銳角 三角函數(shù)課件.ppt
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1、 問 題 1 為 了 綠 化 荒 山 , 某 地 打 算 從 位 于 山 腳 下 的 機井 房 沿 著 山 坡 鋪 設(shè) 水 管 , 在 山 坡 上 修 建 一 座 揚 水 站 ,對 坡 面 的 綠 地 進 行 噴 灌 現(xiàn) 測 得 斜 坡 與 水 平 面 所 成角 的 度 數(shù) 是 30 , 為 使 出 水 口 的 高 度 為 35m, 那 么 需要 準(zhǔn) 備 多 長 的 水 管 ?這 個 問 題 可 以 歸 結(jié) 為 , 在 Rt ABC中 , C 90 , A 30 , BC 35m, 求 AB的 長 .A BC 思 考 : 你 能 將 實 際 問 題 歸 結(jié) 為 數(shù) 學(xué) 問 題 嗎 ?情境探究
2、根 據(jù) “ 在 直 角 三 角 形 中 ,30 角 所 對 的 直 角 邊 等 于 斜邊 的 一 半 ” , 即 A B C 在 Rt ABC中 , C 90 , A 30 ,BC 35m, 求 AB的 長 . .21ABBC 斜 邊的 對 邊A可 得 AB=2BC=70m, 即 需 要 準(zhǔn) 備 70m長 的水 管 。 在 上 面 的 問 題 中 , 如 果 使 出 水 口 的 高 度 為50m, 那 么 需 要 準(zhǔn) 備 多 長 的 水 管 ?結(jié) 論 : 在 一 個 直 角 三 角 形 中 , 如 果 一 個 銳 角 等 于 30 ,那 么 不 管 三 角 形 的 大 小 如 何 , 這 個
3、角 的 對 邊 與 斜 邊 的 比值 都 等 于 。 21 A BC 50m30m B C 即 在 直 角 三 角 形 中 , 當(dāng) 一 個 銳 角 等 于 45時 , 不 管 這 個 直 角 三 角 形 的 大 小 如 何 , 這 個 角的 對 邊 與 斜 邊 的 比 都 等 于 。22 如 圖 , 任 意 畫 一 個 Rt ABC,使 C 90 , A 45 , 計算 A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 ,你 能 得 出 什 么 結(jié) 論 ? ABBC A BC 綜 上 可 知 , 在 一 個 Rt ABC中 , C 90 , 一 般 地 , 當(dāng) A 取 其 他 一 定 度 數(shù) 的 銳 角 時
4、, 它 的對 邊 與 斜 邊 的 比 是 否 也 是 一 個 固 定 值 ? 21 當(dāng) A 30 時 , A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 都 等 于 ,是 一 個 固 定 值 ; 22 當(dāng) A 45 時 , A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 都 等 于 ,也 是 一 個 固 定 值 . 探 究A BC A BC 任 意 畫 Rt ABC和 Rt ABC, 使 得 C C90 , A A , 那 么 與 有 什 么 關(guān)系 你 能 解 釋 一 下 嗎 ? ABBC BACB由 于 C C 90 , A A 所 以 Rt ABC Rt ABC , BAABCBBC .CBAB BABC 即 這 就
5、 是 說 , 在 直 角 三 角 形 中 , 當(dāng) 銳 角 A的 度 數(shù)一 定 時 , 不 管 三 角 形 的 大 小 如 何 , A的 對 邊 與斜 邊 的 比 都 是 一 個 固 定 值 探 究 如 圖 , 在 Rt ABC中 , C 90 , 我 們 把 銳 角 A的對 邊 與 斜 邊 的 比 叫 做 A的 正 弦 ( sine) , 記 作 sinA, 即 caAA 斜 邊的 對 邊sin例 如 , 當(dāng) A 30 時 , 我 們 有2130sinsin A當(dāng) A 45 時 , 我 們 有2245sinsin A A BCc ab 對 邊斜 邊在 圖 中 A的 對 邊 記 作 a B的 對
6、 邊 記 作 b C的 對 邊 記 作 c 正 弦 注 意 sinA是 一 個 完 整 的 符 號 , 它 表 示 A的 正弦 , 記 號 里 習(xí) 慣 省 去 角 的 符 號 “ ” ; sinA沒 有 單 位 , 它 表 示 一 個 比 值 , 即 直 角三 角 形 中 A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 ; sinA不 表 示 “ sin”乘 以 “ A”。 例 1 如 圖 , 在 Rt ABC中 , C 90 , 求sinA和 sinB的 值 A BC 34 例 題 示 范 ABC 135(1) (2) .54sin53sin 5.34BCACAB ABCR1 2222 ABACBABBC
