哈工大 大學(xué)物理2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(習(xí)題課)

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1、1 1 . 掌 握 描 述 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 角 位 移 、 角 速 度 、 角 加速 度 等 物 理 量 及 角 量 和 線 量 的 關(guān) 系 .能 借 助 于 直 角 坐標(biāo) 系 熟 練 應(yīng) 用 勻 變 速 轉(zhuǎn) 動 的 運 動 學(xué) 公 式 。2 . 理 解 力 矩 和 轉(zhuǎn) 動 慣 量 的 物 理 意 義 。 掌 握 剛 體 定 軸轉(zhuǎn) 動 定 律 并 能 結(jié) 合 牛 頓 運 動 定 律 求 解 定 軸 轉(zhuǎn) 動 剛 體與 質(zhì) 點 組 合 系 統(tǒng) 的 有 關(guān) 問 題 。3 . 會 計 算 力 矩 的 功 ， 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 動 能 和 剛 體 的 重力 勢 能 。 能 在 含 有

2、定 軸 轉(zhuǎn) 動 及 重 力 場 的 剛 體 問 題 中正 確 地 應(yīng) 用 機 械 能 守 恒 定 律 。 4 . 熟 練 計 算 剛 體 對 固 定 軸 的 角 動 量 ， 掌 握 角 動 量 定理 ， 并 能 對 含 有 定 軸 轉(zhuǎn) 動 剛 體 在 內(nèi) 的 系 統(tǒng) 正 確 應(yīng) 用角 動 量 守 恒 定 律 。 2 1. 理 解 和 掌 握 有 關(guān) 剛 體 轉(zhuǎn) 動 的 基 本 概 念力 矩 、 轉(zhuǎn) 動 慣 量 、 轉(zhuǎn) 動 動 能 、 角 動 量等 。2. 理 解 和 掌 握 有 關(guān) 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 基 本規(guī) 律 ， 特 別 是 轉(zhuǎn) 動 定 律 和 角 動 量 守 恒 定 律及 其

3、應(yīng) 用 。角 動 量 定 理 ， 轉(zhuǎn) 動 定 律 ， 角 動 量 守 恒 定律 在 綜 合 性 力 學(xué) 問 題 中 的 應(yīng) 用 。 3 1 . 描 述 剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 物 理 量 及 運 動 學(xué) 公 式角 位 置 tdd 角 運 動 方 程 = (t)角 位 移 角 速 度 2tt dddd 2 角 加 速 度 rs角 量 與 線 量 的 關(guān) 系 rvta r ran 2 4 2 .力 矩 和 轉(zhuǎn) 動 慣 量(1)力 矩 20 21 tt FrM (2)轉(zhuǎn) 動 慣 量 2iirmJ當(dāng) 剛 體 質(zhì) 量 連 續(xù) 分 布 mrJ d2組 合 體 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 iJJJJJ .321

4、 2 = 0 2 +2 勻 角 加 速 轉(zhuǎn) 動 公 式 = 0 + t 5 3 .剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動 定 律 JM4. 力 矩 的 功 21 d ZMA tJ dd轉(zhuǎn) 動 動 能 i iiK vmE )21( 2 221 J剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動 動 能 定 理 KZ EJJMA 2122 2121d21 機 械 能 守 恒 定 律 :只 有 重 力 做 功 時常 量 CmghJ 221 6 5. 角 動 量 和 沖 量 矩 JLZ 剛 體 的 角 動 量 tMZ 2 1tt dtMZtLM ZZ dd恒 力 矩 的 沖 量變 力 矩 的 沖 量6. 角 動 量 定 理 和 角 動 量

5、 守 恒 定 律角 動 量 定 理角 動 量 守 恒 定 律 :當(dāng) 合 外 力 矩 為 零 或 遠 小 于 內(nèi) 力 矩 時11222 1 d JJtMtt Z 常 量 ZJ 12 )()( JJ 7 7 .質(zhì) 點 直 線 運 動 和 剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動 物 理 量 對 比 21 d ZMA 質(zhì) 點 直 線 運 動 剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動tdd 位 移 x速 度 22dddd txtva 加 速 度 xFA d功 角 位 移 角 速 度txv dd 2tt dddd 2 角 加 速 度質(zhì) 量 m 2iirmJ 轉(zhuǎn) 動 慣 量功動 能 221mvEK 轉(zhuǎn) 動 動 能 221 JEK m

