悟題】提措施，導(dǎo)方向 1.加強“分類”“分步”的意識 在求解比較復(fù)雜的計數(shù)問題時，要注意分析問題是需要進行“分類”還是“分步”，如本例就是要對各個板塊進行分步涂色.,2.掌握解決涂色問題的關(guān)注點和技巧 特別要關(guān)注圖形的特征.有多少塊，用多少種顏色.如圖形不是很規(guī)則，往往需要從某一塊出發(fā)進行分步涂色，如本例；如圖形具有一定的對稱性，則往往先對涂色方案進行分類，對每一類再進行分步.,【類題試解】如圖，要給地圖A，B,C,D四個 區(qū)域分別涂上紅、黃、藍3種顏色中的某一 種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域 必須涂不同的顏色，則不同的涂色方案有多少種？,【解析】根據(jù)題意，由于要用3種顏色來給四塊涂色，則可以先給A涂色有3種，再給B涂色有2種，由于A,D相同時，C,D的涂法都有1種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知共有3×2×1×1＝6種.,