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1、2021國家開放大學(xué)離散數(shù)學(xué)(本)形考任務(wù)答案
離散數(shù)學(xué)作業(yè)4 離散數(shù)學(xué)圖論部分形成性考核書面作業(yè) 本課程形成性考核書面作業(yè)共3次,容主要分別是集合論部分、圖論部分、數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí),基本上是按照考試的題型(除單項選擇題外)安排練習(xí)題目,目的是通過綜合性書面作業(yè),使同學(xué)自己檢驗學(xué)習(xí)成果,找出掌握的薄弱知識點,重點復(fù)習(xí),爭取盡快掌握.本次形考書面作業(yè)是第二次作業(yè),大家要認真及時地完成圖論部分的綜合練習(xí)作業(yè).
要求:學(xué)生提交作業(yè)有以下三種方式可供選擇:
1. 可將此次作業(yè)用A4紙打印出來,手工書寫答題,字跡工整,解答題要有解答過程,完成作業(yè)后交給輔導(dǎo)教師批閱.
2. 在線提交word
2、 文檔
3. 自備答題紙,將答題過程手工書寫,并拍照上傳.
一、填空題
1.已知圖G 中有1個1度結(jié)點,2個2度結(jié)點,3個3度結(jié)點,4個4度結(jié)點,則G 的邊數(shù)是 15 .
2.設(shè)給定圖G (如右由圖所示),則圖G 的點割集是
{ f },{ e,c} .
3.設(shè)G 是一個圖,結(jié)點集合為V ,邊集合為E ,則
G 的結(jié)點 度數(shù)之和 等于邊數(shù)的兩倍.
4.無向圖G 存在歐拉回路,當且僅當G 連通且 不含奇數(shù)度結(jié)
點 .
5.設(shè)G=6.若圖G=7.設(shè)完全圖K n 有n 個結(jié)點(n 2),m 條邊,當 n 為奇數(shù)時 時,K n 中存在歐拉回路.
8.結(jié)點數(shù)v 與邊數(shù)e 滿
3、足 e=v - 1 關(guān)系的無向連通圖就姓 名: 學(xué) 號: 得 分: 教師簽名:
是樹.
9.設(shè)圖G是有6個結(jié)點的連通圖,結(jié)點的總度數(shù)為18,則可從G中刪去
條邊后使之變成樹.
10.設(shè)正則5叉樹的樹葉數(shù)為17,則分支數(shù)為i = 4 .
二、判斷說明題(判斷下列各題,并說明理由.)
1.如果圖G是無向圖,且其結(jié)點度數(shù)均為偶數(shù),則圖G存在一條歐拉回路.答:錯誤。應(yīng)敘述為:“如果圖G是無向連通圖,且其結(jié)點度數(shù)均為偶數(shù),則圖G存在一條歐拉回路?!?
2.如下圖所示的圖G存在一條歐拉回路.
答:錯誤。因為圖中存在奇數(shù)度結(jié)點,所以不存在歐拉回路。
3.如下圖所示的圖G不是歐拉圖而是漢密爾頓
4、圖.
G
答:正確。因為有4個結(jié)點的度數(shù)為奇數(shù),所以不是歐拉圖;而對于圖中任意點集V中的非空子集V1,都有P(G-V1)≤V1。其中P(G-V1)是從圖中刪除V1結(jié)點及其關(guān)聯(lián)的邊。
4.設(shè)G是一個有7個結(jié)點16條邊的連通圖,則G為平面圖.
答:錯誤。若G是連通平面圖,那么若V≥3,就有e≤3v-6 而16>37-6,所以不滿足定理條件,敘述錯誤。
5.設(shè)G是一個連通平面圖,且有6個結(jié)點11條邊,則G有7個面.
答:正確。因為連通平面圖滿足歐拉公式。即:v-e+r=2。由此題條件知
6-11+7=2成立
三、計算題
1.設(shè)G=(1) 給出G的圖形表示;(2) 寫出其鄰接矩陣;
5、
(3) 求出每個結(jié)點的度數(shù);(4) 畫出其補圖的圖形.
答:(1)
(2)
(3)
deg(v1)=1, deg(v2)=2 ,deg(v3)=4 ,deg(v4)=3,deg(v5)=2
(4)
2.圖G=(1)畫出G的圖形;(2)寫出G的鄰接矩陣;
(3)求出G權(quán)最小的生成樹及其權(quán)值.
(2)
(3)
其中權(quán)值是:7
3.已知帶權(quán)圖G如右圖所示.
(1) 求圖G的最小生成樹;(2)計算該生成樹的權(quán)值.
答:(1)
(2)
權(quán)值:18
4.設(shè)有一組權(quán)為2, 3, 5, 7, 17, 31,試畫出相應(yīng)的最優(yōu)二叉樹,計算該最優(yōu)二叉樹的權(quán).
權(quán)值:65
四、證
6、明題
1.設(shè)G是一個n階無向簡單圖,n是大于等于3的奇數(shù).證明圖G與它的補圖G中的奇數(shù)度頂點個數(shù)相等.
證明:設(shè)a 為G 中任意一個奇數(shù)度頂點,由定義,a 仍為頂點,為區(qū)分起見,記為a ’, 則deg(a)+deg(a ’)=n-1, 而n 為奇數(shù),則a ’必為奇數(shù)度頂點。由a 的任意性,容易得知結(jié)論成立。
2.設(shè)連通圖G 有k 個奇數(shù)度的結(jié)點,證明在圖G 中至少要添加
2
k 條邊才能使其成為歐拉圖.
證明:由定理推論知:在任何圖中,度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點必是偶數(shù)個,則k 是偶數(shù)。又由歐拉圖的充要條件是圖G 中不含奇數(shù)度結(jié)點。因此,只要在每對奇數(shù)度結(jié)點間各加一條邊,使圖G 的所有結(jié)點的度數(shù)變?yōu)榕紨?shù),成為歐拉圖。故最少要加條邊才能使其成為歐拉圖。