王利軍布朗運(yùn)動(dòng)的理論研究樣本

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1、 布朗運(yùn)動(dòng)的理論研究 摘要 : 布朗運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)激發(fā)了人們對(duì)這種運(yùn)動(dòng)的研究興趣 , 隨著研究的深入 , 人們對(duì)這種運(yùn)動(dòng)的理論日趨清楚 , 提供給科學(xué)與工程為建立隨機(jī)模式的一個(gè)不 可缺的基本工具 , 布朗運(yùn)動(dòng)在隨機(jī)過程的動(dòng)力論中也扮演著一個(gè)重要的角色 , 也使隨機(jī)過程的理論添加了新的生命 . 關(guān)鍵詞 : 布朗運(yùn)動(dòng) 愛因斯坦理論 朗之萬理論 擴(kuò)散 維納過程 數(shù)學(xué)模 式 一 引言 1827 年 , 英國植物學(xué)家布朗用顯微鏡觀察水中懸浮的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)這些花粉 顆粒不停地做無規(guī)

2、則的運(yùn)動(dòng) . 接著她又把碎玻璃片碾成粉末和墨汁分別撒在水中 , 同樣能觀察到這些粉末和碳粒均做無規(guī)則運(yùn)動(dòng) , 而且顆粒越小、 溫度越高 , 這種無規(guī)則運(yùn)動(dòng)越顯著 , 布朗把她的實(shí)驗(yàn)過程詳細(xì)地記載下來 , 寫在她于 1828 年出版的《植物花粉的顯微觀察》 一書中 . 可是她當(dāng)時(shí)并不理解產(chǎn)生這種運(yùn)動(dòng)的原因 , 但她為后人提供了一個(gè)作深入研究的課題 . 后人為了紀(jì)念她 , 把她觀察的小顆粒運(yùn) 動(dòng)命名為”布朗運(yùn)動(dòng)” .1877 年, 德索耳提出 , 微粒受到周圍媒質(zhì)分子不平衡的碰撞是產(chǎn)生布朗運(yùn)動(dòng)的原因 .19 物理學(xué)家愛因斯坦發(fā)表了對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的理論研究 成果 . 但最引人注目的是愛因

3、斯坦發(fā)表在德國的 《物理年鑒》第四篇第 17 卷上題為”熱的分子運(yùn)動(dòng)論所要求的靜液體中懸浮粒子的運(yùn)動(dòng)”的論文 , 該論文也是愛因斯坦在 19 富有創(chuàng)造性研究中的首篇 . 在這篇論文中 , 愛因斯坦把顯微鏡下可見粒子的運(yùn)動(dòng)看作是顯微鏡下看不到的液體分子運(yùn)動(dòng)的表征 , 證明了布朗粒子的運(yùn)動(dòng)是由于液體分子從四面八方對(duì)它撞擊引起的 , 這種撞擊的不規(guī)則性和偶然性使來自不同方向的作用互不完全抵消 . 隨后斯莫陸綽斯基 (19 ) 、 朗之萬 (19 ) 都發(fā)表了各自關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的理論工作 , 證明布朗粒子位移平方的平均值正比于 

4、 , 時(shí)間ｔ [1] .1923  年 ,  維納首先把布朗運(yùn)動(dòng)當(dāng)作一種隨機(jī)過程來研究  . 因此 ,  布朗 運(yùn)動(dòng)也叫做維納過程  . 不久 , Paul Levy  及后來的研究者將布朗運(yùn)動(dòng)發(fā)展成當(dāng)前 資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除。 的巨構(gòu) , 如今布朗運(yùn)動(dòng)在理論上與應(yīng)用上已與帕松過程構(gòu)成了兩種最基本的隨 機(jī)過程 [2] . 經(jīng)由謹(jǐn)慎的實(shí)驗(yàn)及討論 , 科學(xué)家發(fā)現(xiàn)布朗運(yùn)動(dòng)有下列主要特性 : 1 粒子的運(yùn)動(dòng)

5、由平移及轉(zhuǎn)移所構(gòu)成 , 顯得非常沒規(guī)則而且其軌跡幾乎是處處沒 有切線 . 2 粒子的移動(dòng)互不相關(guān) , 甚至于當(dāng)粒子互相接近至比其直徑小的距離時(shí)也是如 此 . 3 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時(shí) , 粒子的運(yùn)動(dòng)越活潑 . 4 粒子的成分及密度對(duì)其運(yùn)動(dòng)沒有影響 . 5 粒子的運(yùn)動(dòng)永不停止 . 二 愛因斯坦理論 二十世紀(jì)初 , 愛因斯坦及斯莫陸綽斯基發(fā)現(xiàn)不論粒子的運(yùn)動(dòng)有多么不規(guī)則 , 布朗運(yùn)動(dòng)仍能夠用機(jī)率律來分析 , 其研究說明了粒子在一段時(shí)間內(nèi)的位移是根據(jù)常態(tài)分配的 . 愛因斯坦的工作可說是布朗運(yùn)動(dòng)的

