專升本高等數(shù)學課件《內(nèi)部資料》

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1、高 校 專 升 本 高 等 數(shù) 學 輔 導 主 講 :教 授 高 等 數(shù) 學 主 要 內(nèi) 容 A 三 大 概 念 一 .函 數(shù) ,極 限 ,連 續(xù) ; 二 .導 數(shù) ,微 分 ,偏 導 數(shù) ,全 微 分 三 .積 分專 升 本 B 四 大 運 算一 .求 Lim 1. 2. 洛 必 達 法 則二 .求三 .求 exxx xxx )11(,1sin limlim0, , , , x yy dy Z Z dZ 21, , , , ( , )1ba a Dx dx f x y dx 四 .解 微 分 方 程 C.三 大 應 用一 .導 數(shù) 的 應 用1.函 數(shù) 單 調(diào) 性 、 極 值 ， 曲 線 凹

2、 凸 性 、 拐 點 ， 作 圖 .2.應 用 題 .求 Max,Min.3.利 用 中 值 定 理 證 明 等 式 或 不 等 式 .二 .定 積 分 的 應 用 .1.幾 何 應 用2.物 理 應 用三 .微 分 方 程 的 簡 單 應 用LVS , FW, D.向 量 代 數(shù) 與 空 間 解 幾 簡 介1.空 間 直 角 坐 標 系2.向 量 代 數(shù) 初 步3.平 面4.空 間 直 線5.曲 面 與 空 間 曲 線6.二 次 曲 面 多 做 練 習方 可 熟 能 生 巧 善 于 歸 納才 能 靈 活 應 變 第 一 章 函 數(shù) ,極 限 ,連 續(xù)一 .函 數(shù)(一 )函 數(shù) 概 念 1.函

3、 數(shù) 定 義 2.函 數(shù) 關(guān) 系 兩 要 素 : (1)對 應 關(guān) 系 f; (2)定 義 域 D(f)例 225( ) ln( 41xf x xx ） 求 )( fD )()()(.)()()(. )()()(.)()()(. (),ln)( yfxfyxfDyfxfyxfC yfxfxyfByfxfxyfA xxf 則 Dxxfy ),( 1,1)21 1y xx 21y x 1 1lg2 1 xy x 11 xy x （ 08） 下 列 函 數(shù) 中 ， 定 義 域 為的 函 數(shù) 是 （ ） （ B） （ C） （ D）（ A）（ 模 C） ( ) 1 cos , ( ) sin 2( )

4、 (.) xf x x xf x 則 (二 )函 數(shù) 特 性1.單 調(diào) 性2.奇 偶 性3.周 期 性 4.有 界 性 關(guān) 于 原 點 對 稱定 義 域 為 奇 函 數(shù)為 偶 函 數(shù)D xfxfxf xfxfxf )()()( )()()( )()( xfTxf BxfA Mxf )()( 或 例 偶 函 數(shù) 2)( xx eexf 奇 函 數(shù) xxeexf xxxf 11)( )1ln()( 2周 期 函 數(shù) Txxy 求 周 期, 2cos3sin BxAy )sin( 2( ) ( 1)cosf x x x （ 10） （ 08） 是 （ D ）（ A） （ B） （ C） 單 調(diào) 增

5、函 數(shù) （ D） 奇 函 數(shù)偶 函 數(shù) 非 單 調(diào) 函 數(shù)( ), ( ), ( )f x g x x（ 07） 均 為 奇 函 數(shù) ， 則 下 列 為 偶 函 數(shù) 的 是 （ ）22( ) 2 , 1 2xf x x e x ( ) ( ) ( )f x g x x( ) ( ) ( )f x g x x ( ) ( ) ( )f x g x x ( ) ( ) ( )f x g x x（ A） （ B）（ C） （ D） 11 ( ) ( )f x f x dx 則 （ .)( ) 1,1f x 在 連 續(xù) ，（ 07） 1( ) .(.(.(f x 在 (0,+ ) 有 界 ， 無 界

6、）x在 (0,1 有 界 ， 無 界 ）在 1,+ ) 有 界 ， 無 界 ）eg (三 )反 函 數(shù)1.反 函 數(shù) 定 義 . 特 點 2.舉 例 )11()(,11)1( 1 xxxfxxxf 則 2,0,3,3,3arccos21 ,2cos3 yxxy xy 其 反 函 數(shù) 為 的 反 函 數(shù)求 )(21 xx aay （ 05） (四 ） 復 合 函 數(shù)1.定 義2.分 解 標 準 -分 解 到 每 一 步 都 是 基 本 初 等 函 數(shù) 的 和 ,差 ,積 ,商 為 止 .3.復 合 函 數(shù) 定 義 域 求 法 的 定 義 域求的 定 義 域 為 )ln11(),1,0)( xfx

7、f 的 定 義 域求的 定 義 域 為 )1 1(,2,0)( 2xfxf 注 意 ： 并 非 任 何 兩 個 函 數(shù) 都 可 以 復 合無 意 義)4ln(4ln 22 xyxu uy （ 03）（ 07）（ 08） 24 21 1( ) , ( ) 1 2xf x f xx x x 則11 1( ) , ( ) 1 1 2x xf x fx x x 則 11 1( ) , ( ) 1 x xf f xx x x 則 (五 )基 本 初 等 函 數(shù) 常 用 的 有 六 類 14個;Cy );( 為 常 數(shù)xy )1,0(log);1,0( aaxyaaay ax ,cot,tan,cos,s

