專題強(qiáng)化訓(xùn)練1空間幾何體及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

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1、 專題強(qiáng)化訓(xùn)練 ( 一) 空間幾何體及點(diǎn)、線、 面的位置關(guān)系 (建議用時(shí)： 45 分鐘 ) [ 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練 ] 一、選擇題 1．下列說法中正確的是 ( ) A．若直線 m∥平面 α，直線 n⊥平面 β，且平面 α⊥平面 β，則直線 m⊥直 線 n B．兩個(gè)平面一定將空間分成四部分 C．已知異面直線 a，b 所成的角為 45，若 a⊥平面 α，b⊥平面 β，則平面α與平面 β所成的角為 135 D．若平面 α∥平面 β，直線 a?平面 α，直線 a?平面 β，直線 a∥平面 α，則直線 a∥平面 β

2、 D [A 中， m 與 n 可能平行，可能相交，也可能異面，可知 A 不正確； B 中，當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分為三部分，可知 B 不正確； C 中，根據(jù)異面直 線所成的角與二面角的平面角的定義， 可知平面 α和平面 β所成的角與異面直線 a，b 所成的角相等或互補(bǔ)，所以兩個(gè)平面所成的角為 45或 135，C 不正確； D 中，由空間面面平行和線面平行的性質(zhì)定理，可知 D 正確．故選 D.] 2．一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切， 已知這個(gè)球的體積是 32 π 3 ，那

3、 么該三棱柱的體積是 ( ) A ． 96 3 B ． 16 3 C．24 3 D ．48 3 D [用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如圖所示： 4π 3 32π 設(shè)球的半徑為 R，則 3 R ＝ 3 ，所以 R＝ 2. 所以正三棱柱底面邊長(zhǎng) a＝ 4 3， 第 1 頁 其高 h＝ 2R＝ 4， V＝ 43(4 3)2 4＝ 48 3.] 3．已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 個(gè)頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，若 AB＝ 3，

4、AC＝4，AB⊥AC，AA1＝ 12，則球 O 的表面積為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 07742188】 A．153π B． 160π C． 169π D．360π C [ 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體， 1 13 其體對(duì)角線就是外接球的直徑，所以球 O 的半徑 R＝ 2 32＋42＋122＝ 2 ，所以 13 2 球 O 的表面積 S＝ 4π 2 ＝ 169π，故選 C.] 4．如圖 15，∠ C＝90，AC＝BC，M， N 分別是 BC，AB 的中點(diǎn)，沿

5、直線 MN 將△ BMN 折起至△ B′ MN 位置，使二面角 B′-MN-B 的大小為 60，則 B′A 與平面 ABC 所成角的正切值為 ( ) 圖 15 2 4 3 3 A． 5 B． 5 C． 5 D．5 C [ 設(shè) BC＝2.過 B′作 B′ D⊥BC，垂足為 D(圖略 )，則 B′D⊥ 平面 ABC， 連接 AD，則∠B′ AD 是 B′A 與平面 ABC 所成的角．由題意，知 ∠B′MB＝60， 1 3 1 2 5 2 MB′＝ MB＝1，則 MD ＝2，B′D＝ 2 ，A

6、D＝ 1＋2 ＋2 ＝2， 3 B′D 2 3 ∴tan∠B′AD＝ AD ＝ 5 ＝ 5 .] 5．如圖 1-11，四棱錐 S-ABCD 的底面為正方形， SD⊥底面 ABCD，則下列 結(jié)論中不正確的是 ( ) 圖 1-11 A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD 第 2 頁 C．SA 與平面 SBD 所成的角等于 SC 與平面 SBD 所成的角 D．AB 與 SC

7、所成的角等于 DC 與 SA所成的角 D [ 選項(xiàng) A 正確，因?yàn)? SD 垂直于平面 ABCD，而 AC 在 平面 ABCD 內(nèi)，所以 AC 垂直于 SD；再由 ABCD 為正方形，所 以 AC 垂直于 BD，而 BD 與 SD 相交，所以 AC 垂直于平面 SBD， 進(jìn)而垂直于 SB. 選項(xiàng) B 正確，因?yàn)?AB 平行于 CD，而 CD 在平面 SCD 內(nèi)，AB 不在平面 SCD 內(nèi)，所以 AB 平行于平面 SCD. 選項(xiàng) C 正確，設(shè) AC 與 BD 的交點(diǎn)為 O，連接 SO，則 SA 與平面 SBD 所成