6、動(dòng)力論的先驅(qū) . 其理論概述如 下 : 令  （x，t)  是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)粒子在時(shí)間  t 及位置  x 時(shí)之機(jī)率密度 ( x  R3 ).  然后在某些機(jī)率假設(shè)下  ,  愛因斯坦導(dǎo)出 D (1) t 這里 D 是一正常數(shù) , 稱之為擴(kuò)散系數(shù) . 假若粒子在 t =0 的位置為 x=0, 則 x2

7、 1 1 （x,t ) ( ) 3 e 4 D2 (2) 4 Dt 三 朗之萬理論 懸浮在流體中的布朗粒子比流體分子大幾十萬倍 , 布朗粒子的運(yùn)動(dòng)速度比流 資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除。 體分子的速度為甚小 . 朗之萬將流體分子對(duì)布朗粒子的作用力分為兩種 , 一種是外力場(chǎng)的力 , 如重力 ; 另一種是周圍分子作用力 , 可分成三部分 :(1) 浮力 ;(2) 粘滯阻力 . 粒子以速度ｖ運(yùn)動(dòng) , ｖ不大時(shí) , 粘滯阻力ｆ =- αｖ α是阻力系數(shù) ;(3) 漲落不定的無規(guī)

8、力Ｆ ( ｔ ), 無規(guī)力脈沖持續(xù)時(shí)間甚短 , 彼此全無關(guān)聯(lián) , 因此其時(shí)間平均值等于零 , 即 F (t) 0 (1) 設(shè)布朗粒子質(zhì)量為ｍ , 在水中運(yùn)動(dòng) . 平行于水面的ｘ方向上 , 重力、 浮力都不出現(xiàn) , 根據(jù)牛頓第二定律 , 寫出ｘ方向投影式 . .. mx x x (2) 式中Ｘ是Ｆ ( ｔ) 在ｘ方向上的分力 .(1) 式就叫做朗之萬方程 . 以ｘ遍乘 (2) 式 , 得 .. . x

9、X (3) m x x x x . 1 dx 2 (4) 注意到 x x 2 dt .. 2 ... 2 2 2 . 2 x x 1 dx (x x) x 1 d x x (5) 2 dt

10、 2 dt 2 由 ( 3) 可得 1 d 2 (mx2 ) . 2 dx 2 (6) 2 m x xX 2 dt 2 dt 上式對(duì)大量粒子求平均 , 也就是對(duì)各布朗粒子寫出上式 , 累加后除以布朗粒子數(shù) . 因最末項(xiàng) xX

11、 0 (7) 而對(duì)上式第二項(xiàng) , 將能均分定理用到布朗粒子上有 . 2 (8) 1 m x 1 kT 2 2 經(jīng)整理得 d2 x2 d x2 2kT (9) dt 2 m dt m (9) 式是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 , 其通解為 資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除。 x2 2kT tC1e m C 2 (10) t Ｃ 1、 Ｃ2 是積分常數(shù) .

12、設(shè)ｔ =0 時(shí)布朗粒子在ｘ =0 處, 且初速率為零 , 于是 x2 2kT t e m1 (11) t m( ) 2 m m 若時(shí)間很短 , t 1即 t m , m e m t t 1 ( )2 t 2 ( 12) 1

13、m 2 m 則 x2 kT t 2 v2t 2 (13) m m , 則 表明在很短的時(shí)間內(nèi) , 平均粒子以恒速運(yùn)動(dòng) . 若時(shí)間較長 ,t 1, 即 t m t 0 , 于是 e m x2 2kT t (14) m (14) 式表明時(shí)間間隔較長時(shí) , ,這正是理

14、論結(jié)論 . 為簡(jiǎn)化問題 , 設(shè)布朗粒 子呈圓球形 , 由流體力學(xué)的斯托克斯定律 , 粘滯阻力 , 與前比較 知 ,代入 (14) 式得 x2 2 kT t 2Dt (15) 6 (15) 式被稱為愛因斯坦關(guān)系式 [3] . 四 布朗粒子的擴(kuò)散 設(shè)流體中有Ｎ個(gè)布朗粒子 , 初始時(shí)刻都集中在原點(diǎn) , 由于有布朗運(yùn)動(dòng) , 布朗粒子向四周擴(kuò)張 . 以ｎ ( ｒ , ｔ ) 表示布朗粒子的數(shù)密度 , Ｊ ( ｒ , ｔ ) 表示單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過單位截面的粒子數(shù) , Ｊ稱為流密度 . 用擴(kuò)散的觀點(diǎn) , 仍能推得 (5) 式結(jié)果

15、 , 推導(dǎo)如下 : 按Ｆｉｃｋ定律 J (r , t)  D n(r , t)  (1) 負(fù)號(hào)表示粒子由濃度高處向低處擴(kuò)散  . 由于粒子在流體中的運(yùn)動(dòng)滿足連續(xù)性方程  , 故 資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除。 n (2) J 0 t (6) 代入 (7), 得到擴(kuò)散方程 n D 2n 0 (3) t 其解為球?qū)ΨQ解 N r 2 n 3 e 4Dt (4)

