市場需求預測模型.ppt

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第三章 市場需求預測模型,3.1 市場需求預測概述 3.1.1 需求預測程序 市場需求預測包括以下7個程序 （1）確定需求預測目標。 （2）收集數(shù)據(jù)資料。 （3）選擇預測方法。 （4）建立預測模型并預測。 （5）分析預測結(jié)果。 （6）提出預測分析報告。 （7）根據(jù)新情況，修正預測，并且對預測結(jié)果和實際結(jié)果進行比較，不斷地改進模型。 3.1.2 需求預測方法 1 主要的需求預測方法 市場需求預測方法很多，整體上說，包括定性預測與定量預測方法。,定性預測方法包括意見集合法、類推預測法。 定量預測方法主要包括時間序列法、因果分析法、新產(chǎn)品需求預測方法。 2 定性預測方法 定性預測方法主要是通過一些概念性的推測判斷對未來的市場需求進行預測，如通過產(chǎn)品、行業(yè)或者區(qū)域類推預測，又如頭腦風暴或意見集合法等。 類推預測法就是根據(jù)市場及其環(huán)境的相似性，從一個已知的產(chǎn)品、行業(yè)或市場領(lǐng)域的需求和演變情況出發(fā)，推測其他類似產(chǎn)品行業(yè)或市場領(lǐng)域的需求 及其變化趨勢的一種判斷預測方法。根據(jù)預測目標和市場范圍的不同，類推預測法可分為產(chǎn)品類推預測法、行業(yè)類推預測法、地區(qū)類推預測法三種。 意見集合法，顧名思義就是集合大家的主觀意見最終形成判斷，這可能是背對背各抒己見，也可能是大家相互意見交流，激情碰撞，比較經(jīng)典的有專家會議法和德爾菲法。,3.1.3 需求預測誤差測定 需求預測誤差是某期預測需求與實際需求之間的差值，一般用Et表示，Et=Ft-Dt。 平均方差，表示誤差的離散程度。 （3-1） 絕對離差，為t期的誤差的絕對值。 （3-2） 平均絕對離差，指各期絕對離差的平均值。 （3-3） 假定需求是正態(tài)分布的，MAD可以用來預測隨機需求部分的標準差。在這種情況下，需求的標準差可以表示為： （3-4） 平均絕對百分比誤差,MAPE是平均絕對誤差與需求的百分比。 （3-5） 偏差（bias）主要是為了判斷預測方法是否高估或低估了需求，可以利用預測誤差之和來衡量偏差。如果誤差真的是隨機的，不朝這個或那個方向偏離，偏差就是0。 （3-6）,路徑信號（TS）是偏差與平均絕對離差的比值。 （3-7） 如果任何一個時期的TS在+6或-6之間的范圍之外，這就說明預測出現(xiàn)了偏差，說明低估或高估了。 3.2 時間序列法 時間序列就是過去的數(shù)據(jù)按照時間順序進行排列。時間序列法就是利用這組數(shù)列，應用數(shù)理統(tǒng)計方法加以處理，以預測未來事物的發(fā)展。時間序列法主要包括移動平均法、指數(shù)平滑法、季節(jié)周期法。 經(jīng)濟變量的變化往往受到若干因素的影響，而該經(jīng)濟變量的時間序列的變動是各影響因素共同作用的結(jié)果，一般說來，時間序列法主要考慮以下變動因素：①趨勢變動，②季節(jié)變動，③循環(huán)變動，④不規(guī)則變動。 一般的時間序列模型是由上述四種變動形式組合而成的模型，表現(xiàn)為以下幾種類型：,加法型：y(t)=T(t)+S(t)+C(t)+R(t) (3-8) 乘法型：y(t)=T(t) × S(t) × C(t) × R(t) (3-9) 混合型： y(t)=T(t) × S(t)+C(t)+R(t) （3-10） y(t)=T(t) × S(t)+R(t) （3-11） y(t)=T(t) × S(t) × C(t)+R(t) （3-12） 3.2.1 移動平均法 1 一次移動平均法 一次移動平均法是收集一組觀察值，計算這組觀察值的均值，利用這一均值作為下一期的預測值，它是對時間序列的數(shù)據(jù)按一定周期進行移動，逐個計算其移動平均值，取最后一個移動平均值作為預測值的方法。 