8、 的角就是 ∠ASO， SC 與平面 SBD 所成的角就是 ∠ CSO，易知這兩個(gè)角相等． 選項(xiàng) D 錯(cuò)誤，AB 與 SC所成的角等于 ∠ SCD，而 DC 與 SA 所成的角是 ∠ SAB， 這兩個(gè)角不相等． ] 二、填空題 6．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是 32π，則母線長(zhǎng)為 ________． 1 4 [設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為 l，上、下底面半徑分別為 r ，R，則 l＝2(r＋R)， 又 32π＝π(r＋ R)l＝ 2πl(wèi)2，所以 l2＝16，所以 l＝4.] 7．如圖 1-12，半徑為 2 的

9、半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正六棱錐 P-ABCDEF，則此正 六棱錐的側(cè)面積是 ________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 07742189】 圖 1-12 6 7 [顯然正六棱錐 P-ABCDEF 的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓， 由已知，可得大圓的半徑為 2.易得其內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為 2.又正六棱錐 P-ABCDEF 的 第 3 頁 高為 ，則斜高為 2 3 2 ＝ ，所以該正六棱錐的側(cè)面積為 1 2 7＝ 2 2 ＋ 7 6 2 6 7.]

10、 8．已知 A 是銳二面角 α-l-β中 α內(nèi)一點(diǎn)， AB 垂直 β于點(diǎn) B，AB＝ 3，點(diǎn) A 到 l 的距離為 2，則二面角 α-l-β的平面角的大小為 ________． 60 [ 過點(diǎn) A 作 l 的垂線，設(shè)垂足為 C，連接 BC(圖略 )．由于 AB⊥β，則△ABC 3 為直角三角形， ∠ACB 就是銳二面角 α-l -β的平面角．易得 sin∠ ACB＝ 2 ，因 此 ∠ACB＝ 60，即二面角 α-l-β的平面角的大小是 60.]

11、三、解答題 9．如圖 1-13，已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，O 是底面 ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)． 圖 1-13 求證： (1)C1 O∥面 AB1D1； (2)A1 C⊥面 AB1D1. [ 證明 ] (1)如圖，連接 A1 C1，設(shè) A1C1∩ B1D1＝ O1，連接 AO1， ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方體， ∴A1ACC1 是平行四邊形， ∴A1C1∥AC 且 A1C1＝ AC， 又 O1，O 分別是 A1C1， AC 的中點(diǎn)， ∴O1 C1∥AO 且 O1C1＝AO，

12、 ∴四邊形 AOC1O1 是平行四邊形， ∴C1O∥AO1，AO1? 面 AB1D1，C1O?面 AB1D1， ∴C1O∥面 AB1D1. (2)∵ CC1⊥面 A1B1C1D1， ∴CC1⊥ B1D1， 第 4 頁 又∵ A1C1⊥B1D1， ∴B1D1⊥面 A1C1CA， 即 A1C⊥B1D1，同理可證 A1C⊥AB1， 又 B1D1∩AB1＝B1，∴ A1C⊥面 AB1D1. 10．如圖 1-14，在四棱錐 P-ABCD 中， AB∥ CD，

13、AB⊥ AD， CD＝ 2AB，平 面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分別是 CD，PC 的中點(diǎn) . 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 07742190】 圖 1-14 求證： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD . [證明 ] (1)∵ 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PA⊥AD. ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵ AB∥ CD， CD＝2AB， E 為 CD 的中點(diǎn)， ∴AB∥DE，且 AB＝

14、DE. ∴四邊形 ABED 為平行四邊形， ∴ BE∥ AD. 又 BE?平面 PAD，AD? 平面 PAD， ∴BE∥平面 PAD. (3)∵ AB⊥ AD，且四邊形 ABED 為平行四邊形． ∴BE⊥CD ，AD⊥CD . 由 (1)知 PA⊥底面 ABCD，則 PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A， 第 5 頁 ∴CD⊥平面 PAD，從而 CD⊥PD， 又 E， F 分別為 CD，CP 的中點(diǎn)，∴EF∥PD，故 CD⊥EF. ∵EF，BE? 平

15、面 BEF，且 EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面 BEF. 又 CD? 平面 PCD， ∴平面 BEF⊥平面 PCD. [ 沖 A 挑戰(zhàn)練 ] 1．已知四棱錐 S-ABCD 的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面 ABCD 是正方 形且和球心 O 在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8 ＋ 8 3，則球 O 的體積等于 ( ) A．32π B． 32 2π 3 3 C．16π D． 16 2π 3

16、 A [ 依題意，設(shè)球 O 的半徑為 R，四棱錐 S-ABCD 的底面邊長(zhǎng)為 a、高為 h， 1 則有 h≤R，即 h 的最大值是 R.又 AC＝ 2R，則四棱錐 S-ABCD 的體積 VS-ABCD ＝3 2 2R3 2R h≤ 3 .因此，當(dāng)四棱錐 S-ABCD 的體積最大，即 h＝ R 時(shí)，其表面積等于 ( 2 1 2R 2 2 2R 2 R) ＋42 2 ＋R ＝8＋8 3，解得 R＝2，因此球 O 的體積等于 4πR3 32π

