《方程的根與函數(shù)的零點》的教學設(shè)計

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1、 《方程的根與函數(shù)的零點》的教學設(shè)計 湖北省黃岡市團風中學 胡建平 教材分析 本節(jié)課選自《普通高中課程標準實驗教課書數(shù)學 I 必修本（ A 版）》的第三章 3.1.1 方程 的根與函數(shù)的的零點。 函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容， 既是初等數(shù)學的基礎(chǔ)， 又是出等數(shù)學與高等數(shù)學的 連接紐帶。 在現(xiàn)實生活實踐中， 函數(shù)與方程都有著十分的應(yīng)用， 在注重理論與實踐相結(jié)合的 今天， 有著無可替代的作用， 在加上函數(shù)與方程還是中學數(shù)學四大數(shù)學思想之一。 因此函數(shù) 與方程在高一乃止整個高中數(shù)學教學中，占有非常重要的地位。 本節(jié)

2、要求學生通過對二次函數(shù)的圖象的研究， 去判斷一元二次方程根的存在性以及根的 個數(shù)，近而了解函數(shù)的零點與一元二次方程根的聯(lián)系。 它既揭示了初中兩大知識方程與函數(shù) 的內(nèi)在聯(lián)系， 也是對本章函數(shù)知識的加深與總結(jié)。 也是對函數(shù)知識的總深拓展， 把函數(shù)在解 方程中加以應(yīng)用， 從而還可以滲透中學的重要數(shù)學思想： 方程與函數(shù)的思想， 數(shù)形結(jié)合的思 想。為學好中學數(shù)學打下一個良好基礎(chǔ)。因此教好本節(jié)是至關(guān)重要的。 學生分析 程度差異性：中等程度的學生占大多數(shù)，程度教高的學生與程度差的學生占少數(shù)。 知識、 心理、能力儲備：學生在次之前已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別對二次

3、函數(shù) 有較深的認識， 基本會畫簡單函數(shù)的圖象， 也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)， 這就為學 生理解函數(shù)的零點提供了幫助， 初步的數(shù)形結(jié)合知識也足以讓學生直觀理解函數(shù)零點的存在 性，因此從學生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點， 從認知規(guī)律上講， 應(yīng)該是容易 理解的。 一元二次方程是初中的重要內(nèi)容， 學生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對于它根的個數(shù)以及存在 性學生比較熟悉， 學生理解起來沒有多大問題。 這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系 提供了知識基礎(chǔ)。但是學生對其他函數(shù)的圖象與性質(zhì)認識不深（比如三次函數(shù)） ，對于高次 方程還不熟悉， 我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦?/p>

4、， 讓學生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián) 系，因此理解函數(shù)的零點、 函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學生學習的難點。 加之函數(shù)零 點的存在性的判定方法的表數(shù)抽象難懂。 因此在教學中應(yīng)加強師生互動， 盡多的給學生動手 的機會， 讓學生在實踐中體驗二者的聯(lián)系。 并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二 次方程讓學生研討， 從而直觀地歸納、 總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。 教學中還應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題情景， 激發(fā)學生探究興趣，并引導學生觀察、計算、思考從而達到教學目標。 教學目標 知識和技能目標： 掌握函數(shù)零點的概念； 了解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系； 學會在某區(qū)間

5、 上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法。 過程與方法：由二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點的橫坐標和對應(yīng)的一元二次方程為突破 口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系， 以探究的方法發(fā)現(xiàn)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法；在課堂探究中體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，從特殊到一般的歸納思想。 情感、 態(tài)度、價值觀： 在函數(shù)與方程的聯(lián)系中體驗數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想的意義和價值． 在 教學中讓學生體驗探究的過程、 發(fā)現(xiàn)的樂趣， 在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的辨證思維的思想， 以 及分析問題解決問題的能力。 重點難點 重點：函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定

6、方法。難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。教學程序與環(huán)節(jié)設(shè)計： 創(chuàng)設(shè)情境 結(jié)合實際問題誘發(fā)興趣，結(jié)合二次函數(shù)引入課 組織探究 二次函數(shù)的零點及零點存在性的． 研究二次函數(shù)在零點、零點之內(nèi)及零點外的函數(shù)值符 號，并嘗試進行系統(tǒng)的總結(jié)。 分析教材設(shè)計意圖，探討教學規(guī)律； 教學建議 探索合理教學思想，提出教學建議。 設(shè)計流程