設(shè)有一組時間序列為{Yt}:y1,y2,…,yt。令Mt(1)為時間序列Yt的一次移動平均序列，其中N為移動平均的時段長： （3-13）,2 二次加權(quán)平均法 二次移動平均法，是對一次移動平均數(shù)進行第二次移動平均，再以一次移動平均值和二次移動平均值為基礎(chǔ)建立預測模型，計算預測值的方法。 將時間序列{Yt}的移動平均序列Mt(1)為再取一次移動平均，所得序列稱為 y1的二次移動平均序列，記為Mt(2) ，計算公式為： （3-14） 設(shè)二次移動平均法線性預測模型為： （3-15） （3-16） 式中，t—當前時期； --預測時段長；at—預測方程截距；bt—預測方程斜率。最后通過式（3-15）就可以預測出所需時段的預測值。,,3 移動加權(quán)平均法 加權(quán)移動平均法基本原理是根據(jù)同一個移動段內(nèi)不同時間的數(shù)據(jù)對預測值的影響程度，分別賦予不同的權(quán)數(shù)，然后再進行平移以預測未來值。 （3-17） 式中，Y`t+i—預測期指； --第i期實際數(shù)的權(quán)重； --第i-1期實際銷售額的權(quán)重；n—預測的時期數(shù)。 3.2.2 指數(shù)平滑法 1 指數(shù)平滑法基本模型 指數(shù)平滑法基本模型如下：設(shè)有一組時間為{Yt}:y1,y2,…,yt。 （3-18） 式中，St+1—t+1期時間序列的預測值；Yt—t期時間序列的實際值；St—t時期時間序列的預測值；a—平滑指數(shù)（0≤a≤1）初始值的確定，即第一期的預測值，項數(shù)較多時（大于15）可以選用第一期作為初始值。項數(shù)較少時，可以選用最初幾期的平均數(shù)作為初始值。,2 平滑系數(shù)a的確定 a通常介于0.2~0.3之間，表明應將當前預測調(diào)整20%~30%，以修正以前的預測。平滑系數(shù)越大反應越快，但是預測越具有不穩(wěn)定性；平滑系數(shù)越小則可能導致預測滯后。但是根據(jù)給定時間序列的真實值，存在一個最佳平滑系數(shù)，使得已有數(shù)據(jù)真實值和預測值誤差最小，也即最佳平滑系數(shù)需要滿足序列的方差S2為最小。 （3-19） 令Y`t=aYt+(1-a)y`t-1 (3-20) 式中，N—時間序列項數(shù)；Yt—第t期真實值；Y`t—指數(shù)平滑的第t期預測值； --真實值的平均。 3 預測模型 （1）線性趨勢模型。如果時間序列存在線性趨勢，則需用到一次和二次指數(shù)平滑序列。根據(jù)式（3-18）可得：,（3-21） 利用St(1）和St(2）的值估計線性模型的截距at和bt的值： at=2 St(1） - St(2） bt=a/(1-a)*(St(1）-St(2）) （3-22） 利用模型預測： (3-23) 式中， St(1）、St(2）--當期t時的一次、二次指數(shù)平滑值； —預測時段長。 （2） 二次曲線趨勢模型。如果時間序列存在非線性趨勢，則需用到一次、二次和三次指數(shù)平滑序列。預測模型為： （3-24） （3-25）,,,,式中， St(1）、St(2）、 St(3）--當期t時的一次、二次、三次指數(shù)平滑值； --預測時段長。 相比移動平均法指數(shù)平滑法具有以下優(yōu)點：①指數(shù)平滑法采用加權(quán)平均，體現(xiàn)了近期數(shù)據(jù)較遠期具有更大的影響作用，因而更能刻畫出近期經(jīng)濟現(xiàn)象變化的情況；②可以充分利用全部數(shù)據(jù)，而移動平均法只能用到部分數(shù)據(jù)。 