6、v動 量 J角 動 量FvP功 率 P M角 功 率 8 一 人 造 地 球 衛(wèi) 星 到 地 球 中 心 的 最 大 距 離 和 最 小 距 離 分 別 是 BA RR 和設(shè) 衛(wèi) 星 對 應(yīng) 的 角 動 量 分 別 是 ， 動 能 分 別 是 ， 則 有BA LL 、 KBKA EE 、B ABR AR（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） KAKBAB EELL , KAKBAB EELL , KAKBAB EELL , KAKBAB EELL , KAKBAB EELL , （ 5）一 長 為 、 質(zhì) 量 可 以 忽 略 的 直 桿 ， 兩 端 分 別 固 定 有 質(zhì) 量 為 2m和m的 小 球

7、， 桿 可 繞 通 過 其 中 心 O且 與 桿 垂 直 的 水 平 光 滑 固 定 軸 在鉛 直 平 面 內(nèi) 轉(zhuǎn) 動 ， 開 始 桿 與 水 平 方 向 成 某 一 角 度 ， 處 于 靜 止 狀態(tài) ， 釋 放 后 ， 桿 繞 O軸 轉(zhuǎn) 動 。 則 當(dāng) 桿 轉(zhuǎn) 到 水 平 位 置 時 ， 該 系 統(tǒng) 所受 到 的 合 外 力 矩 的 大 小 M=_,此 時 該 系 統(tǒng) 角 加 速 度 的 大小 _。l 2/mgl)3/(2 lg 9在 一 水 平 放 置 的 質(zhì) 量 為 m、 長 度 為 的 均 勻 細 桿 上 ， 套 著 一 質(zhì) 量 也為 m的 套 管 B(可 看 作 質(zhì) 點 )， 套 管

8、 用 細 線 拉 住 ， 它 到 豎 直 軸 軸的 距 離 為 ， 桿 和 套 管 所 組 成 的 系 統(tǒng) 以 角 速 度 繞 軸 轉(zhuǎn) 動 ，如 圖 所 示 。 若 在 轉(zhuǎn) 動 過 程 中 細 線 被 拉 斷 ， 套 管 將 沿 著 桿 滑 動 。 在套 管 滑 動 過 程 中 ， 該 系 統(tǒng) 轉(zhuǎn) 動 的 角 速 度 與 套 管 離 軸 的 距 離 x的 函數(shù) 關(guān) 系 為 ( )。 （ 已 知 桿 本 身 對 軸 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 ）l oo 2/l 0 oo oo 3/2ml lm m2/l0oo)3(4 7 22 02 xl l 10 如 圖 ， 長 為 L， 質(zhì) 量 為 m的 勻 質(zhì)

9、細 桿 ， 可 繞 通 過 桿 的 端 點 O并 與 桿 垂直 的 水 平 固 定 軸 轉(zhuǎn) 動 。 桿 的 另 一 端 連 接 一 個 質(zhì) 量 為 m的 小 球 。 桿 從水 平 位 置 由 靜 止 開 始 自 由 下 擺 ， 忽 略 軸 處 的 摩 擦 ， 當(dāng) 桿 轉(zhuǎn) 到 與 豎直 方 向 成 角 時 ， 小 球 與 桿 的 角 速 度 為 ?O Lg cos23注 意 角 速 度 定 義 11 一 勻 質(zhì) 細 棒 長 為 2L， 質(zhì) 量 為 m， 以 與 棒 長 方 向 相 垂 直 的 速 度 v0在 光 滑 水 平 面 內(nèi) 平 動 時 ， 與 前 方 一 固 定 的 光 滑 支 點 O發(fā)

10、 生 完 全非 彈 性 碰 撞 ， 碰 撞 點 位 于 棒 中 心 的 一 方 1/2L處 ， 如 圖 所 示 。 求棒 在 碰 撞 后 的 瞬 時 繞 O點 轉(zhuǎn) 動 的 角 速 度 。 （ 細 棒 繞 通 過 其 端 點且 與 其 垂 直 的 軸 轉(zhuǎn) 動 時 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 ， 式 中 的 分 別為 棒 的 質(zhì) 量 和 長 度 ） 23/1 ml lm和O0v 0vABL21 L21L碰 撞 前 瞬 時 ， 桿 對 O點 的 角 動 量 為 LmvLvxdxvxdxvL L 0202/30 2/0 00 21 碰 撞 后 瞬 時 ， 桿 對 O點 的 角 動 量 為 2127 mLJ