17、 3 ＝ 3 ，選 A.] 2．如圖 1-15 所示，點(diǎn) P 在正方形 ABCD 所在的平面外， PA⊥平面 ABCD， PA＝AB，則異面直線 PB 與 AC 所成的角是 ( ) A．90 B．30 C．45 D． 60 第 6 頁 圖 1-15 D [ 連接 BD 交 AC 于點(diǎn) O，連接 PD，取 PD 的中點(diǎn) Q，連接 OQ，AQ(圖 略 )，則 OQ∥PB.設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a.因?yàn)?PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝a， 所以 PD＝PB＝

18、DB＝AC＝ 2a.因?yàn)樵?△DBP 中， O，Q 分別是邊 BD，PD 的中 PB 2a 2a 2a 點(diǎn)，所以 OQ＝ 2 ＝ 2 .在△ADP 中， AQ＝ 2 ，又 OA＝ 2 ，所以 △AOQ 是 等邊三角形，所以 ∠AOQ＝60.因?yàn)?OQ∥PB，所以異面直線 PB 與 AC 所成的 角為 60.] 3．在三棱錐 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，∠ PCA＝ 90，△ ABC 是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形，PC＝4，M 是 AB 邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則 PM 的最小值為 ________． 2 7 [ 連接 CM，則由題意

19、知 PC⊥平面 ABC，可得 PC⊥CM，所以 PM＝ PC2＋CM2，要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可， 3 在 △ABC 中，當(dāng) CM⊥ AB 時(shí)，CM 有最小值，此時(shí)有 CM＝4 2 ＝ 2 3，所以 PM 的最小值為 2 7.] 4．如圖 1-16，正三角形 ABC 的中線 AF 與中位線 DE 相交于點(diǎn) G，已知 △ A′ ED 是△ AED 繞 DE 翻折過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題： 圖 1-16 ①動(dòng)點(diǎn) A′在平面 ABC 上的射影在線段 AF 上； ②恒有平面 A′

20、GF⊥平面 BCED； ③三棱錐 A′ -FED 的體積有最大值； ④直線 A′E 與 BD 不可能垂直． 其中正確命題的序號(hào)是 ________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 07742191】 ①②③ [ 對(duì)于命題 ①，由題意，知 A′G⊥ DE，F(xiàn)G⊥ DE，A′ G∩FG＝G， 故 DE⊥平面 A′FG.又 DE? 平面 ABC，所以平面 A′FG⊥平面 ABC，故該命題 第 7 頁 正確；對(duì)于命題 ② ，由① 可知正確；對(duì)于命題 ③ ，當(dāng) A′ G⊥ 平面 ABC 時(shí)，三棱 錐 A′-FED 的體

21、積有最大值， 故命題 ③正確；對(duì)于命題 ④，當(dāng) A′E 在平面 ABC 上的射影與直線 BD 垂直時(shí)，易證 A′E 與 BD 垂直，故該命題不正確． ] 5．由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱錐 C1-B1CD1 后得到的幾何體如圖 1-17 所示．四邊形 ABCD 為正方形， O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)， E 為 AD 的中點(diǎn)， A1E⊥ 平面 ABCD. 圖 1-17 (1)證明： A1 O∥平面 B1CD1； (2)設(shè) M 是 OD 的中點(diǎn)，證明：平面 A1EM⊥平面 B1CD1. [證明 ] (1)取 B1D1 的中

22、點(diǎn) O1，連接 CO1，A1O1， 由于 ABCD-A1B1C1D1 是四棱柱， 所以 A1O1∥ OC，A1O1＝OC， 因此四邊形 A1OCO1 為平行四邊形，所以 A1O∥O1C. 又 O1C? 平面 B1CD1，A1O?平面 B1CD1， 所以 A1O∥平面 B1CD1. (2)因?yàn)?AC⊥BD，E， M 分別為 AD 和 OD 的中點(diǎn)，所以 EM⊥BD. 又 A1E⊥平面 ABCD， BD? 平面 ABCD， 所以 A1E⊥BD. 因?yàn)?B1D1∥ BD， 所以 EM⊥B1D1，A

23、1E⊥B1D1. 又 A1E，EM? 平面 A1EM，A1 E∩ EM＝E， 所以 B1D1⊥ 平面 A1EM. 第 8 頁 又 B1D1? 平面 B1CD1， 所以平面 A1EM⊥平面 B1CD1. 第 9 頁