16、 4 Dt 2 于是 , 粒子的平移位移及位移散差為 : r (t) 0 (5) r 2 (t) 4 0 n(r ,t )r 4dr 6Dt t (6) N 因粒子在各方向運(yùn)動(dòng) , 而各方向機(jī)會(huì)均等 , 即 r 2 x2 y2 z2 3x2 (7) 故 x2 2Dt (8) 和上節(jié) ( 15) 式一樣 . 在此系數(shù)Ｄ是擴(kuò)散系數(shù) 五 維納過程 1923 年 , 維納提出了隨機(jī)過程的嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型 , 其表現(xiàn)出的隨機(jī)性跟布朗運(yùn)動(dòng)相似 . 這個(gè)數(shù)學(xué)上的布朗運(yùn)

17、動(dòng)稱為維納過程 [4] . 維納從數(shù)學(xué)上證明了布朗運(yùn)動(dòng)的存在 , 并與馬爾科夫過程 ( 一個(gè)未來由現(xiàn)在決定 , 且不依賴于過去的隨機(jī)過程 ) 、正態(tài)分布相聯(lián)系 . 從一維布朗運(yùn)動(dòng)的樣本到二維、 ｎ維布朗軌道的模擬 , 使我們對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)、 無軌行走等隨機(jī)過程有了越來越深入的理解與認(rèn)識(shí) . 六 布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模式 1 首先我們建立 R 上的布朗運(yùn)動(dòng) , 我們的作法簡(jiǎn)單地說是利用對(duì)稱隨機(jī)漫 步 , 縮小其每一步長度而在單位時(shí)間內(nèi)加速其移動(dòng)頻率來仿真布朗運(yùn)動(dòng) . 假想一個(gè)粒子在坐標(biāo)軸上原點(diǎn)為起始點(diǎn)作對(duì)稱隨機(jī)漫步 , 每一步位移為 δ 而每單位時(shí) 資料內(nèi)容僅

18、供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除。 間內(nèi)移動(dòng)次數(shù)為 r 次 , 則此粒子在時(shí)間 t 時(shí)之位置為 , 其中 n {W } 是對(duì)稱隨機(jī)漫步而且 W0=0. 由 {Wn} 的性質(zhì)知 (1) (2) 令 , , 使得 逼近一定數(shù) D 譬如 , 取 ) , 由中央 ( 極限定理 , 我們得到 (3) 為求簡(jiǎn)化起見 , 我們?cè)O(shè)

19、D=1. 令 Bt 為 Zt 之極限隨機(jī)變量 , 則 便叫做布朗運(yùn)動(dòng)或維納過程 . 由以上之討論 , 我們可用數(shù)學(xué)語言定 義布朗運(yùn)動(dòng)如下 : 定義一 : 令 為一隨機(jī)過程且滿足以下三個(gè)條件 : (1) B (0)=0 (2) 設(shè) , 則 {B( )- ( ): sj +1 B sj 為獨(dú)立隨機(jī)變量族 . (3) 對(duì)每一 , , B t s B s ) 有常態(tài)分配 N t ), 換句 ( + )- ( (0,

20、 話說 . ( 4) 資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除。 其中 (1) 與(2) 皆是繼承 {Z t } 的性質(zhì)而來 , (3) 也表示布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)時(shí)間有齊一性 . 合并 (2)(3) 的性質(zhì) , 我們稱 B t ) 有平穩(wěn)獨(dú)立增量 . 對(duì)任意 , {B( t a } 一 ( )+ 般叫做以 a 為起點(diǎn)的布朗運(yùn)動(dòng) . 以下我們只考慮連續(xù)的布朗運(yùn)動(dòng) . 定理一 :

21、 (1) (2)E (3){B( t )} 停留在任一有界集合之機(jī)率為零 (4) 幾乎所有 B( t ) 的軌跡皆是處處連續(xù)而處處不可微分 定理一的 (1) 表示布朗運(yùn)動(dòng)為馬可夫過程 ; (2) 說明 {B( t )} 為平賭過程。 以上二者皆可由定義一之 (2) 證明之 . 第 (3) 點(diǎn)與隨機(jī)漫步之性質(zhì)相似 . 第(4) 點(diǎn)說明布朗 運(yùn)動(dòng)與實(shí)際現(xiàn)象相符合 [5] . 定理二 : (Levy) 隨機(jī)過程 為布朗運(yùn)動(dòng)之充要條件為 (1) {B( t )} 為平賭過程

22、 . (2) {B( t ) 2- t } 為平賭過程 . Levy 定理提供我們一個(gè)檢查給定的隨機(jī)過程 B t ) 是否為布朗運(yùn)動(dòng)的方法 : 對(duì) ( 任何時(shí)間 , 若 T 以后 {B( t 2 及 {B( t 2 t } 之平均值分別為 B T 及 ) } ) - ( ) B T 2 T 時(shí) , 則 {B( t )} 必是布朗運(yùn)動(dòng) . ( ) - 布朗所觀察到的布朗運(yùn)動(dòng)當(dāng)然是三度空間的運(yùn)動(dòng) , 但由觀察顯示粒子在各方向 之移動(dòng)是獨(dú)立的 , 因此我們采用以下定義 :