三角、反三角函數(shù)圖像及性質(zhì)與三角公式

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1、 三角、反三角函數(shù)圖像 ( 附：資料全部來自網(wǎng)絡(luò)， 僅對排版做了改動， 以方便打印及翻閱， 其中可能出現(xiàn) 錯誤，閱者請自行注意。 ） 1. 六個三角函數(shù)值在每個象限的符號： sin α csc α cos α sec α tan α cot α 2. 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)： y=sinx y 3 7 -5 - 1 2

2、2 2 2 o -4 -7 -3 -2 -3 - -1 2 5 3 4 2 2 2 2 y=cosx y 3 7 -5 - 2 1 -32 - o 2 3 2 -4 -7 -2 -3 -1 2 5 4 2 2 2 2 y y y=tanx y=c

3、otx  x x 3 - - 2 o 3 - 2 2 2  x - - o 3 2 x 2 2 2 函數(shù) y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx ｛ x ｜ x∈R 且 ｛ x ｜ x∈R 且 R R x≠kπ+ x≠kπ,k ∈Z｝ 定義域 ,k ∈Z

4、2 ｝ ［ -1 ，1］x=2kπ+ ［ -1,1 ］ 時 2 x=2kπ 時 ymax=1 值域 ymax=1 x=2kπ+π時 x=2kπ -時 ymin =-1ymin=-1 2 周期性 周期為 2π 周期為 2π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 在 在 ［ 2kπ - π ， ［2kπ - ,2k π+ ］ 2kπ］上都是增 2 2 函數(shù)

5、；在［ 2kπ， 上 都 是 增 函 數(shù) ； 在 2kπ+π］上都是 單調(diào)性 ,2k π+ 2 ［ 2kπ+ 減函數(shù) (k ∈Z) 2 3 π ］ 上 都 是 減 函 數(shù) (k ∈Z) 3. 反三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)： arcsinx arccosx  R R 無最大值 無最大值 無最小值 無最小值

6、 周期為 π 周期為 π 奇函數(shù) 奇函數(shù) 在 (k π - 在(k π，kπ+π) 2 ， 內(nèi) 都 是 減 函 數(shù) kπ+ ) 內(nèi) 都 是 (k ∈Z) 2 增函數(shù) (k ∈Z) arctanx arccotx 名稱 定義 理解 定義域 值域

7、 性 單調(diào)性 質(zhì) 奇偶性 周期性 恒等式 互余恒等式  反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù) 反正切函數(shù) 反余切函數(shù) y=sinx(x ∈ y=cosx(x ∈ y=tanx(x ∈(- , y=cotx(x ∈(0, 〔 - , 〔0, π〕) 的反函 2 π)) 的反函數(shù)， 〕的反 2

8、 2 數(shù)，叫做反余弦 ) 的反函數(shù)，叫 叫 做 反 余 切 函 函數(shù)，叫做反正弦 函 數(shù) ， 記 作 2 數(shù) ， 記 作 函 數(shù) ， 記 作 x=arccosy 做反正切函數(shù)， 記作 x=arccoty x=arsiny x=arctany

9、 arcsinx 表示屬于 arccosx 表示屬 arctanx 表 示屬 于 arccotx 表示屬 ［ - , ］ 于［ 0，π］，且 (- , ) ，且正切 于 (0 ，π) 且余切 2 2 余弦值等于 x 的 2 2 值等于 x 的角 且正弦值等于 x 的 角 值等于 x 的角 角

10、 ［ -1 ， 1］ ［ -1 ， 1］ (- ∞， +∞) (- ∞， +∞) ［ - ， ］ ［ 0，π］ (- ， ) (0 ，π) 2 2 2 2 在〔 -1 ，1〕上是增 在［ -1 ，1］上是 在 (- ∞，+∞) 上是增 在 (- ∞， +∞) 上 函數(shù) 減函數(shù) 數(shù) 是減函數(shù) arcsin(-x)=-arcs arccos(- x)= π - arctan(-x)=-arcta arccot(- x