8、in xyxyxyxy xy sec xy cscxy arcsin xy arccos xy arctan xarcy cot (六 ） 初 等 函 數(shù) 由 基 本 初 等 函 數(shù) （ ） 經(jīng)過 有 限 次 的 和 ,差 ,積 ,商 運 算 ， （ ） 有 限 次的 復 合 運 算 ， （ ） 且 可 用 一 個 公 式 表 示 的函 數(shù) .非 初 等 函 數(shù) 舉 例 :2 31 .(2) sin( 1) , 1(3) 11, 1 nxy x x x xy x x xa x xy xe x （ ） 二 .極 限(一 )極 限 定 義Ayxxxn lim 0 XN(二 )性 質(zhì)單 調(diào) 有 界

9、數(shù) 列 必 有 極 限 .夾 逼 定 理3. AxfxfAxf xx )0()0()(lim04.四 則 運 算 ( 有 極 限 ; 有 限 個 ) (三 )求 極 限1.兩 個 重 要 極 限 )41(4 )2sin(22lim x xx )()411( 414lim ex xx )21(.)(lim bebt bt tt 則(06) (03) (09) 100 (1 5 ) . (2)lim kxx x e 則 k 0 1 1sin ( )2 2limx xx (10) 2.其 他舉 例 mnba mn mnbxbxbxb axaxaxa mnmmmm nnnnx ,0 ,0111 011

10、1lim xx ex x10 sinlim 12 12lim xxx )11()311)(211( 222lim nn 3.羅 必 塔 法 則 0,1 ,0 ,00 00 三 .無 窮 小 .無 窮 大1.定 義 2.性 質(zhì) )0,( )()( 0)()( 0)(),(,)( 0)()( ,0)(,0)(),( 0)()( ,0)(,0)(),( 0 0 00lim 0 xx AxfAxf xfx xxxxMxf xx xxxxx xx xxxxxxx當則 當則當則當 例 題 (性 質(zhì) ) 0221sin ,01sinlimlim0 20 x xx xxxx 2 tan 01sin 122 2

11、limlimxx are xxx xx 3.無 窮 小 階 的 比 較 (教 材 P27)設(shè) （ 等 價 ）稱 當特 別 ， 是 同 階 無 窮 小與，稱 當 低 階 的 無 窮 小是 較，稱 當 高 階 的 無 窮 小是 較，稱 當 ,1,0,0 0000lim0 xxc xxc xx xxxx 0, ,x x 當 都 是 無 窮 ?。?或 x ) 例 題 (階 比 較 ) (05) 不 是 無 窮 ?。ǖ?等 價 無 窮 小）（ 的 同 階 無 窮 ?。ǖ?高 階 無 窮 小）（ ）是 （則 當都 是 無 窮 小當 DC BA Axxxx ; , 00 2 20, 1 1 sin ,x

12、 ax x a 當 求 無 窮 大高 階 的 無 窮 小比 同 階 但 非 等 價 的 無 窮 小與等 價 的 無 窮 小 ；與 是當 )(;52 3)( ;52 3)(52 3)( )(21sin,)03( DnC nBnA Bnn 0 x2x cos 1x 1 cos2 x21 1x ( 1)sinxe x（ 07） 當 時 ， 下 列 函 數(shù) 中 能 成 為的 等 價 無 窮 小 的 是 （ D ） （ B） （ C） （ D）（ A） 0 x2 2x x與 sin x x與 21 cosx x 與 tan 2x x與（ 09） 當 時 ， 下 列 四 組 函 數(shù) 中 為 等 價無 窮

13、小 的 是 （ B ） （ A） （ B）（ C） （ D） 4.等 價 無 窮 小 代 換 定 理 (教 材 P27）定 理 limlimlimlim lim 0000 0 ,0 xxxxxxxx xxxx則 存 在當 xnxxx xxxe xxxx xxxxx nx 111,21cos1 ,)1ln(,1 ,arctan,arcsin ,tan,sin,0 2 有當結(jié) 論 例 題 (等 價 無 窮 小 代 換 ) 21sin sintansin )41ln( sin 23 2 20 30limlimlim x xx xxx xeexx xxx 四 .連 續(xù) 與 間 斷(一 )連 續(xù)1.2.

14、連 續(xù) 三 要 素 )()()3( )()2( )()1( 000limlim00 xfxf xfxf xx xx 存 在存 在 3.左 右 連 續(xù) 0 0 01. 02. ( ) ( )limlimxx xDefDef f x f xy 00 00( ) ( )( ) ( )limlimx xx x f x f xf x f x 左 連 續(xù)右 連 續(xù) (二 )間 斷 點 分 類第 一 類 （ 都 存 在 的 間 斷 點 ）(1)可 去 間 斷 點(2)可 去 間 斷 點(3)跳 躍 間 斷 點 第 二 類 （ 至 少 一 個 不 存 在 的 間 斷 點 ） (4)無 窮 間 斷 點(5)振

15、蕩 間 斷 點 0 0( 0) ( 0)f x f x ， )0()0( )()0()0( )()0()0( 00 000 000 xfxf xfxfxf xfxfxf 不 存 在；不 定)( )(limlim 00 xf xfxx xx 0 0( 0) ( 0)f x f x ， （ 07） 211( ) , ( )1 xxf x f xe 求 的 間 斷 點 并 判 別 其 類 型 。2 2( ) , ( )( 1)x xf x f xx x 求 的 間 斷 點 并 判 別 其 類 型 。( ) , tan 4 ( ) xf x xxf x 5, ,4求 的 間 斷 點 并 判 別 其 類

16、 型 。（ 模 A） eg (三 )閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì)定 理 1定 理 2定 理 3(介 值 定 理 ） （ 教 材 P3132)定 理 4（ 根 值 定 理 ） , max min( ) ( ) , ( )a bf x C f x f x 存 在 , ( ) ( )a bf x C f x 在 a,b有 界 , 0 0( ) , ( ) ( ) ,( , ), ( ) 0a bf x C f a f bx a b f x 與 異 號則 必 使 （ 模 B） 2 1xx 求 證 方 程至 少 有 一 個 小 于 1的 正 根sin ( 0, 0)x a x b a ba