3.2.3 季節(jié)變動預測法 1 季節(jié)指數(shù)法 季節(jié)指數(shù)法預測模型為： （3-26） 式中，xt—時間序列Yt的長期趨勢變動函數(shù)，如向上、向下或者保持穩(wěn)定；T—一個完整周期所包含的季節(jié)個數(shù)；fj—第j個季節(jié)的季節(jié)指數(shù)，它表示季節(jié)性變動幅度的大小，它以趨勢值xi為基準，表示上下波動的振幅的相對值。 設(shè)時間序列yt長度為n，共有m個季節(jié)，則有n=mT。 具體算法共三步： （1）計算長期趨勢變動函數(shù)。一般用線性函數(shù)近似表示長,期趨勢變動函數(shù)。 （3-27） 通過（3-27）式可以得到t=1,2,…,n時的趨勢值x1,x2,…,xn。 （2）計算季節(jié)指數(shù)fi。首先，計算各期樣本季節(jié)指數(shù)值ft: (3-28) 再計算平均季節(jié)指數(shù) ： （3-29） 最后，計算規(guī)范平均季節(jié)指數(shù) ： 從理論上講，T個平均季節(jié)指數(shù)的平均值應該為1，但實際上卻常常不是，所以需要規(guī)范化處理，以使其平均值為1。 F為平均季節(jié)指數(shù) 的算術(shù)平均值： （3-30） （3-31）,（3）預測。預測模型修改為： （3-32） 式中，y`t依次對應第j個季節(jié)。 2 季節(jié)變差法 季節(jié)變差法預測模型為： （3-33） 同樣的，xt為趨勢變動函數(shù)，只是vj為第j個季節(jié)的季節(jié)變差，它表示季節(jié)性變動幅度的絕對值大小。 xt的求法同季節(jié)指數(shù)相同。估計季節(jié)變差為vj ，計算公式如下： （3-34） 計算平均季節(jié)變差 ： （3-35）,規(guī)范化平均季節(jié)變差 ： （3-36） （3-37） 以規(guī)范化平均季節(jié)變差vj`作為季節(jié)變差vj的估計值。因此，預測模型為： （3-38） 式中，yt`所對應的季節(jié)為第j個季節(jié)。 在選用不同的時間序列法時可以參考下面的原則：若時間序列消除了趨勢變化影響后的季節(jié)波動，在各周期的季節(jié)振幅變化不大，較穩(wěn)定，則適宜采用季節(jié)變差法；若時間序列消除了趨勢變化影響后的季節(jié)波動，在各周期相應的季節(jié)振幅，隨著趨勢值的增加而增加，則適宜用季節(jié)指數(shù)法。,3.2.4 ARMA模型 ARMA模型利用大量的歷史數(shù)據(jù)來建模，經(jīng)過模型識別、參數(shù)估計來確定一個能夠描述所研究時間序列的數(shù)學模型，最后再由該模型推導出預測模型，進而達到預測的目的。 ARMA模型是目前公認的最好的單一變量隨機時間序列預測模型。 ARMA模型作為一種比較成熟的隨機時間序列模型，主要有三種基本形式：自回歸模型、移動平均模型和混合模型。 1 AR自回歸模型形式 AP（p）模型主要是通過過去的預測值和現(xiàn)在的干擾值的線性組合來進行預測，自回歸模型的數(shù)學公式是： （3-49） 公式中的p為自回歸模型的階數(shù)， 為模型的自回歸系數(shù)， et為誤差，為一個時間序列。 AR(p)模型的意義在于它主要通過時間序列變量自身的歷史觀測值來反映有關(guān)因素對預測目標的影響。不受模型變量相互的假設(shè)條件約束。,2 MA移動平均模型形式 MA模型主要是通過過去的干擾值和現(xiàn)在的干擾值的線性組合進行預測，移動平均模型的數(shù)學公式是： （3-50） 公式中q為模型的階數(shù)， 為模型的移動平均項系數(shù)，et為誤差，Yt為觀測值。 MA（p）模型用過去各個時期的隨機干擾或預測誤差的線性組合來反映當前的預測值，當AR（p）的假設(shè)條件不滿足時我們可以考慮采用MA（p）形式。 