11、 碰 撞 前 后 角 動 量 守 恒 ， 有LmvmL 02 2112/7 )7/(6 0 Lv（ 平 行 軸 定 理 ） 12 力 矩 的 計 算 一 般 情 況 下 ， 剛 體 對 某 轉(zhuǎn) 軸 的 力 矩 可 以 用 公 式M=Frsin 計 算 ， 有 時 剛 體 上 各 點 所 受 的 力 大 小 不 等 、或 者 方 向 不 同 、 或 者 力 臂 不 同 ， 則 需 要 用 積 分 方 法 計算 。例 、 唱 機 的 轉(zhuǎn) 盤 繞 著 通 過 盤 心 的 固 定 豎 直 軸 轉(zhuǎn) 動 ，唱 片 放 上 去 后 將 受 轉(zhuǎn) 盤 的 摩 擦 力 作 用 而 隨 盤 轉(zhuǎn) 動 。設(shè) 唱 片 可

12、 以 看 成 半 徑 為 R的 均 勻 圓 盤 ， 質(zhì) 量 為 m，唱 片 與 轉(zhuǎn) 盤 之 間 的 摩 擦 系 數(shù) 為 ， 轉(zhuǎn) 盤 原 來 以 角速 度 勻 速 轉(zhuǎn) 動 ， 唱 片 放 上 去 時 受 到 的 摩 擦 力 矩為 多 大 ？ 唱 片 達 到 角 速 度 需 要 多 長 時 間 ？ 在 這段 時 間 內(nèi) ， 轉(zhuǎn) 盤 保 持 角 速 度 不 變 ， 則 驅(qū) 動 力 做 功多 少 ？ 摩 擦 力 矩 做 了 多 少 功 ？ 唱 片 獲 得 了 多 大 動能 ？ 13 分 析 ： 唱 片 上 的 摩 擦 力 不 是 作 用 在 一 點 ， 而 是 分 布 在 整 個 唱 片 和 轉(zhuǎn) 盤

13、的 接 觸面 上 。 各 部 分 的 摩 擦 力 方 向 都 是 不 同 的 ， 垂 直 與 它 的 徑 向 。 因 為 唱 片 各 部 分所 受 摩 擦 力 的 力 臂 不 同 ， 所 以 摩 擦 力 矩 用 積 分 方 法 。 積 分 時 ， 面 元 的 選 取 很關(guān) 鍵 。 dS rd dr解 法 1： 在 唱 片 上 取 面 元 如 圖 。面 元 的 面 積 為 ：質(zhì) 量 為 ： 2 2m mrd drdm dSR R d df r 14 面 元 質(zhì) 量 為 ： 2 2m mrd drdm dSR R 此 面 元 受 到 轉(zhuǎn) 盤 的 摩 擦 力 為 ： 2mrd drdf dN gdm

14、 g R 摩 擦 力 矩 ： 2 2mgr d drdM rdf R 所 以 ， 整 個 唱 片 所 受 的 摩 擦 力 矩 為 ：2 22 0 0 23RmgM dM d r dr mgRR 15 解 法 二 、 把 唱 片 分 成 許 多 同 心 圓 環(huán) ， 任 取 半 徑 r-r+dr的 圓 環(huán) 作 為面 元 ， 其 上 各 點 所 受 的 摩 擦 力 沿 著 圓 環(huán) 的 切 線 方 向 。 如 圖 。 對 轉(zhuǎn)軸 的 力 臂 都 相 同 。 因 此 圓 環(huán) 所 受 的 摩 擦 力 矩 為 ：dM r gdm其 中 2 2 2m mdm dS rdrR R 代 入 得 到 ： 222 mg

15、dM r drR所 以 整 個 唱 片 受 到 的 摩 擦 力 矩 為 ： 220 2 23R mgM dM r dr mgRR drrdfdf df 16 根 據(jù) 轉(zhuǎn) 動 定 律 可 知 ， 唱 片 在 此 摩 擦 力 矩 作 用 下 做 勻 加 速 運 動 ， 其轉(zhuǎn) 動 的 角 加 速 度 為 ： MJ 其 中 ， 唱 片 的 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 ： 212J m R代 入 可 以 得 到 ： 22 431 32 mgR gRmR 所 以 ， 唱 片 的 角 速 度 從 零 增 加 到 所 需 要 的 時 間 為 ：34 43 Rt g gR 17 在 這 段 時 間 內(nèi) ， 摩 擦 力