17、 b 求 證 方 程至 少 有 一 個 不 超 過 的 正 根eg ( ) 0, , , 1) ( ) ( )1. ( ) 22. ( ) 0 ( , )x xa bf x a bx f t dt dtf tF xF x a b 設(shè) 在 連 續(xù)令 F(求 證 ：方 程 在 內(nèi)有 且 僅 有 一 個 實 根 。（ 模 C） 第 二 章 導 數(shù) 與 微 分一 .導 數(shù) 的 概 念1.定 義2.幾 何 意 義3.左 右 導 數(shù)4.可 導 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系 0 0 0. ( ) ( ) ( )Th f x x f x f x 在 可 導 存 在連 續(xù)在可 導在 00 )()(. xxfxxfTh

18、 x xfxxfxf x )()()( 0000 lim 0 00 )()()( lim0 xx xfxfxf xx ( ) 0 ( ). . .f x x xA BC D 在 處 是 ,可 導 但 不 連 續(xù) ; 不 連 續(xù) 且 不 可 導 ;連 續(xù) 且 可 導 ; 連 續(xù) 但 不 可 導（ 10） 函 數(shù) 定 義 ， 極 限 ， 連 續(xù) ，可 導 ， 可 微 的 關(guān) 系 二 .求 導 數(shù) 歸 納2.四 則 運 算3.反 函 數(shù) 求 導例 x xfxxfxf x )()()( 0000 lim .)(.)7(.12)2( ,1)()( 3 f yyxxfy 則知 互 為 反 函 數(shù)與 0 0

19、0 )()()( lim0 xx xfxfxf xx 1.基 本 導 數(shù) 公 式 .,)(. )( ye efyf xf x 求可 微 ， （ 04） (06)4.復 合 函 數(shù) 求 導 )ln(sin2 xy )(arctancos 4xy 2 2 arccos ,( 0).ay x a a x ax 求 dy .)(,.)( xxnn zybaxfzbaxfy 求(10) ( )(2 ) ln df xf x x dx ， 求 (10)計 算 題 ( ) xf x e x xd dyy f dx dx ， g( )=cos ,g= ( ),求 5.隱 函 數(shù) 求 導 顯 函 數(shù) - 隱 函

20、 數(shù) - )(xfy 0),( yxF yyyexe xy 求,4 yyyxy .).tan( 求 dxdyyxxy 求.1lnln).06( 02 .sin)ln().07( xdxdyxxyyx 求 yy xe 2 2,dy d ydx dx求 （ 09） 對 數(shù) 求 導 法(1) )()( xvxuy 例 xxy xxy sin3cos)2(tan xxy xy yx 5 2 32 ).)(ln(cos )43()12().2( xx xxy 6.參 數(shù) 方 程 求 導(1)(2)(3)(4) 222 .arctan)1ln()03( dxyddxdytty tx 求 .sin2 sin

21、2)04( dxdyty tx 求 .)sin1(2 )cos(2)05( dxdyty ttx 求 .01 0)1( dxdyete ttx yy 求 2 1(ln ) .ln tx ty t t t dy求 dx(6)（ 09） 0 (1 sin ) .cosxy dy求 dx(5)（ 08） 7.高 階 導 數(shù)例 )(.,11 nyxy 求 )(.),1ln( nyxy 求 (10)(05) (0).(07). .(09) ( )f y f x 求 求 求 )(2 .1071 nyxxy 求 )(., nx yxey 求 ).1()07( f求 例 (高 階 導 數(shù) ) )(.,sin

22、nyxy 求 )(.,cos nyxy 求 )2sin()(sin )( nxx n )2cos()(cos )( nxx n 8.分 斷 函 數(shù) 求 導 0 0000 0 000 0 ),( ,),()(),(, ),()( ,),()(, ),()( xxxg xxxxxxfxxxg xxA xxxxf xxxxxxfxxA xxxxf 從 定 義 求 之從 定 義 求 之 例 題 (分 斷 函 數(shù) 求 導 ) 0),21ln(31 0,32sin)( /1 xxxxxf x 討 論 在 的 連 續(xù) 性 ； 討 論 在 的 可 導 性 ； 求 )(xf )(xf 0 x 0 x)(xf 9

23、.從 定 義 求 導定 義 x xfxxfxf x )()()( 0000 lim 0 00 )()()( lim 0 xx xfxfxf xx 例 題 (從 定 義 求 導 ) (05) )12.()32()2(3)2(lim0 x xfxffx (.)sinh )1()31( (.)1()21()1(limlim00 fhf h fhf afhh (10) 10 ( )( ) 1 , 1(1 2 ) (1) .2lim xx df xf x x dxf x fx 在 處 可 導則( ) tanf x x 4 ( ) 1lim 4x f xx （ .)A 12 B 22 C 2 D 則 2（

24、 模 B） 三 .微 分(一 )概 念1.定 義2.幾 何 意 義3.微 分 兩 個 特 性4.微 分 形 式 的 不 變 性(二 )計 算1.公 式2.四 則 運 算 第 三 章 中 值 定 理 .導 數(shù) 應 用一 .中 值 定 理(一 ) Rolle Th 若 )()()3( ),()()2( )()1( , bfaf baxf Cxf ba 可 導在 0)( ),( f ba則 至 少使 作 為 安 全 防 范 技 術(shù) 專 業(yè) 的 大 學 生 ， 進 行 安 全 防 范 技 術(shù) 專 業(yè) 相 關(guān) 的 崗 位 實 習 是很 重 要 的 ， 以 下 是 安 防 ， 歡 迎 閱 讀 ！ 安 防