7、A t,因 此 中 ,) , 在解 : 如 圖 ( 試 著 完 成 圖 ( 2) 練 習(xí) 2254A C35 B2、 在 平 面 直 角 平 面 坐 標(biāo) 系 中 , 已 知 點 A(3, 0)和 B(0, -4), 則 sin O AB等 于 _.3、 在 Rt ABC中 , C=90 , AD是 BC邊上 的 中 線 , AC=2, BC=4, 則 sin DAC=_.4、 在 Rt ABC中 , C=90 , ,則 sinA=_. 33ba 1、 如 圖 , 求 sinA和 sinB的 值 5、 如 圖 , 在 ABC中 , AB=CB=5, sinA= ,求 ABC 的 面 積 。 54
8、BA C5 5 28.1銳 角 三 角 函 數(shù) ( 2)余 弦 正 切 復(fù) 習(xí) 與 探 究 : 1.銳 角 正 弦 的 定 義 在 中 , Rt ABC C 90 A B C a b c A的 正 弦 : caABBC斜 邊A的 對 邊sinA 2、 當(dāng) 銳 角 A確 定 時 , A的 對 邊 與 斜 邊 的 比 就 隨 之確 定 。 此 時 , 其 他 邊 之 間 的 比 是 否 也 隨 之 確 定 ? 為什 么 ? 新 知 探 索 : A B C a b c 1、 你 能 將 “ 其 他 邊 之 比 ” 用 比 例 的式 子 表 示 出 來 嗎 ? 這 樣 的 比 有 多 少 ?cb ba
9、2、 當(dāng) 銳 角 A確 定 時 , A的 鄰 邊 與 斜 邊 的 比 , A的 對 邊 與 鄰 邊 的 比 也 隨 之 確 定 嗎 ? 為 什 么 ? 交 流 并說 出 理 由 。方 法 一 : 從 特 殊 到 一 般 , 仿 照 正 弦 的 研 究 過 程 ;方 法 二 : 根 據(jù) 相 似 三 角 形 的 性 質(zhì) 來 說 明 。 如 圖 , 在 Rt ABC中 , C 90 ,cbAA 斜 邊的 鄰 邊cos A BC斜 邊 c 對 邊 a鄰 邊 b 我 們 把 銳 角 A的 鄰 邊 與 斜 邊 的 比 叫 做 A的 余 弦 ( cosine) , 記 作 cosA, 即 我 們 把 銳 角
10、 A的 對 邊 與 鄰 邊 的 比 叫 做 A的 正 切 ( tangent) , 記 作 tanA, 即 baAAA 的 鄰 邊的 對 邊tan rldmm8989889 注 意 cosA, tanA是 一 個 完 整 的 符 號 , 它 表 示 A的 余 弦 、 正 切 , 記 號 里 習(xí) 慣 省 去 角 的符 號 “ ” ; cosA, tanA沒 有 單 位 , 它 表 示 一 個 比 值 ,即 直 角 三 角 形 中 A的 鄰 邊 與 斜 邊 的 比 、對 邊 與 鄰 邊 的 比 ; cosA不 表 示 “ cos”乘 以 “ A”, tanA不 表示 “ tan”乘 以 “ A”
11、rldmm8989889 對 于 銳 角 A的 每 一個 確 定 的 值 , sinA有唯 一 確 定 的 值 與 它 對應(yīng) , 所 以 sinA是 A的 函數(shù) 。 同 樣 地 , cosA,tanA也 是 A的 函 數(shù) 。cbAA 斜 邊的 鄰 邊cos baAAA 的 鄰 邊的 對 邊tan caAA 斜 邊的 對 邊sin 銳 角 A的 正 弦 、 余 弦 、正 切 都 叫 做 A的 銳 角 三角 函 數(shù) . rldmm8989889 A BC6.34tan54cos ,8610.10356sinsin 2222 BCACBABACA BCABAC ABCAB ABBCA ,又 ,解 :
12、 例 1 如 圖 , 在 Rt ABC中 , C 90 ,BC=6, , 求 cosA和 tanB的 值 53sin A rldmm8989889 例 2 如 圖 , 在 Rt ABC中 , C 90 , BC=2,AB=3, 求 A, B的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 值 .25tan32cos35sin .55252tan35cos32sin ,523 2222 BCACBABBCBABACB ACBCAABACAABBCA BCABAC ABCRt , ,中 ,解 : 在 A BC23延 伸 : 由 上 面 的 計 算 , 你 能 猜 想 A, B的 正 弦 、 余 弦 值有 什 么
13、 規(guī) 律 嗎 ?結(jié) 論 : 一 個 銳 角 的 正 弦 等 于 它 余 角 的 余 弦 , 或 一 個 銳 角 的 余 弦 等 于 它 余 角 的 正 弦 。 rldmm8989889 練 習(xí) 補 充 練 習(xí) 1、 在 等 腰 ABC中 , AB=AC=5, BC=6,求 sinB, cosB, tanB. A B CD rldmm8989889 補 充 練 習(xí)2、 如 圖 所 示 , 在 ABC中 , ACB 90 , AC=12, AB=13, BCM= BAC, 求 sin BAC和點 B到 直 線 MC的 距 離 M C B A3、 如 圖 所 示 , CD是 Rt ABC的 斜 邊