16、矩 做 功 ： 2 2 21. 2 4A M d M M mR 唱 片 獲 得 的 動 能 ： 2 2 2 2 21 1 1 12 2 2 4kE J mR mR 所 以 唱 機 驅(qū) 動 力 矩 做 功 為 ： 2 21 2kA A E m R 18 轉(zhuǎn) 動 定 律 的 應(yīng) 用 這 類 問 題 多 見 于 含 有 定 軸 轉(zhuǎn) 動 的 剛 體 和 可 視 為 質(zhì) 點 的物 體 組 成 的 系 統(tǒng) 的 力 學(xué) 問 題 。 處 理 這 類 問 題 的 方 法 和處 理 質(zhì) 點 力 學(xué) 問 題 相 同 ， 即 先 選 取 研 究 對 象 ， 分 析 各隔 離 體 所 受 的 力 或 者 力 矩 ， 畫

17、 出 示 力 圖 ， 判 斷 各 隔 離體 的 運 動 情 況 ， 根 據(jù) 牛 頓 運 動 定 律 或 者 轉(zhuǎn) 動 定 律 分 別列 出 運 動 方 程 ， 還 要 加 上 運 動 狀 態(tài) 之 間 的 聯(lián) 系 ， 比 如線 量 與 角 量 之 間 的 關(guān) 系 。例 、 電 風(fēng) 扇 的 功 率 恒 定 為 P， 風(fēng) 葉 轉(zhuǎn) 子 的 總 轉(zhuǎn) 動 慣 量 為 J，設(shè) 風(fēng) 葉 受 到 空 氣 的 阻 力 矩 與 風(fēng) 葉 的 轉(zhuǎn) 動 角 速 度 成 正 比（ 比 例 系 數(shù) 為 k） 。 求 ： （ 1） 電 扇 通 電 后 t秒 時 的 角 速度 ； （ 2） 電 扇 穩(wěn) 定 轉(zhuǎn) 動 時 的 轉(zhuǎn) 速

18、； （ 3） 若 在 電 扇 穩(wěn) 定轉(zhuǎn) 動 后 斷 開 電 源 ， 則 風(fēng) 扇 還 能 繼 續(xù) 轉(zhuǎn) 過 多 少 角 度 ？ 19 分 析 ： 電 扇 的 恒 定 功 率 為 P， 轉(zhuǎn) 速 為 時 ， 則 其 電 動 力 矩 為M=P/ ， 電 扇 在 此 力 矩 與 阻 力 矩 作 用 下 運 動 。 當(dāng) 斷 開 電 源 后 ，只 受 到 阻 力 矩 的 作 用 ， 電 扇 將 做 減 速 轉(zhuǎn) 動 ， 最 后 停 止 ， 由 運動 學(xué) 關(guān) 系 可 以 算 出 電 扇 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 。 fM k解 ： （ 1） 由 于 阻 力 矩 Mf正 比 與 ， 則 有 ：K為 比 例 系 數(shù) ， 根

19、 據(jù) 轉(zhuǎn) 動 定 律 有 ：fM M J 即 ： P dk J dt 20 分 離 變 量 后 積 分 ： 20 0tJ d dtP k 積 分 得 到 ： 2 /(1 )kt JP ek （ 2） 當(dāng) t趨 于 無 窮 時 ， 電 扇 達 到 穩(wěn) 定 轉(zhuǎn) 動 ， 轉(zhuǎn) 速 ： m Pk （ 3） 電 源 斷 開 ， 只 有 受 到 阻 力 矩 作 用 ， 由 轉(zhuǎn) 動 定 律 得 到 ： 21 分 離 變 量 后 積 分 ： dk J dt 01m t kd dtJ 由 此 得 到 ： k kt tJ Jm Pe ek 則 電 扇 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 為 ： 0 0 k tJP J Pdt e