25、實 習 周 記 一 第 1周 作 為 安 全 防 范技 術(shù) 專 業(yè) 的 大 學 生 ， 我 很 榮 幸 能 夠 進 入 安 全 防 范 技 術(shù) 專 業(yè) 相 關(guān) 的 崗 位 實 習 。 相 信每 個 人 都 有 第 一 天 上 班 的 經(jīng) 歷 ， 也 會 對 第 一 天 上 班 有 著 深 刻 的 感 受 及 。 尤 其 是 從未 有 過 工 作 經(jīng) 歷 的 職 場 大 學 們 。 頭 幾 天 實 習 ， 心 情 自 然 是 激 動 而 又 緊 張 的 ，激 動 是 覺 得 自 己 終 于 有 機 會 進 入 職 場 工 作 ， 緊 張 是 因 為 要 面 對 一 個 完 全 陌 生 的 職場

26、環(huán) 境 。 剛 開 始 ， 崗 位 實 習 不 用 做 太 多 的 工 作 ， 基 本 都 是 在 熟 悉 新 工 作 的 環(huán) 境 ，單 位 內(nèi) 部 文 化 ， 以 及 工 作 中 日 常 所 需 要 知 道 的 一 些 事 物 等 。 對 于 這 個 職 位 的 一 切還 很 陌 生 ， 但 是 學 會 快 速 適 應 陌 生 的 環(huán) 境 ， 是 一 種 鍛 煉 自 我 的 過 程 ， 是 我 第 一 件要 學 的 技 能 。 這 次 實 習 為 以 后 步 入 職 場 打 下 基 礎(chǔ) 。 第 一 周 領(lǐng) 導 讓 我 和 辦 公 室 的 其他 職 員 相 互 認 識 了 一 下 ， 并 給

27、我 分 配 了 一 個 師 父 ， 我 以 后 在 這 里 的 實 習 遇 到 的 問題 和 困 難 都 可 以 找 他 幫 忙 。 一 周 的 時 間 很 快 就 過 去 了 ， 原 以 為 實 習 的 日 子 會比 較 枯 燥 的 ， 不 過 老 實 說 第 一 周 的 實 習 還 是 比 較 輕 松 愉 快 的 ， 嘿 嘿 ， 俗 話 說 萬 事開 頭 難 ， 我 已 經(jīng) 邁 出 了 第 一 步 了 ， 在 接 下 去 的 日 子 里 我 會 繼 續(xù) 努 力 的 。 生 活 并 不簡 單 ， 我 們 要 勇 往 注 意 :(1)條 件 是 充 分 條 件 ; (2)條 件 不 成 立 ,

28、結(jié) 論 未 必 成 立 .例 不 求 的 導 數(shù) , 驗 證 必 有 根 )23()( 2 xxxxf 0)( xf 4,0 x 3 2)2()( xxf驗 證對 的 正 確 性Rolle Th 不 求 的 導 數(shù) , 說 明 有 幾 個 實 根 ,并 指 出 根 所 在 區(qū) 間 . )3)(2)(1()( xxxxxf 0)( xf , ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ),( , ) ( )a bf x C f x a b f a f ba b y f x x 設(shè) 在 可 導 ,則 在 內(nèi) ， 曲 線 上 平 行 軸 的 切 線 （ .）A.至 少 有 一 條 ； B.僅 有 一

29、 條 ；C.不 一 定 存 在 ； D.不 存 在 (10) (二 )Lagrange Th若 可 導在 ),()()2( )()1( , baxf Cxf ba則 至 少 )()()( ),( f ab afbf ba 使 推 論 :若 在 則 在 Cxfba xfba )().,( 0)().,(例 題 (Lagrange Th) 證 明 : ln(1 ) ,( 0) 1 x x x xx 例 題 (Lagrange Th) 驗 證 在 對 Lagrange Th 的 正 確 性 ; 驗 證 在 對Lagrange Th 的 正 確 性 ; 證 明 :對 ,恒 有 xxf arctan)(

30、 1,0 xxf ln)( ,1 eyx yxyx sinsin 證 明 :當 恒 有 ,1x 2arccosarcsin xx (三 )Cauchy Th若 0)(,)(),()2( )(),()1( , xgxgxf Cxgxf ba )( )()()( )()( ),( gfagbg afbf ba 則 至 少使 二 .洛 必 達 法 則定 理 :若 則 )()( )()3( 0)(.).().()2( ).( .00)( )(,)1( lim 0 0 Axg xf xgxgxfx xg xfxx xx 有當 )()( )()( )( limlim 00 Axg xfxg xf xxxx

31、 洛 必 達 法 則 幾 種 形 式 0 0 0 , ,00 , , , ,1 0 例 題 (洛 必 達 法 則 ) x xxx x xee xx xxx lncotln )2( )ln(sincos1 2limlimlim 0 22/0 )111(lim 0 xx ex )ln11( )1( )sin(limlimlimlim 1 )1ln( 10 tan0 cos1 10 xxxxx x x x ex xx xx x 注 意(1)只 有 ,才 可 考 慮 用 Th(2)每 次 用 Th后 ,必 須 化 簡 不 能 斷 定 不 存 在 , . 只 能 說 明 Th失 效 .00 )()( )

32、(lim 0 Axg xfxx )( )(lim0 xg xfxx x xee ee xx xxxxx xxx xxx xx 220 1. sinsin,.sin 1sin limlim limlim （ 4） 還 原 例 子 例 題 (洛 必 達 法 則 ) 7 51 66.4 1 521 21limlim a xaxx ba bxaxxxx則則 （ 03） 三 .單 調(diào) 性 .極 值 .凹 凸 .拐 點 .作 圖(一 )單 調(diào) 性Def1Th1 ).().,(0)().,( ).().,(0)().,( ),()(.)( , xfbaxfba xfbaxfba baxfCxf ba 在在