3 ARMA模型 自回歸模型和移動平均模型的組合就構(gòu)成了用于描述平穩(wěn)隨機過程的自回歸移動平均模型ARMA，數(shù)學公式為： （3-51） 顯然，AR模型和MA模型是該模型的特殊情況，q=0時， ARMA模型即為AR（p）模型，p=0時， ARMA模型即為MA（q）模型,4 ARMA模型的基本預測步驟 （1）時間序列的處理，判斷該序列是否為平穩(wěn)非純隨機序列。 （2）計算出觀察值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)。 （3）根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，選恰當?shù)腁RMA模型進行擬合。 （4）估計模型中的未知參數(shù)。 （5）檢驗模型的有效性。 （6）模型優(yōu)化。 （7）利用擬合模型進行預測。 3.3 因果分析法 因果分析法是通過尋找變量之間的因果關(guān)系，分析自變量對因變量的消費系數(shù)分析法影響程度，進而對未來進行預測的方法。 3.3.1 消費系數(shù)分析法,消費系數(shù)分析法是按行業(yè)或部門等細分市場對某產(chǎn)品的消費進行分析，認識和掌握各個子市場的需求特征基礎(chǔ)上進行加權(quán)匯總，從而預測產(chǎn)品整體市場需求，這種方法主要適用于產(chǎn)業(yè)用品市場。 消費系數(shù)分析法主要包括以下流程。 （1）分析產(chǎn)品X的所有消費行業(yè)和部門，包括現(xiàn)存的和潛在的市場。有事產(chǎn)品的消費部門較多，則需要篩選出主要的消費部門。 （2）分析產(chǎn)品X在各行業(yè)、部門的消費量Xi與各行業(yè)部門的產(chǎn)量Yi，確定在各個部門或行業(yè)的消費系數(shù)：某部門的消費系數(shù)ei=某部門產(chǎn)品消費量Xi/該部門產(chǎn)量Yi （3-52） （3）確定各部門或行業(yè)的規(guī)劃產(chǎn)量，預測各部門或行業(yè)的消費需求量：部門需求量X`i=部門規(guī)劃生產(chǎn)規(guī)模Y`i×該部門消費系數(shù)ei (3-53) （4）匯總各部門的消費需求量：產(chǎn)品總需求X`i=∑各部門的需求量X`i (3-54),3.3.2 回歸分析法 回歸分析法是在掌握大量觀察數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)理統(tǒng)計方法建立因變量與自變量之間的回歸關(guān)系函數(shù)表達式，以此來描述變量之間的數(shù)量變化關(guān)系。回歸分析中，當研究的因果關(guān)系只涉及因變量和一個自變量時，叫做一元回歸分析；當研究的因果關(guān)系涉及因變量和兩個或兩個以上自變量時，叫做多元回歸分析。 1 一元回歸分析 適用于確定兩個變量之間的線性關(guān)系，公式為： Yt=a+bxt (3-55) 式中，Yt--預測值；a,b—回歸系數(shù)； xt--自變量。其中a,b可以直接使用辦公軟件Excel的回歸功能得出。 2 多元線性回歸分析 基本模型為： （3-56）,式中，y—因變量；x—自變量；m—自變量個數(shù)；b0,b1,…,bm—回歸系數(shù)；ex—隨機誤差。 3 非線性回歸分析 當預測變量和影響它的變量之間關(guān)系是非線性相關(guān)時，就需要把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題來解決。 （1）冪函數(shù)模型： （3-57） 式中，a,b—模型參數(shù)；對上式取對數(shù)，則有Y=A+BX+ （2）指數(shù)函數(shù)模型： （3-59） 式中，a,b—模型參數(shù)；對上式取對數(shù)，則有Y=A+Bx+ （3）雙曲線函數(shù)模型： （3-61） 式中，a,b—模型參數(shù)； --隨機誤差。