7、 一、 創(chuàng)設(shè)情景、引出問題 問題 1：我國自行研制的某種彈道導彈以每小時 5000 米 /每秒的速度發(fā)射，那么它幾秒 后可以擊中地面目標。 （不記空氣阻力，重力加速度 g=10 m 2 ） s 讓學生各自獨立思考， 并請兩名不同解法的同學陳述自己的解法。 不出意外應(yīng)該有兩種思路： 思路一 先列出方程 5000 t 5 2 0 ，由方程的解得到。 t 思路二 寫出函數(shù)式 s 5000t 5t 2 ，再令 s 0 得到。 [ 師生互動 ] 師：思

8、路一用一元二次方程的知識得到結(jié)果， 而思路二用二次函數(shù)的知識得到了相同的結(jié)果， 那么二者有沒有關(guān)系？如果有，那又是什么關(guān)系？ 生：一元二次方程的根等于對應(yīng)二次函數(shù)圖象與軸的焦點的橫坐標。 師：再看下面的題目，從圖象的角度直觀的體驗上述結(jié)論。 問題 2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象： 1 2 2 x 3 0 與函數(shù) y x 2 2x 3 ○ 方程 x 2 2 2x 1 0 與函數(shù) y x 2 2x 1 ○ 方程 x 3 2 2 x 3 0

9、 與函數(shù) y x 2 2x 1 ○ 方程 x [ 師生互動  ] 師：引導學生畫圖、觀察圖象與 x 軸交點的個數(shù)與方程的根的個數(shù)的關(guān)系；觀察圖象與 軸交點的橫坐標與方程根的大小關(guān)系。并引出函數(shù)零點概念。 生：畫圖、思考、并歸納出結(jié)論：函數(shù)圖象與 x 軸交點的個數(shù)等于對應(yīng)方程根的個數(shù)；函數(shù) 圖象與軸的焦點的橫坐標的大小與對應(yīng)方程的根的大小相等。 設(shè)計意圖 ------- 問題

10、1 以實際應(yīng)用問題引入， 以學生熟悉的感興趣背景入題， 不僅能激發(fā)學生的興趣， 激活學生的已學知識， 為下一步的深入研究做好鋪墊。 問題 2 是幾種不同的函數(shù)與方程， 既是幾個特殊的函數(shù)與方程又具有很強的概括性，包括方程有兩不相等的根、兩相等的根、 無根的情況，研究它們有利于培養(yǎng)學生思維的完整性，也為學生歸納方程與函 數(shù)的關(guān)系鋪好了臺階。 二、 層層推進，組織探究  x 又能 它 老師給出函數(shù)零點的定義：  對于函數(shù)  y  f (x)( x  D ) 

11、 ，把使  f (x)  0 成立的實數(shù)  x 叫做函 數(shù) y f (x)( x D ) 的零點． 問題 3：思考函數(shù)零點的概念，寫出問題 2 中三個函數(shù)的零點？并填下表 函數(shù) 2 2x 3 y x 2 2 x 1 y x2 2x 1 y x 函數(shù)的零點 方程的根 設(shè)計意圖 ------- 此問的設(shè)置一方面讓學生理解函數(shù)零點的含義， 另一方面通過對比讓學生再次加深對二者關(guān) 系的認識， 使函數(shù)圖象與 x 軸交點的橫坐標到函

12、數(shù)零點的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、 更易懂。 通 過對比教學揭示知識點之間的密切關(guān)系。 師生共同觀察、分析得出對函數(shù)零點的幾點認識： （1）  函數(shù)的零點并不是“點”  ，它不是以坐標的形式出現(xiàn)。例如函數(shù)  y x2  2x  3 的零 點為  x=-1,3 （2）  函數(shù)零點的意義：函數(shù)  y  f ( x) 的零點就是方程  f (x)  0 實數(shù)根，亦即函數(shù) y f ( x) 的圖象與 x 軸交點的橫坐標．

13、 (3) 方程 f ( x) 0 有實數(shù)根 函數(shù) y f (x) 的圖象與 x 軸有交點 函數(shù) y f (x) 有 零點． (4) 函數(shù)零點的求法：可以解方程 f ( x) 0 而得到（代數(shù)法） ；可以將它與函數(shù)  y  f (x) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點． （幾何法） 補充練習：求函數(shù) y x3 4 x 的零點（建議學生用兩種方法做） 設(shè)計意圖 ------ 鞏固函數(shù)零點的求法， 滲透二次以外的函數(shù)的零點情況。 總結(jié)討論二次函數(shù)的零點的存在情況

14、 問題 4：是不是所有的二次函數(shù)都有零點？ [ 師生互動 ] 師：僅提出問題，不須做任何提示。 生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論． 二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù) 2 ( 0) ． y ax bx c a １）△＞０， 方程 ax 2 bx c 0 有兩不等實根， 二次函數(shù)的圖象與