14、AB上 的 高 ,求 證 : . 2 BDABBC D C BA 28.1銳 角 三 角 函 數(shù) ( 3) rldmm8989889 A B C A的 對 邊 a A的 鄰 邊 b斜 邊 c caABBC斜 邊A的 對 邊sinA cbABAC斜 邊A的 鄰 邊cosA baACBC邊 邊A的tanA 鄰 對 rldmm8989889 請 同 學(xué) 們 拿 出自 己 的 學(xué) 習(xí) 工 具 一 副 三 角 尺 , 思考 并 回 答 下 列 問 題 :1、 這 兩 塊 三 角 尺 各 有 幾 個 銳 角 ? 它 們 分 別 等 于 多 少 度 ?2、 每 塊 三 角 尺 的 三 邊 之 間 有 怎 樣
15、 的 特 殊 關(guān) 系 ? 如果 設(shè) 每 塊 三 角 尺 較 短 的 邊 長 為 1, 請 你 說 出 未 知 邊的 長 度 。30 60 451 23 11 245 新 知 探 索 :30 角 的 三 角 函 數(shù) 值 1 23 sin30= 21斜 邊A的 對 邊 cos30= 23斜 邊A的 鄰 邊 tan30= 33A的 鄰 邊A的 對 邊 30.0C B A rldmm8989889 45.0 C A B 1 1 2 cos45=tan45=sin45= 22斜 邊A的 對 邊 22斜 邊A的 鄰 邊 1A的 鄰 邊A的 對 邊 新 知 探 索 :45 角 的 三 角 函 數(shù) 值 60.
16、0 B A C 1 2 3 sin60= 23斜 邊A的 對 邊 cos60= 21斜 邊A的 鄰 邊 tan60= 3A的 鄰 邊A的 對 邊 新 知 探 索 :60 角 的 三 角 函 數(shù) 值 rldmm8989889 30 、 45 、 60 角 的 正 弦 值 、 余 弦 值 和 正 切值 如 下 表 : 銳 角 a三 角 函 數(shù) 30 45 60sin acos atan a 12 22 3222 12 33233 1 rldmm8989889 例 1 求 下 列 各 式 的 值 :( 1) cos260 sin260( 2) 45tan45sin 45cos ).60(sin)60
17、(sin 60sin60sin 22 即 ,)表 示 (22 )23()21( 解 : 原 式 1 1 2222 解 : 原 式 0 rldmm8989889 ;)( 30cos30sin211 ;)( 60sin245tan30tan32 ;)( 30tan160sin1 60cos3求 下 列 各 式 的 值 : .21160cos2145sin24 02005 )()()( rldmm8989889 例 2 ( 1) 如 圖 , 在 Rt ABC中 , C 90 , ,求 A的 度 數(shù) 3,6 BCAB A B C36,2263sin ABBCA解 .45 A rldmm8989889
18、( 2) 如 圖 , 已 知 圓 錐 的 高 AO等 于 圓錐 的 底 面 半 徑 OB的 倍 , 求 a A BO 3 ,33tan OBOBOBAO解 .60 當(dāng) A, B為 銳 角時 , 若 AB, 則sinAsinB,cosAcosB,tanAtanB. rldmm8989889 1、 在 Rt ABC中 , C 90 , ,求 A、 B的 度 數(shù) 21,7 ACBC BA C721 rldmm8989889 2、 求 適 合 下 列 各 式 的 銳 角 3(1)3tan 01sin2(2) 12 12cos(3) 的 值 。求 為 銳 角 ) ,(、 已 知 tan 032cos3
19、rldmm8989889 AB CD4、 如 圖 , ABC中 , C=900,BD平 分 ABC,BC=12,BD= ,求 A的 度 數(shù) 及 AD的 長 .38 rldmm8989889 小 結(jié) : 我們學(xué)習(xí)了30, 45, 60這幾類特殊角的三角函數(shù)值 28.1銳 角 三 角 函 數(shù) ( 4) rldmm8989889 ,42tantan 20EBDC DCACADC m ,解 : 由 已 知 得 D ABE1.6m 20m42 C引 例 升 國 旗 時 , 小 明 站 在 操 場 上 離 國 旗 20m處 行 注 目 禮 。當(dāng) 國 旗 升 至 頂 端 時 , 小 明 看 國 旗 視 線
