高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 第6課時 直接證明與間接證明課件 理.ppt

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,,第七章 不等式及推理與證明,1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)． 2．了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)．,請注意 不等式的證明是高考的一個重要內(nèi)容，也是一類難點(diǎn)．一方面是證明的方法靈活多樣，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn)．另一方面是知識的交匯與解題能力的綜合，傳統(tǒng)的純不等式的證明問題很少在高考中出現(xiàn)，但是與三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識的綜合命題卻顯得非?；钴S，對考生綜合運(yùn)用知識和邏輯推理能力有較高的要求．,1．綜合法 一般地，利用___________________________________，經(jīng)過一系列的 ，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法． 用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：,已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,推理論證,2．分析法 一般地，從要 出發(fā)，逐步尋求使它成立的__________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明的方法叫做分析法． 用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：,證明的結(jié)論,充分條件,3．反證法 一般地，假設(shè) ，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明 ，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．,原命題不成立,矛盾,假設(shè)錯誤,1．用分析法證明：欲使①AB，只需②CD，這里①是②的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 B 解析 分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即②?①，所以①是②的必要條件．,2．(課本改編題)用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為________． 答案 a，b都不能被5整除,3．設(shè)p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，則p與q的大小關(guān)系是________． 答案 p≥q 解析 ∵p－q＝2x4－2x3－x2＋1 ＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1) ＝(x－1)(2x3－x－1) ＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)≥0， ∴p≥q.,4．設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①a＋b2；②a2＋b22.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是________．(填上序號) 答案 ① 解析 取a＝－2，b＝－1，則a2＋b22，從而②推不出． ①能夠推出，即若a＋b2，則a，b中至少有一個大于1. 用反證法證明如下： 假設(shè)a≤1，且b≤1，則a＋b≤2與a＋b2矛盾． 因此假設(shè)不成立，所以a，b中至少有一個大于1.,題型一 綜合法,【思路】 (1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)的值；(2)利用分類討論的思想轉(zhuǎn)化求解．,探究1 綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法，因此要保證前提條件正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結(jié)論的正確性．綜合法是直接證明中最常用的表述方法．,思考題1,【答案】 (1)a＝1，b＝1 (2)略,題型二 分析法,【思路】 當(dāng)所給的條件簡單，所證的結(jié)論復(fù)雜的，一般采用分析法．,【答案】 略,探究2 分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來講，它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法．具體地說，即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題或是要證命題的已知條件時則所證命題得證．,思考題2,【答案】 略,例3 (2013·陜西理)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． 【解析】 (1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn， 當(dāng)q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 當(dāng)q≠1時，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②,題型三 反證法,【答案】 略,探究3 (1)當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法求證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器． (2)利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結(jié)論證明的定理，否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤．,(1)用反證法證明命題：“已知a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是( ) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實(shí)根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實(shí)根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實(shí)根 【答案】 A,思考題3,(2)實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1，求證：a，b，c，d中至少有一個為負(fù)數(shù)． 【證明】 假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)，則由a＋b＝c＋d＝1，得1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，即ac＋bd≤1，這與ac＋bd1矛盾，故假設(shè)不成立． 即a，b，c，d中至少有一個為負(fù)數(shù)． 【答案】 略,1．綜合法與分析法的關(guān)系：分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運(yùn)用綜合法證明；或兩種方法交叉使用． 2．反證法證明的關(guān)鍵：①準(zhǔn)確反設(shè)；②從否定的結(jié)論正確推理；③得出矛盾．,1．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的( ) A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．等價條件 答案 A,2．若a0，b0，且a＋b＝4，則下列不等式中恒成立的是( ) 答案 D,3．用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為( ) A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) 答案 B,答案 略 證明 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， 又∵a，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)， ∴上面三個式子中都不能取“＝”． ∴a2＋b2＋c2ab＋bc＋ac.,用換元法與放縮法證明不等式 一、換元法證不等式 例1 已知a，b∈R，a2＋b2≤4. 求證：|3a2－8ab－3b2|≤20. 【思路】 本題主要考查證明不等式的常用方法，根據(jù)條件a2＋b2≤4的特征，可運(yùn)用換元法進(jìn)行證明．,【解析】 ∵a，b∈R，a2＋b2≤4， ∴可設(shè)a＝rcosθ，b＝rsinθ(θ∈R)，其中0≤r≤2. ∴|3a2－8ab－3b2|＝r2|3cos2θ－4sin2θ| ＝5r2|cos(2θ＋φ)|≤5r2≤20. ∴原不等式成立． 【講評】 容易出現(xiàn)令a＝2cosθ，b＝2sinθ，θ∈[0,2π]這樣錯誤的換元法，造成失誤．,探究1 有些不等式直接證明較為困難，但通過換元的思想方法可使問題便于研究．常見的換元是三角換元，用三角代換把問題轉(zhuǎn)化為三角問題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)就可解決．根據(jù)實(shí)際情況，實(shí)施的代換方法有：,(1)設(shè)x＋y＝1，x，y∈(0，＋∞)，則x2＋y2＋xy的最小值為( ),思考題1,【答案】 B,思考題2,【答案】 B,