11、)= π - inx arccosx nx arccotx 都不是周期函數(shù) sin(arcsinx)=x(x cos(arccosx)=x tan(arctanx)=x(x cot(arccotx)=x ∈ ［ -1 ， (x ∈ ［ -1,1 ］ ) ∈R)arctan(tanx)= (x ∈R) 1 ］ )arcsin(sinx) arccos(cosx)=x x（x∈(- , ) ） arccot(cotx)=x

12、 =x(x ∈［ - , ］) (x ∈［ 0, π］ ) 2 2 (x ∈(0, π)) 2 2 arcsinx+arccosx= (x ∈［ -1,1 ］ ) arctanx+arccotx= (X∈R) 2 2 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)= π-arccosx arctan(-x)=-arctanx

13、arccot(-x)= π-arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx= π/2 sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 當(dāng) x ∈[- π /2, π/2] arcsin(sinx)=x x∈[0, π] arccos(cosx)=x x∈(- π/2, π/2) arctan(tanx)=x x∈(0, π) arccot(cotx)=x

14、 三角公式總表 1. 正弦定理 ： a b c （R 為三角形外接圓半徑） sin A = == 2R sin B sin C 2. 余弦定理： a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosB c 2 =a 2 +b 2 -2ab cosC

15、 cos A  b2 c2 a2 2bc 1 ha = 1 1 1 abc =2R 2 sin A sin B sin C ⊿ = a ab sin C = bc sin A = ac sin B = 2 2 2 2 4R = a2 sin B sin C = b2 sin Asin C = c2 sin Asin B =pr= p( p a)( p b)( p c) 2sin A 2sin B 2sinC

16、 ( 其中 p 1 (a b c) , r 為三角形內(nèi)切圓半徑 ) 2 4. 同角關(guān)系： ⑴商的關(guān)系：① tg = sin = sin sec ② ctg cos cos csc cos sin ③ sin cos tg ④ sec 1 tg csc cos ⑤ cos sin c

17、tg ⑥ csc 1 ctg sec sin ⑵倒數(shù)關(guān)系： sin csc cos sec tg ctg 1 ⑶平方關(guān)系： sin 2 cos2 sec2 tg 2 csc2 ctg 2 1 ⑷ a sin b cos a 2 b2 sin( ) （其中輔助角 與點（ a,b ）在同一象限，且 tg b ） a 5. 和差角公式 ① sin

18、( ) sin cos cos sin ② cos( ) cos cos sin sin ③ tg ( tg tg ④ tg tg tg ( )(1 tg tg ) ) tg tg 1 ⑤ tg ( ) tg tg tg tg tg tg 其中當(dāng) A+B+C=π 時 , 有 : 1 tg tg tg tg tg tg i). tgA tgB tgC tgA

19、 tgB tgC ii). A B A C B C tg tg tg tg tg tg 1 2 2 2 2 2 2 6. 二倍角公式： ( 含萬能公式 ) ① sin 2 2sin cos 2tg 1 tg 2 ② cos2 cos2 sin 2 2 cos2 1 1 2 sin2 1 tg 2 1 tg 2 ③ tg 2 2tg t

20、g 2 1 ④ sin 2 tg 2 1 cos 2 ⑤ cos2 1 cos2 1 tg 2 2 2 7. 半角公式：（符號的選擇由 所在的象限確定） 2 ① sin 1 cos ② sin 2 1 cos 2 2 2 2 ③ cos 1 cos ④ cos2 1 cos 2 2 2 2 ⑤ 1 cos 2 sin 2 ⑥ 1

21、cos 2 cos2 2 2 ⑦ 1 sin (cos sin ) 2 cos sin 2 2 2 2 ⑧ tg 1 cos sin 1 cos 2 1 cos 1 cos sin 8. 積化和差公式： ① sin cos 1 sin( ) sin( ) 2 ② cos sin 1 sin( ) sin( ) 2 ③ cos cos 1 cos( ) cos( ) 2 ④ sin sin 1 cos( ) cos 2 9. 和差化積公式： ① sin sin 2 sin cos 2 2 ② sin sin 2 cos sin 2 2 ③ cos cos 2 cos cos 2 2 ④ cos cos 2sin sin 2 2