令Y=1/y,X=1/x,則有：Y=a+bX+ （4）對數(shù)函數(shù)模型： （3-63） 式中，a,b—模型參數(shù)； --隨機誤差。令X=lnx，則有： y=a+bX+ （3-64）,3.3.3 灰色預測模型 灰色系統(tǒng)是指相對于一定的認識層次，系統(tǒng)內(nèi)部的信息部分已知，部分未知，即信息不完全，半開放半封閉的。 灰色預測是對灰色系統(tǒng)進行的預測，其特點是預測模型不是唯一的；一般預測到一個區(qū)間，而不是一個點；預測區(qū)間的大小與預測精度成反比，而與預測成功率成正比。 通常灰色預測所用的模型為GM（1,1），該模型基于隨機的原始時間序列，經(jīng)累加生成新的時間序列，其中所呈現(xiàn)的規(guī)律用一階線性微分方程的解來逼近，從而得到預測方程。 設(shè)數(shù)列X（0）有n個觀察值X(0)(1)、X(0)(2)、…、X（0）（ n ）,對其作一次累加得到新的序列X（1）， X（0）和X（1）關(guān)系式為： （3-65） 根據(jù)函數(shù)關(guān)系，建立相應的微分方程： （3-66）,這個一階變量的微分方程模型，故記為GM（1,1），求解可得預測模型的響應函數(shù)： （3-67） 式中，a—發(fā)展灰數(shù)；u—內(nèi)生控制灰數(shù)，反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，其確切內(nèi)涵是灰色的，是內(nèi)涵外延化的具體體現(xiàn)。預測結(jié)果的精度用方差比和小誤差概率來衡量。詳見p57。 3.4 新產(chǎn)品市場需求預測模型 3.4.1 巴斯模型 1 巴斯模型基礎(chǔ)假設(shè)及適用條件 巴斯模型假設(shè)新產(chǎn)品在市場上擴散速度會受到兩種方式的影響：一種是大眾傳播媒介，另一種是口碑傳播。在市場營銷中運用巴斯模型預測首次購買已經(jīng)比較成熟，巴斯模型的適用條件：（1）企業(yè)已經(jīng)引入了新產(chǎn)品或者新技術(shù)，并且已經(jīng)觀察到它最初幾個時期的銷售情況。（2）企業(yè)還沒有引入該產(chǎn)品或者新技術(shù)，但是該產(chǎn)品或者技術(shù)在某些方面同已有一些銷售歷史的某種現(xiàn)有產(chǎn)品或技術(shù)很相似。,2 基本巴斯模型 巴斯認為一些個體采用新產(chǎn)品的決定是獨立于社會系統(tǒng)中其他個體的影響而做出的，而另外一些個體則會因為受到社會系統(tǒng)壓力的影響而采取新產(chǎn)品，這種壓力會隨著系統(tǒng)內(nèi)采用者人數(shù)的增加而不斷增加，這類消費者在t時刻之前沒有購買產(chǎn)品，而在t時刻發(fā)生首次購買的概率是已購買者人數(shù)的遞增函數(shù)。 假設(shè)目標市場上的某個顧客在時點t前會采用某一創(chuàng)新產(chǎn)品的概率由一個非遞增連續(xù)函數(shù)F（t）表示，且F（t）隨著t越來越大，越,趨近于1，它表明目標市場上一個顧客最終會采用這種創(chuàng)新產(chǎn)品。 為了估計出未知的函數(shù)F（t），我們規(guī)定條件概率L（t）表示某個顧客在創(chuàng)新產(chǎn)品引入市場后的時點t采用它的概率，條件是在時點t前它一直都沒有被采用。利用貝葉斯定律可知：（1） F（t）為目標市場上一個顧客在時點t之前采用這種產(chǎn)品的概率。（2）f（t）為一個顧客剛好在時點t采用這種產(chǎn)品的瞬時概率。