15、 x 軸有兩個交點， 二次函數(shù)有兩個零點． ２）△＝０，方程 ax 2 bx c 0 有兩相等實根（二重根） ，二次函數(shù)的圖象與 x 軸 有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點． ３）△＜０，方程 ax 2 bx c 0 無實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸無交點，二次函數(shù) 無零點． 設(shè)計意圖 ------ 本節(jié)

16、的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究， 此題是從特殊到一般的升華， 也全面總結(jié)了二 次函數(shù)零點情況，給學生一個清晰的解題思路。進而培養(yǎng)學生總結(jié)歸納能力。 零點存在性的探索： 問題 5：（Ⅰ）觀察二次函數(shù) f (x) x2 2x 3 的圖象： ○ 在區(qū)間 2,1 上有零點嗎？ ______； 1 f ( 2) _______， f (1) ______

17、_, f ( 2) f (1) _____0 （＜或＞）． 思考： 若 f ( 2) f (1) <0 ，那么函數(shù) f ( x) x 2 2 x 3 在 2,1 上一定有零點嗎 ? ○ 在區(qū)間 2,4 上有零點 ______； 2 f (2) f (4) ____0（＜或＞）． 思考：若 f a b 0 ，那

18、么函數(shù) f (x) x2 2x 3 在 [ a,b ] 上一定有零點嗎 ? （Ⅱ）觀察下面函數(shù) y f ( x) 的圖象 ○1 在區(qū)間 a,b 上 ______(有 / 無)零點； f (a) f (b) _____0（＜或＞）． ○ 在區(qū)間 b, c 上______( 有 /無 )零點； f (b) f (c) _____0（＜或＞）． 2 ○ 在區(qū)間 c,d 上 ______(有 /無 )零點； f (c) f (d ) _____0

19、（＜或＞）． 3 ○ f a f c _____0（＜或＞）．在區(qū)間 a, c 上 ______( 有 /無 )零點？ 4 ○ f a f d 0（＜或＞）。區(qū)間 5 思考：若函數(shù) y f ( x) 滿足 f m f n 0 ，在區(qū)間 [m, n] 上一定有零點嗎？ 若函數(shù) y f ( x) 滿足 f m f n 0 ，在區(qū)間 [m, n] 上一定有零點嗎？ 由以上兩步探索，你可以得出什么樣的結(jié)論？ < 師生共同總結(jié)  >如果 

20、 y  f ( x)  在區(qū)間  a, b  上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線  ,并且有 f a  f b  0 ,那么函數(shù)  y  f ( x) 在區(qū)間  a, b  內(nèi)有零點  ,即存在  c  a, b  ,使得 f c  0,這個  c 也就是方程  f ( x)  0 的根。 理解：○1 此性質(zhì)成立的前提是圖象是連續(xù)不斷的一條曲線

21、。 ○2 零點 c 并不一定是唯一的，但一定存在。 ○3 f a f b 0 是函數(shù) y f (x) 在區(qū)間 a, b 內(nèi)有零點的充分條件。但是若函數(shù) y f (x)是一次、 二次時， 則 f a f b 0 是函數(shù) y f ( x) 在區(qū)間 a,b 內(nèi)有零 點的充要條件。 [ 師生互動 ] 師：怎樣利用函數(shù)零點存在性定理，斷定函數(shù)在某給定區(qū)間上是否存在零點． 生：分析函數(shù)，按提示探索，完成解答，并認真思考． 師：引導學生結(jié)合函數(shù)圖象， 分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況， 與函數(shù)零

22、點是否 存在之間的關(guān)系． 生：結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、總結(jié)歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析． 師：引導學生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用． 設(shè)計意圖 ------ 如何由函數(shù)零點的概念過度到函數(shù)零點的判定方法是本節(jié)課的難點， 用數(shù)形結(jié)合的方法是最 直觀的，學生也是最易接受的。 問題念，自己總結(jié)出函數(shù)零點的判定方法。灌輸概念發(fā)生的從特殊到一般過程。三、 例范研究  5 的問題設(shè)計層層遞進、 層層加深。有助于學生理解概 這樣設(shè)計不僅符合學生的認知特點， 也無形中給學生

23、 例 1．求函數(shù)  f ( x)  ln x  2x  6 的零點個數(shù)．問題： 1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？ 2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？ 例 2．求函數(shù) y x 3 x 2 x 2 ，并畫出它的大致圖象． 2 [ 師生互動 ] 師：引導學生探索判斷函數(shù)零點的方法， 指出可以借助計算機或計算器來

24、畫函數(shù)的圖象， 結(jié) 合圖象對函數(shù)有一個零點形成直觀的認識． 生：借助計算機或計算器畫出函數(shù)的圖象， 結(jié)合圖象確定零點所在的區(qū)間， 然后利用函數(shù)單 調(diào)性判斷零點的個數(shù)． 四、練習嘗試 1．利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根： （ 1） x 2 x 2 0 ； （ 3） 9 x 2 6 x （ 4） x 3 3x 0