33、在在 可 導在 例 題 (單 調(diào) 性 ) 0.1. 23)( 1)2(.2)1( 31292)( 32 23 xx xxxf ff xxxxf 不 可 導 點駐 點 2 2(04) 2. 01 12 . (1) 2(06) ln( 1( , )y x x fy x x 的 單 調(diào) 區(qū) 間 和 極 值 。（ ， ） （ ， ） 大 )的 單 調(diào)增 區(qū) 間 為 2. (1) (0) (1) (0);. (1) (0) (1) (0);. (1) (1) (0) (0);(1) (0) (0) (1);d fdxA f f f fB f f f fC f f f fDf f f f 2設(shè) f(x)在

34、 0,1有 0，則 成 立 （ .） (10) 討 論 單 調(diào) 性 ,極 值 步 驟1.求2.求 駐 點 與 不 可 導 點3.由 兩 種 點 分 D(f)為 若 干 區(qū) 間 , 由 Th判 別 單 調(diào) 性 ,極 值 .)(xf 例 題 (單 調(diào) 性 證 明 不 等 式 ) )0.(2)1ln()06( )0.(1)1ln(1 )0.(1 )0.(132 2 22 xxxx xxxxx xxe xxxx求 證 ：求 證 ：求 證 ：求 證 ： (二 )極 值Def2. 定 義 在 極 小極 大則有 則有 yxfxfxf yxfxfxf )(.).()( )(.).()( 00 00)(xf )

35、,().,( 00 xNxxN 極 小 點極 大 點極 值 點極 小 值極 大 值極 值 00 .)( xxf 在 例 題 (極 值 ) 0.1. 23)( 1)2(.2)1( 31292)( 32 23 xx xxxf ff xxxxf 不 可 導 點駐 點 求 極 值求 極 值 求 極 值 3.1 593)( 23 xx xxxxf駐 點 極 值 判 別 法 ),( 0 xN 在 可 導)(xf 在 連 續(xù) .0 x 極 小極 大則則 yxfxf yxfxf xxxxx )(.).( )(.).( . 00000 Th2 極 值 判 別 法 Th3 1. ,0)()3( )(0)()2(

36、)(0)()1( 0)(.0)( ).().(.).,().( 0 00 00 00 0改 用 判 別 法 不 能 判 別 ， 極 大極 小 xf yxfxf yxfxf xfxf xfxfxNxf 極 值 存 在 的 必 要 條 件 （ 費 馬 定 理 ）Th4 0)( ).(.)( 0 00 xf xfxf 為 極 值 極 值 點 可 從 駐 點 與 不 可 導 點 找1.可 導 函 數(shù) 的 極 值 點 駐 點2.不 可 導 點 （ 臨 界 點 ） 也 可 能 取 得 極 值 舉 例 3/23 3 2)()4( )()3( )()2( )().1( xxf xxf xxf xxf 駐 點

37、取 得 極 值駐 點 不 取 得 極 值不 可 導 點 不 取 得 極 值不 可 導 點 取 得 極 值 (三 )最 大 值 .最 小 值1.一 般 情 況 只 有 一 個 極 大 (小 )值 而 無 極 小 (大 )值 則 (min)maxyy （ 極 小 ）極 大)(xfy )(),(),(),(min )(),(),(),(max bfafxfxfm bfafxfxfM 不駐 不駐 例 題 (最 大 值 .最 小 值 ) 52)2(.52)2(.21)1(.21)1( ,.2,2.1)().07( minmax2 ffff yyxxxf 3.0. 2.1 .)()06( 23 bax b

38、xaxxxf求 取 極 值在 例 題 (最 大 值 .最 小 值 ) 無 蓋 圓 柱 形 水 池 ,體 積 定 值 V,底 造 價 是 側(cè) 面 造 價 的 2倍 . 問 :半 徑 r=? 高 度 h=? 用 費 最 省 ? (四 )凹 凸 .拐 點1.凹 凸 定 義2.凹 凸 判 別3.拐 點 判 別4.兩 種 特 殊 情 況 討 論 曲 線 凹 凸 與 拐 點 步 驟1.求2.求 使 與 不 存 在的 點3.由 兩 種 點 分 D(f)為 若 干 區(qū) 間 , 由 Th判 別 曲 線 凹 凸 與 拐 點 .( ) 0f x ( )f x ( )f x( )f x 3 23(1 3)y x x

39、曲 線 -x的 拐 點 坐 標 為，（ 10） 3 2, , (1,3):3 9( , )2 2a b Pl y ax bxa b 為 何 值 為曲 線 的 拐 點 。egeg 3 2(0,1)Py ax bx 為 曲 線 +c 的 拐 點 。 則 （ B ）(A)a=1,b=-3,c=1 (B)a任 意 ,b=0,c=1(C)a=1,b=0,c任 意 (D)a,b任 意 ,c=1 (五 )漸 近 線 .作 圖1.水 平 漸 近 線2.垂 直 漸 近 線3.作 圖 步 驟 (1)求 D(f),Z(f)(2)奇 偶 性 、 周 期 性(3)單 調(diào) 性 、 極 值(4)凹 凸 性 、 拐 點 2)

40、1( 12 xxy例 3.作 圖 步 驟 (5)漸 近 線(6)特 殊 點(7)描 圖 第 四 章 不 定 積 分 4.1概 念 .性 質(zhì) 4.2換 元 積 分 法 4.3分 部 積 分 法 4.4幾 種 特 殊 類 型 函 數(shù) 的 積 分 4.1概 念 .性 質(zhì)一 .原 函 數(shù) Def1 若 .)()( .)()( 的 全 體 原 函 數(shù)表 示則 上 的 一 個 原 函 數(shù)在是 xfCxF IxfxF 說 明 :1.2. .)()( ).()( 上 的 一 個 原 函 數(shù)在是 IxfxF IxxfxF CxFxG IxfxGxF )()( .)()()(則 上 的 原 函 數(shù)在都 是與則 稱