,（3-68） 巴斯將L（t）定義為： （3-69） 式中，N（t）--在時點t之前已經(jīng)采用了該創(chuàng)新產(chǎn)品的顧客數(shù)； —目標市場上最終采用這種創(chuàng)新產(chǎn)品的顧客總數(shù)；p—創(chuàng)新系數(shù)；q—模仿系數(shù)。 式（3-69）表示，目標市場上某個顧客剛好在時點t采用創(chuàng)新產(chǎn)品的概率是兩個概率之和。令式（3-68）和式（3-69）相等，得到： （3-70） 從式的推導可知， ，并定義恰在時點t采用該創(chuàng)新產(chǎn)品的顧客為 ，我們可以用以下公式來預測產(chǎn)品在時點t的銷售額。 （3-71）,由此我們可以得出巴斯累計形式和非累計采用量形式的對比圖，如下圖。 N（t） N（t） 非累 累計 計采 采用 用者 者人 人數(shù) 數(shù) T t T t 圖3-21 巴斯模型累計形式和非累計采用量形式的對比圖 從以上的圖形我們可以看出這兩種曲線形式的拐點非常重要，他們是新產(chǎn)品預測與決策的重要參考點。 若q＞p,那么模仿效應將大于創(chuàng)新效應，如圖3-22a所示n(t)對于時間t的圖像呈倒置的U形，先逐漸上升到一個頂點，再逐漸下降；若q＜p，則創(chuàng)新效應將大于模仿效應，如重磅電影《阿凡達》，市場迅速達到頂點，再緩慢下降（見圖3-22b）。,,,,,,,,,n（t） n（t） T t T t ( a ) ( b ) 圖3-22 新產(chǎn)品銷售增長曲線（a: q＞p的 增長曲線；b :q＜p 的增長曲線） 3 巴斯模型參數(shù)的估計 巴斯模型有三個參數(shù)，即最大市場潛量 、創(chuàng)新系數(shù)p和模仿系數(shù)q。本文主要介紹普通最小二乘法和非線性最小二乘法這兩種參數(shù)估計方法。 （1）普通最小二乘法（OLS）。普通最小二乘法基本步驟是：對于多元線性回歸模型 ，即 ，選擇適當?shù)? ，使得 時： （3-72）,,,,,,,,為達到最小，求導。 于是解得： 即為模型系數(shù) 的最小二乘估計。 利用普通最小二乘法對巴斯模型進行估計，也可以將巴斯模型的基本形式離散化，詳見p60，也存在三分明顯的不足。 （2）非線性最小二乘法（NLS）。 非線性最小二乘法是非線性模型的常用估計方法，其基本步驟為：對于非線性模型y=f(χ,β)，選擇恰當?shù)? ，使得當β= 時： （3-77） 達到最小值時，此時 即為模型參數(shù)的非線性最小二乘估計。 這一方法可以在一定精度下求出近似解。這種方法的優(yōu)勢在于經(jīng)理不需要直接猜測新產(chǎn)品的銷售額。,4.廣義巴斯模型及擴展 巴斯和克里斯南、杰恩在后來提出了式（3-70）的一種比較通用的形式，結(jié)合了營銷組合的各個變量對新產(chǎn)品采用可能性的影響： （3-78） 在式（3-78）里，x(t)是營銷組合變量 （如廣告和價格）關(guān)于時點t的函數(shù)。 巴斯模型有幾個關(guān)鍵的假設(shè)條件，巴斯模型最重要的假設(shè)條件極其可能的擴展如下： （1）市場潛量（ ）保持恒定。 （2）支持新產(chǎn)品的營銷策略不影響新產(chǎn)品的采用過程。 （3）消費者決策過程是二元的（只有 “接受”和“不接受”兩種答案）。 （4）q的值在新產(chǎn)品的整個生命周期里保持固定不變。 （5）模仿常具有積極作用。 （6）創(chuàng)新產(chǎn)品的采用不受其他創(chuàng)新是否被采用的影響。 （7）該創(chuàng)新產(chǎn)品不存在重復購買或者替代購買。,5 應用巴斯模型的基本步驟 首先，利用新產(chǎn)品擴散的歷史數(shù)據(jù)，選擇合適的參數(shù)估計方法，對巴斯模型進行參數(shù)估計，必要的時候還可以借助專門的軟件進行參數(shù)估計。 