高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第11章 第4節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 理.ppt

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,第十一章 算法初步、推理證明、復(fù)數(shù),第四節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用,,[考情展望] 1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題．,固本源 練基礎(chǔ) 理清教材,[基礎(chǔ)梳理],1．判斷正誤，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”． (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)結(jié)論成立．( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．( ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用．( ) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．( ) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.( ) (6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n0＝3.( ),[基礎(chǔ)訓(xùn)練],答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√,解析：因?yàn)榧僭O(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題成立，故下一個(gè)偶數(shù)為k＋2.,解析：從n到n2共有n2－n＋1個(gè)數(shù)，所以f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)．,4．凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和為f(k＋1)＝f(k)＋________.,解析：易得f(k＋1)＝f(k)＋π.,答案：π,,答案：2k,精研析 巧運(yùn)用 全面攻克,┃考點(diǎn)一┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式——自主練透型,1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾； 2．由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明．,自我感悟解題規(guī)律,┃考點(diǎn)二┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式——自主練透型,1．用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明． 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立得n＝k＋1時(shí)成立，主要方法有①放縮法；②利用均值不等式法；③作差比較法等．,自我感悟解題規(guī)律,[調(diào)研3] 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數(shù)． [思路點(diǎn)撥] 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關(guān)鍵．,┃考點(diǎn)三┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題 ——師生共研型,用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”,名師歸納類題練熟,已知n為正整數(shù)，a∈Z，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．,[好題研習(xí)],證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除． ②假設(shè)n＝k時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2 ＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立． 根據(jù)①②可知，對(duì)于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．,[思路點(diǎn)撥] 關(guān)鍵是搞清n＝k到n＝k＋1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解．,┃考點(diǎn)四┃ 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題——自主練透型,(2)平面上有n個(gè)圓，每?jī)蓤A交于兩點(diǎn)，每三圓不過(guò)同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面為n2－n＋2個(gè)部分． [證明] ①當(dāng)n＝1時(shí)，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一個(gè)圓把平面分成兩部分，所以n＝1命題成立． ②設(shè)n＝k時(shí)，k個(gè)圓分平面為k2－k＋2個(gè)部分，則n＝k＋1時(shí)，第k＋1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這2k個(gè)交點(diǎn)分第k＋1個(gè)圓為2k段，每一段都將原來(lái)所在的平面一分為二，故增加了2k個(gè)平面塊，共有(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個(gè)部分． ∴對(duì)n＝k＋1也成立． 由①②可知，這n個(gè)圓分割平面為n2－n＋2個(gè)部分．,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k＋1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析；事實(shí)上，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一大技巧．,自我感悟解題規(guī)律,學(xué)方法 提能力 啟智培優(yōu),[審題視角] (1)將n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． (2)利用分析法，結(jié)合x0，y0，x＋y＝1，利用基本不等式可證．,[規(guī)范答題] 歸納、猜想、證明,[答題模板] 第一步：尋找特例a1，a2，a3等． 第二步：猜想an的公式． 第三步：轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an－1的關(guān)系． 第四步：用數(shù)學(xué)歸納法證明an. ①驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n＝2. ②推證ak＋1的表達(dá)式為k＋1. ③補(bǔ)驗(yàn)n＝1，說(shuō)明對(duì)于n∈N*成立． 第五步：分析法證明．,[名師指導(dǎo)],