20、的 仰 角 為 42 ( 如圖 所 示 ) , 若 小 明 雙 眼 離 地 面 1.60m, 你 能 幫 助 小 明 求出 旗 桿 AB的 高 度 嗎 ? ,42tan DCAC .6.142tan20 CBACAB 這 里 的 tan42 是 多 少 呢 ? rldmm8989889 前 面 我 們 學(xué) 習(xí) 了 特 殊 角 30 45 60 的三 角 函 數(shù) 值 , 一 些 非 特 殊 角 (如 17 56 89等 )的 三 角 函 數(shù) 值 又 怎 么 求 呢 ? 這 一 節(jié) 課 我 們 就 學(xué) 習(xí) 借 助 計 算 器 來 完成 這 個 任 務(wù) . rldmm8989889 1、 用 科 學(xué)
21、 計 算 器 求 一 般 銳 角 的 三 角 函 數(shù) 值 :( 1) 我 們 要 用 到 科 學(xué) 計 算 器 中 的鍵 : sin cos tan( 2) 按 鍵 順 序 如 果 銳 角 恰 是 整 數(shù) 度 數(shù) 時 , 以“ 求 sin18 ”為 例 , 按 鍵 順 序 如 下 :按 鍵 順 序 顯 示 結(jié) 果sin18 sin 18 sin18 0.309 016 994 sin18 = 0.309 016 9940.31 rldmm8989889 1、 用 科 學(xué) 計 算 器 求 一 般 銳 角 的 三 角 函 數(shù) 值 : 如 果 銳 角 的 度 數(shù) 是 度 、 分 形 式 時 , 以 “
22、 求tan30 36”為 例 , 按 鍵 順 序 如 下 :方 法 一 : 按 鍵 順 序 顯 示 結(jié) 果tan30 36 tan 30 36 tan30 360.591 398 351 tan30 36 = 0.591 398 3510.59方 法 二 :先 轉(zhuǎn) 化 , 30 36 =30.6 ,后 仿 照 sin18 的 求 法 。 如 果 銳 角 的 度 數(shù) 是 度 、 分 、 秒 形 式 時 , 依 照 上 面 的方 法 一 求 解 。 rldmm8989889 ( 3) 完 成 引 例 中 的 求 解 :tan20 42 +1.619.608 080 89 AB = 19.608 0
23、80 8919.61m即 旗 桿 的 高 度 是 19.61m. 6.142tan20 AB rldmm8989889 練 習(xí) :使 用 計 算 器 求 下 列 銳 角 的 三 角 函 數(shù) 值 .( 精 確 到0.01)( 1) sin20 , cos70 ; sin35 , cos55 ; sin15 32, cos74 28;( 2) tan3 8, tan80 2543;( 3) sin15 +cos61 tan76 . rldmm8989889 按 鍵 的 順 序 顯 示 結(jié) 果SHIFT 209 17.301507834sin 7 = 已 知 三 角 函 數(shù) 值 求 角 度 , 要
24、用 到 sin, Cos, tan的第 二 功 能 鍵 “ sin Cos , tan ” 鍵 例 如 : 已 知sin 0.2974,求 銳 角 按 健 順 序 為 :如 果 再 按 “ 度 分 秒 健 ” 就 換 算 成 度 分秒 , 即 17o185.43”2、 已 知 銳 角 的 三 角 函 數(shù) 值 , 求 銳 角 的 度 數(shù) : rldmm8989889 例 根 據(jù) 下 面 的 條 件 , 求 銳 角 的 大 小 ( 精 確 到 1)( 1) sin=0.4511; ( 2) cos=0.7857; ( 3) tan=1.4036. w按 鍵 盤 順 序 如 下 : 按 鍵 的 順
25、序 顯 示 結(jié) 果2604851”0 .sin 115= 4SHIFT 即 26 04851” rldmm8989889 駛 向 勝 利的 彼 岸練 習(xí) :1、 已 知 下 列 銳 角 三 角 函 數(shù) 值 , 用 計 算器 求 其 相 應(yīng) 的 銳 角 :( 1) sinA=0.627 5, sinB=0.054 7;( 2) cosA=0.625 2, cosB=0.165 9;( 3) tanA=4.842 5, tanB=0.881 6. rldmm8989889 2、 已 知 tanA=3.1748, 利 用 計 算 器 求銳 角 A的 度 數(shù) 。 (精 確 到 1)答 案 : A72 52練 習(xí) :3、 已 知 銳 角 a的 三 角 函 數(shù) 值 , 使 用 計 算 器 求 銳 角 a( 精 確到 1)( 1) sin a=0.2476; ( 2) cos a=0.4; ( 3) tan a=0.1890. 答 案 : (1)14 20;(3)10 42. (2)65 20; rldmm8989889 4、 一 段 公 路 彎 道 呈 弧 形 , 測 得 彎 道AB兩 端 的 距 離 為 200米 , AB 的 半 徑 為1000米 , 求 彎 道 的 長 ( 精 確 到 0.1米 ) A BO R
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