41、 二 .不 定 積 分 .)()( ,.)( )( CxFdxxf cxF xf 記 為稱 為 不 定 積 分的 原 函 數(shù) 全 體不 定 積 分 的 幾 何 意 義 表 示 積 分 曲 線 族表 示 一 條 積 分 曲 線 CxFy xFy )( )(Def2 1ln 1 lnx xdx x cx 注 意 ：03 ln(4 ) (.)1 1 1 1. . . . . . .4 4y xA B C Dx x x x（ ） 是 的 原 函 數(shù) 。三 .基 本 積 分 公 式 P88 2 2 2 209 arctan (.)1 2 2.arctan . . . . . .1 1 (1 )y x x

42、 xA x B C Dx x x （ ） 是 f(x)的 一 個 原 函 數(shù) ,則 f(x)的 導 函 數(shù) 為 .arctan(.)y x（ 10） 是 f(x)的一 個 原 函 數(shù) ,則 f(x)= . 2 22 222 207 ). . .2 .2(1 2 ) . .2(1 )x xx xCAxe B x eC x e D x e 2x（ ） f(x)的 一 個 原 函 數(shù) 是 e ,則 f(x)=( . 四 .不 定 積 分 的 性 質(zhì)1.2.3.4. dxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf CxFxdFCxFdxxF dxxfdxxfdxfdxxf )()( )()()()

43、( )()(.)()( )()().()( 例 題 dxxx xdxxx dxe dxx xxx xxx )1( 311 )3(52 22 224 433 dxxx dxxx xdxxdxx 22 2222 sincos 1 sincos 2cos2costan 4.2換 元 積 分 法換 元 積 分 法 CxFxdxf CxFdxxxf xu CuFduuf )()()( )()()( )( )()( 即則 具 有 連 續(xù) 導 數(shù)設(shè)特 點 ux ux 新舊令 )(Th (一 )湊 微 分 舉 例1.形 如 Cx xdxdxxx 1)( )()()()( 1 dx xconxdxxx dxba

44、xdxxx 56 1002 sin).4.(cossin)3( )().2.(8)1( 湊 微 分 舉 例2. Cxxxddxxx )(ln)( )()( )( dxxx xxxxdxxdx dxxxxdxdxxx dx dxxxxdxdxx x cotcsc )cot(csccsccsc).6.(tan).3( .2cos2sin2 1csc).5.()1(ln)2( sinsincsc).4.(3)1( 25 4 湊 微 分 舉 例3. Caaxdadxxa xxx ln)()( )()()( dxxdxxe xdexdxe xxx xx )52(3)3.()2( tansec)1( 5t

45、an2tan 2 湊 微 分 舉 例4. )()(cos)()(cos )()(sin)()(sin xdxdxxx xdxdxxx dxxxx dxxdxx x 2323 4)(sec)sintan()3( )2(sin)2.()cos(ln)1( 湊 微 分 舉 例5. )()(csc)()(csc )()(sec)()(sec 22 22 xdxdxxx xdxdxxx dxxx dxx x 3/232 22 )(sec)2( .1 )(arctancsc)1( 湊 微 分 舉 例6. )(1 )()(1 )( )(1 )()(1 )( 22 22 xxddxxx xxdxdxx 222

46、 22 2 2 1(1) .(2) 94 1 1 .( 0)ln.ln5 4 ( 1)( 4)1(3) ( 2) .( 0) ( 2)1 1 .( 0)arctan2 5 4 ( 1)dx dxxx dx dxx x x xdx x dxx dx dxx x x 冪 函 數(shù) (二 )特 殊 三 角 函 數(shù) 積 分 舉 例2 2 2 22 1.2. sin cos . , 3. sin cos4. tan sec . cot sc 5. sec . csc . 6. tan . m nm nm n m nm nmx xdx m nx xdxx xdx x c xdxm nxdx xdxxdx 積

47、 化 和 差 之 一 為 正 奇 數(shù)為 正 奇 數(shù) 或 為 正 偶 數(shù) 可 積 遞 推 換 元 積 分 法 Th CxFdxxf txxt ttx CtFdtttf )()( .)(.)( .0)(.)()2( )()()()1( 11 則 的 反 函 數(shù)是 具 有 連 續(xù) 導 數(shù)設(shè)特 點 ux ux 新舊令 )(tx tx 新舊令 )( 類 型1.三 角 置 換 22 22 22 ax xa xa tax tax tax sectansin令令令 .41)4.(41)3( .94 1)2).(0.()1( 222 222 dxxdxxx dxxadxxa 類 型2.含 cbxax 2 2 ,

48、.ax bx c 先 對 配 方再 三 角 置 換 dxxdxxx dxxdxxx dxx xdxxx x 22 22 22 )1(4 123 1)3( 3)3( 1661)2( 4)1( )1(352 )1(3)1( 類 型3. nn nn tdcx baxtbax dcx baxbax . .則 令被 積 函 數(shù) 含 ).()1(6)1()2( )2,2.(1321)1( 6623 53 3323 txtxdttt txx dx txtxdxttxdx 則令 則令 類 型 3(續(xù) ) )1ln(,1 )1(21)6( .)5( ).(121)4( )3( 22 22 324 txte tt

49、 tdtedx dtxa xadxxa xa txtdttxxdxx xxdx x x 則令 令 4.3分 部 積 分 法 重 點 每 年 必 考 ！設(shè) vduuvudv dxuvuvdxvu xvvxuu 有 連 續(xù) 導 數(shù)).().( 類 型一 . xdx dxx dxxbxdxe bxdxe bxdxxbxdxx dxexbxdxx xx bx3sec .)sin(ln .)cos(ln.sin .cos .arctan.ln .cos 二 .三 . (分 部 2次 ,要 移 項 ) 例 題 (分 部 積 分 法 )2 3(1) cos2 .(2) .(3) .(4) arctan3 .