其次，對參數(shù)估計結(jié)果進行分析，看參數(shù)估計值是否在合理的范圍之內(nèi)。然后，將參數(shù)估計結(jié)果代入巴斯模型，計算各期擴散值根據(jù)計算值與實際值的平均誤差百分比的大小做出判斷。 最后，如果參數(shù)估計結(jié)果合理，模型能很好地描述新產(chǎn)品的擴散過程，那么，就可以將巴斯模型用于預測或其他營銷決策中去。,3.4.2 Logistic模型 1 基本Logistic模型 設(shè)K為潛在的消費者總?cè)藬?shù)，N（t）為t時刻購買了新產(chǎn)品的人數(shù)，其中K≥ N（t）。假設(shè)：對于未購買該產(chǎn)品的消費者來說，只有當已經(jīng)采用了該產(chǎn)品的消費者對他談論了該產(chǎn)品之后，他才可能會購買，因此，在某時間段購買該產(chǎn)品的人數(shù)與在此之前已購買該產(chǎn)品的人數(shù)N（t）以及尚未購買該產(chǎn)品的人數(shù)K- N（t）成正比，據(jù)此，可有下列模型： （3-82） 式中，a0，為擴散強度系數(shù)，可用最小二乘法進行估計，常微分方程初始值問題根據(jù)式（3-82）求解，得： （3-83）,2 Logistic模型擴展 在市場中，許多新產(chǎn)品為耐用消費品，由于耐用消費品短期內(nèi)一般不會重復購買，這時，我們可以將市場購買者人數(shù)N（t）看做產(chǎn)品的累積銷售量，產(chǎn)品的瞬間銷售量P（t）等于其導數(shù)N`（t）,根據(jù)式（3-82），可得： （3-84） 因為N（t）是時間t的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，故可推導出最大銷售量為： （3-85） 根據(jù)式（3-85）可以看出：在時間tm之前，銷售量P（t）單調(diào)遞增；在時間tm之后，銷售量P（t）單調(diào)遞減。,3.4.3 Steffens-Murthy模型 我們?nèi)匀辉O(shè)定K為潛在的消費者總體數(shù)，N（t）為t時刻購買了新產(chǎn)品的人數(shù)，其中K ≥ N（t）。同時，假設(shè)產(chǎn)品擴散信息分為兩類，一類來自廣告與宣傳、商店形象等，稱為搜尋型信息；另一類來自消費者購買使用后得到的對產(chǎn)品的認識，稱為體驗型信息。消費者也分兩類，一類根據(jù)搜尋型信息進行購買，稱為“更新者”；另一類必須接收到體驗型信息才會購買，稱為“模仿者”。設(shè)K1，K2分別為更新者、模仿者的總?cè)藬?shù)： （3-86） 式中，σ1σ2為比例系數(shù)， σ1+σ2 ≤1。 建立搜尋型信息傳播的模型，假設(shè)無論更新者還是模仿者對搜尋型信息的傳播速度都是一樣的。 A1（t）=σ1A(t) （3-87） 式中， A1和A(t)分別表示在t時刻已得到搜尋型信息的更新者人數(shù)和總?cè)藬?shù)。考慮到搜尋型信息的傳播仍然有兩個途徑，來自消費者外部的廣告與宣傳、商店形象等傳播及來自消費者內(nèi)部的口碑傳播。,參照巴斯模型，搜尋型信息的傳播為： （3-88） 式中，a,b0，分別為搜尋型信息在消費者外部與內(nèi)部的傳播強度系數(shù)，所以依次可用最小二乘法進行估計。 利用Steffens-Murthy模型進行新產(chǎn)品的預測有比較重要的理論意義，首先對于實際情況中出現(xiàn)的雙峰PLC現(xiàn)象不能簡單地歸因于隨機干擾，而是給出了一個機理性的解釋；其次，在對耐用消費品做購買預測時，由于傳統(tǒng)理論是單峰的，對數(shù)據(jù)的下降有可能誤認為產(chǎn)品進入衰退期，有了Steffens-Murthy模型以后，對數(shù)據(jù)的下降必須謹慎分析有可能進入產(chǎn)品的衰退期，但也有可能是第二個銷售高峰的前奏。,