25、 2．利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間： （ 1） f (x) x3 3x 3 ； （ 2） f (x) 2x ln( x 2) 3 ； （ 3） f (x) ex 4x ； （ 4） f ( x) 3(x 2)( x 3)( x 4) x ． [ 師生互動  ] 師：多媒體演示； 結(jié)合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數(shù)， 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明零點的 個數(shù)；讓學生認識到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì) （特別是單調(diào)性） 在確定函數(shù)零點中的重要

26、 作用． 生：建議學生使用計算器求出函數(shù)的大致區(qū)間， 培養(yǎng)學生的估算能力， 也為下一節(jié)的用二分 法求方程的近似解做準備。 五、 探索研究 1．已知  f (x)  2x4  7x 3  17 x2  58x  24 ，請?zhí)骄糠匠?  f (x)  0 的根．如果方程 有根，指出每個根所在的區(qū)間（區(qū)間長度不超過 1）． 2．設(shè)函數(shù) f ( x) 2x ax 1 ． （ 1）利用計算機探求 a 2 和 a 3 時函數(shù) f

27、( x) 的零點個數(shù)； （ 2）當 a R 時，函數(shù) f (x) 的零點是怎樣分布的？ 3．討論：請大家給方程 x2 ex 3 0 的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更??？ [ 師生互動 ] 師：把學生分成小組共同探究， 給學生足夠的自主學習時間， 讓學生充分研究，發(fā)揮其主觀 能動性。 也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究， 激發(fā)學生學習潛能和熱情。 老師 用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。 生：分組討論，各抒己見。在探究學習中得到數(shù)學能力的提高，從小科學研究的素養(yǎng)?，F(xiàn)代 設(shè)計意

28、圖 ------ 數(shù)學教學的新理念， 就是想法設(shè)法在教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和探究意識， 本組探究題目 就是為了培養(yǎng)學生的探究能力， 此組題目具有較強的開放性， 探究性， 基本上可以達到上述 目的。 六、 作業(yè)回饋 1． 教材 P108 習題 3．1（ A 組）第 1、 2 題； 2． 求下列函數(shù)的零點： （ 1） y x 2 x 30 ； （ 2） f ( x) (x 2 2)( x 2 3x 2) ． 3．求下列函數(shù)的零點，圖象頂點的坐標，畫出各自

29、的簡圖，并指出函數(shù)值在哪些區(qū)間上大于零，哪些區(qū)間上小于零： （ 1） y 3 x 2 3x 1； 4 （ 2） y 2x2 4x 3 ． 七、 課外活動 課后討論并總結(jié)函數(shù)零點求法要注意的問題； 思考可以用求函數(shù)零點的方法求方程的近似解嗎？ 八、 教學建議 注意函數(shù)與實際問題的聯(lián)系， 體現(xiàn)數(shù)學建模的思想： 我們生活在一個充滿變化的多彩世 界，其中存在大量問題可以通過體現(xiàn)變量關(guān)系的函數(shù)、 方程模型得到解決， 這就為函數(shù)的應(yīng) 用的教學提供了大量的實際背景。 教學內(nèi)容圍繞實際問題的討論而展開， 有利于揭示函數(shù)與 方程之間的關(guān)

30、系，能提高學生對函數(shù)與方程關(guān)系的認識與理解． 注意由淺入深、 循序漸進地建立函數(shù)與方程的關(guān)系： 對函數(shù)與方程的關(guān)系有一個逐步認 識的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則．分三步來展開這部分的內(nèi)容．第一步， 從學生認為較簡單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手， 由具體到一般， 建立一元二次方 程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系， 然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形． 第 二步， 在用二分法求方程近似解的過程中， 通過函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解， 體現(xiàn)函數(shù)與 方程的關(guān)系．第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過程中， 通過建立函數(shù)模型以及模型的求解， 更全

31、 面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系． 本節(jié)只是函數(shù)與方程的關(guān)系建立 的第一步，教學中切忌面面具到，延展太深。 恰當使用信息技術(shù)： 本節(jié)的教學中應(yīng)當充分使用信息技術(shù)。 實際上， 一些內(nèi)容因為涉及 大數(shù)字運算、 大量的數(shù)據(jù)處理、 超越方程求解以及復雜的函數(shù)作圖， 因此如果沒有信息技術(shù) 的支持，教學是不容易展開的。 因此，教學中應(yīng)當加強信息技術(shù)的使用力度。合理使用多媒 體和計算器。 參考資料： 1、函數(shù)與方程思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用 袁桂珍 廣西教育 2004 、 3. 2、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用 胡榴寶 中學數(shù)學教學 2003 、 3.