50、(5) ln .(6) cos2 .xx xx xdx xe dxx e dx xdxx xdx e xdx 例 題 (分 部 積 分 法 ) .).(arctanarctan)10.( ).()9( )tan.(.)1(arctan)8( .1arcsin2)(arcsin)(arcsin)7( 322 2223 xxx xx ededxe e txdxe txdxxx x dxx xxxxdxx 2 22 22 22 2)( ). (2 1) .( ).(2 1)( ).(2 1) .( ). (2 1)x xx xA x e C B x e CC x e C D x e C 2-x(11

51、) f(x)的 一 個 原 函 數(shù) 是 e ,則 xf(x)dx=(A .( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )A xf x C B f x f x CC xf x f x C D xf x f x C (12) xf (x)dx=(C) 4.4幾 種 特 殊 類 型 函 數(shù) 的 積 分一 .有 理 函 數(shù) 積 分 （ 了 解 ）1.有 理 真 分 式 的 分 解 1312)1)(1( 12)2( 362565 3)1( 2222 xx xxxxx xx xxxx x2.待 定 系 數(shù) (1)比 較 法 ； （ 2） 代 入 法 例 3,有

52、 理 真 分 式 的 積 分 .)arctan.).(ln0.()3( .1.(1)()()2( .)ln.(.ln)1( 2 1 dxqpxx BAx nCnaxAdxax A CaxAdxax A nn 冪 函 數(shù) ）例 dx xx x 52 532 二 .三 角 函 數(shù) 有 理 式 的 積 分1.萬 能 置 換 .2tan tx 令 則 dttdx ttx ttx ttx 2 22221 211cos 1 2sin 1 2tan 例 題 (萬 能 置 換 ) xba dxxba dx tdtxdx tt dtxx dx sin.cos)3( 2cos31)2( 244 23cossin2

53、)1( 2 2 2.湊 微 分 2 2 2 2 2 22 2 22 (1) . 4sin 9cos sin cos(2) 2 3cos. . cos sin(3) (sin cos )dx dxx x a x b xdx xdx dxa b x a b xdxx x 三 .簡 單 無 理 函 數(shù) 的 積 分 ).(6)2( )1,1.(11 11)1( 6623 53 2 txtxdttt txxdx txtxdxxx 則令 則令 第 五 章 定 積 分 5.1定 積 分 的 概 念 5.2定 積 分 的 性 質(zhì) 5.3微 積 分 的 基 本 公 式 5.4定 積 分 的 換 元 積 分 法

54、5.5定 積 分 的 分 部 積 分 法 5.6廣 義 積 分 5.1定 積 分 的 概 念一 .引 例 1.曲 邊 梯 形 面 積2.變 速 直 線 運 動 的 路 程二 .定 積 分 的 Def注 (1)2個 有 關(guān) ; (2) 3個 無 關(guān) ; (3) . 0max nx 注 (4)充 分 條 件 可 積有 限 個 間 斷 點 ， 則有 界 ， 且 只 有在 可 積)(,)(.2 )()(.1 , xfbaxfTh xfCxfTh ba 三 .幾 何 意 義 ba Sdxxf 曲 邊 梯 形)( 5.2定 積 分 的 性 質(zhì) dxxgdxxfxgxfba abdxxfba fdxfdxd

55、xfbca dxxfkdxxkf dxxgdxxfdxxgxf bababaca bcba baba ba baba )()(),()(,)5( 1,1)(.,)4( .)3( )()()2( )()()()()1( 則在 則在 5.2定 積 分 的 性 質(zhì) , (6) . , , max ( ). min ( ). ( ) ( ) ( )(7) . ( ). , .( ) ( )( ).( )ba a bba a b M f x m f xm b a f x dx M b af x Ca bf x dx f b a a b 估 值 定 理在則 積 分 中 值 定 理則 至 少 一 使 得 例

56、 題 (概 念 .性 質(zhì) )1.比 較 大 小 . 2.估 值 .1 12 30 02 2 21 1 1 10 03 3 2(1) .(2) ln . (ln )(3) . ln(1 )(4) ln . (ln )e ex dx x dxxdx x dxxdx x dxxdx x dx dxx dxxx edxe x 21 2331 2121 )1()3( arctan)2( .2,2.)04)(1( 2 5.3微 積 分 的 基 本 公 式一 .變 上 限 積 分二 .牛 頓 -萊 布 尼 茲 公 式 ba ba abxFaFbFdxxf xfxF CxfTh )()()()( .)()()

57、2( )()1.(2 ,則 一 個 原 函 數(shù)是 , 1. ( ). ( ) ( ) ( )a bxaTh f x Cdx f t dt f xdx 則 0 400 sin 3 0 0 (tan sin ) 1(1)(03) ( )8(tan sin )(2) ln (3) ( 0),limlim x xx x xx ea t t dtxt t dtt dtt dy y dt at dx 求 32 2205 ( )3( ). (2). .3 (2). . (6). .3 (6)08 ( )3( ). (2). .2 (2). . (4). .2 (4) x x ty f dtDA f B f

58、C f D f ty f dtD A f B f C f D f (4)（ ） f(u)為 連 續(xù) 函 數(shù) ,在 x=6的 導 數(shù) 為 .(5)（ ） f(u)為 連 續(xù) 函 數(shù) ,在 x=6的 導 數(shù) 為 . 5.4定 積 分 的 換 元 積 分 法 , ( )(2) ( ) , ( ), ( )( ) , ( )( ) ( ) ( )a b ba f x Cx t tt a t ba bf x dx f t t dt Th 設(shè) (1)在 上 單 調(diào) ， 連 續(xù)(3) 當 有且則 注 意 ：1換 元 法 實 質(zhì) ： 換 元 同 時 換 限 （ 切 記 ）2遇 到 被 積 函 數(shù) 含 有 偶

59、次 根 式 ， 注 意 取 算 術(shù) 根 13/48 30 3 50 /2 20 (1)(05) 1 ln41 1(2) 3ln31(3) sin sin 4/51 (4) sin sin 4 dxxdx xx xdx x x dx 22 051 5 232ln2 ,0 1 5(5)(06) ( ) , ( ) 3 61,1 22 , 0(6) ( ) , ( 1)2 1, 07 (2 1) , ( ) 2 (8) ,1x xtx x xf x f x dxx xx xf x f x dxxe xf x xe f t dt edt xe 求求（ ） (04) 求求 結(jié) 論 0 0 02 ( )

60、, ( )( ) 0, ( ). ( ) 3, ( ) 1( ) . aaa a a aa f x dx f xf x dx f xeg f x dx f x a dxf x dx 為 偶 函 數(shù)為 奇 函 數(shù)已 知則 5.5定 積 分 的 分 部 積 分 法( ). ( ). b bb aa au u x v v xudv uv vdu 有 連 續(xù) 導 數(shù) 41 11 ln(1)(2) ln(3) sin(ln )eee xdxxxdxx dx 5.6廣 義 積 分 （ 也 稱 反 常 積 分 ）一 .積 分 區(qū) 間 為 無 窮 的 廣 義 積 分二 .被 積 函 數(shù) 含 無 窮 間 斷 點

61、 的 廣 義 積 分 2 2 20 012 21 1 00 1 (1) .(5)12 1(2) .(6)1 1 1(3) .(7) ( 0)(4) sin .(8) 1 a bp p dx dxx a xxdx dxx xdx dx bx xdx x xdx x x 討 論 討 論 第 五 章 定 積 分 5.7定 積 分 的 元 素 法 5.8平 面 圖 形 的 面 積 5.9體 積 5.10平 面 曲 線 的 弧 長 5.11定 積 分 的 物 理 應 用 定 積 分 的 幾 何 應 用 5.7 5.8 5.9 5.10(一 )一 個 量 Q可 用 定 積 分 計 算 的 條 件(1)Q是

62、 a,b上 的 定 量(2)Q對 a,b具 有 可 加 性 (3)x,x+dx上 部 分 量 可 近 似 表 為 ni iQQ 1iQ iii xfQ )(簡 記 為 dQdxxfQ )( (二 )元 素 法 步 驟(1)建 立 坐 標 系 ,確 定 積 分 變 量 (2)求 上 部 分 量 的 近 似 值(3)定 限 積 分 求 總 量 QdQdxxfQ )(, bax , badxxx ba dxxfQ )( 定 積 分 的 幾 何 應 用一 .平 面 圖 形 的 面 積二 .體 積三 .平 面 曲 線 的 弧 長 (模 A)29.求 由 曲 線 與 直 線 所 圍 成 的 平 面 圖 形

63、 的 面 積 ； 且 求 上 述 平面 圖 形 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體積 。 y x .y x.x 2y (eg).求 由 曲 線 與 它 的 過 原 點 的 一 條切 線 及 軸 所 圍 成 的 平 面 圖 形 的 面 積 ；且 求 上 述 平 面 圖 形 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 。 xy ey x 2 1, 2 6 2xeS V e 5 17 , 6 6xS V (03).(1)求 曲 線 在 點 的 切 線 方 程 ；（ 2） 由 曲 線 、 切 線 及 軸 所 圍 成 的 平 面 圖形 的 面 積 ；（ 3） 求 上 述 平 面

64、 圖 形 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 。 2x y (1,1).x .x(eg).求 正 劈 錐 的 體 積 。 1(1) 2 1 0;(2) ,(3) 3 6 xx y S V 定 積 分 的 物 理 應 用 5.11一 .變 力 作 功二 .液 體 靜 壓 力 第 七 章 .向 量 代 數(shù) 與 空 間 解 幾 （ 不 考 ） 7.1 空 間 直 角 坐 標 系 .一 .空 間 直 角 坐 標 系 .1.Def ZZYYXX坐 標 軸 面面面坐 標 面 YOZXOZXOY 八 個 掛 限 ,點 的 坐 標 符 號 1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+

65、) 4(+,-,+) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-)2.空 間 中 點 的 坐 標 ),( zyxM 有 序 數(shù) 組空 間 點 11 二 .空 間 兩 點 間 的 距 離設(shè) 點則 212212212 )()()( zzyyxxAB ).,().,( 222111 zyxBzyxA 7.2向 量 代 數(shù)一 .向 量 概 念與 同 方 向 的 單 位 向 量二 .向 量 加 法 aaa 0a ba 平 行 四 邊 形 法 則 三 角 形 法 則三 .數(shù) 乘 向 量 a 7.2向 量 代 數(shù)四 .向 量 在 坐 標 軸 上 的 投 影1.兩 向 量 夾 角2.

66、向 量 在 軸 上 的 投 影( ) cos uAB AB ( , ).(0 )a b 7.2向 量 代 數(shù)五 .向 量 分 解 .向 量 坐 標 .向 量 的 模 .方 向 余 弦 點 向 徑 坐 標 表 達 式 分 量 表 達 式 MO ( , , )( ) , , M x y zr M OMOM x y zOM xi yj zk 7.2向 量 代 數(shù)五 .向 量 分 解 .向 量 坐 標 .向 量 的 模 .方 向 余 弦 點 向 量 坐 標 表 達 式 分 量 表 達 式 1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 2 11 2 2 1 2 1 2 1( , , ). ( , , ).( ),( ),( )( ) ( ) ( )M x y z M x y zM MM M x x y y z zM M x x i y y j z z k 向 量 的 模 222 , zyxa zyxa 7.2向 量 代 數(shù)五 .向 量 分 解 .向 量 坐 標 .向 量 的 模 .方 向 余 弦 向 量 的 方 向 余 弦 azayaxcoscoscos coscoscosx a