20、dtk k k 22 剛 體 的 角 動 量 定 理 和 角 動 量 守 恒 定 律 的 應(yīng) 用 這 兩 條 規(guī) 律 的 地 位 與 質(zhì) 點 力 學(xué) 中 的 動 量 定 理 和 動 量 守恒 定 律 相 當(dāng) 。 應(yīng) 用 角 動 量 定 理 時 ， 必 須 隔 離 剛 體 ， 分 析 受 力 情 況 ，確 定 各 隔 離 體 在 過 程 中 所 受 的 外 力 矩 以 及 作 用 前 后 的角 動 量 ， 列 出 關(guān) 系 式 。 應(yīng) 用 角 動 量 守 恒 ， 必 須 分 析 是 否 符 合 守 恒 的 條 件 （ 系統(tǒng) 所 受 的 合 外 力 矩 為 零 ） 。 還 必 須 注 意 ， 系 統(tǒng)

21、 的 角 動量 是 對 同 一 個 轉(zhuǎn) 軸 而 言 的 ， 且 角 速 度 必 須 對 慣 性 系而 言 的 。 23 例 、 質(zhì) 量 為 M， 半 徑 為 R的 轉(zhuǎn) 臺 ， 可 以 繞 通 過 中 心 的 豎 直軸 無 摩 擦 的 轉(zhuǎn) 動 。 質(zhì) 量 為 m的 人 ， 站 在 離 中 心 r處（ rR） ， 開 始 時 ， 人 和 臺 處 于 靜 止 狀 態(tài) ， 如 果 這 個 人沿 著 半 徑 為 r的 圓 周 勻 速 走 一 圈 ， 設(shè) 他 相 對 于 轉(zhuǎn) 臺 的 運動 速 度 為 u， 如 圖 。 求 轉(zhuǎn) 臺 的 旋 轉(zhuǎn) 角 速 度 和 相 對 地 面 轉(zhuǎn)過 的 角 度 。R r u

22、分 析 ： 以 人 和 轉(zhuǎn) 臺 為 系 統(tǒng) ， 該 系 統(tǒng)沒 有 受 到 外 力 矩 的 作 用 ， 所 以 系 統(tǒng)的 角 動 量 守 恒 。 應(yīng) 用 角 動 量 守 恒 定律 時 ， 其 中 的 角 速 度 和 速 度 都 是 相對 慣 性 系 （ 地 面 ） 而 言 的 。 因 此 人在 轉(zhuǎn) 臺 上 走 動 時 ， 必 須 考 慮 人 相 對于 地 面 的 速 度 。 24 解 ： 對 于 人 和 轉(zhuǎn) 臺 的 系 統(tǒng) ， 當(dāng) 人 走 動 時 ， 系 統(tǒng) 沒 有 受 到 對 豎 直 軸 的 外 力矩 ， 系 統(tǒng) 對 該 軸 的 角 動 量 守 恒 。 設(shè) 人 相 對 于 地 面 的 速 度

23、為 v， 轉(zhuǎn) 臺 相 對于 地 面 的 轉(zhuǎn) 速 為 ， 于 是 有 ： 0mvr J 而 ： v u r 212J MR代 入 得 ： 2 212mrumr MR 25 式 中 負 號 代 表 轉(zhuǎn) 臺 轉(zhuǎn) 動 的 方 向 和 人 在 轉(zhuǎn) 臺 上 走 動 的 方 向 相 反 。 根據(jù) 題 意 ， u是 常 量 ， 所 以 也 是 常 量 ， 即 轉(zhuǎn) 臺 做 勻 速 轉(zhuǎn) 動 。2 212mrut tmr MR 設(shè) 在 時 間 t內(nèi) 轉(zhuǎn) 臺 相 對 于 地 面 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 為 ， 則 ：而 u/r. t是 人 相 對 于 轉(zhuǎn) 臺 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 ， 由 題 設(shè) ：2u tr 因 此 ，

24、在 此 過 程 中 轉(zhuǎn) 臺 相 對 于 地 面 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 為 ： 22 22 12mrmr MR 26 角 動 量 守 恒 定 律 和 機 械 能 守 恒 定 律 的 綜 合 應(yīng) 用 角 動 量 守 恒 和 機 械 能 守 恒 定 律 適 用 的 條 件 不 同 ，在 應(yīng) 用 時 必 須 根 據(jù) 條 件 而 有 所 選 擇 。例 、 長 為 質(zhì) 量 為 m1的 勻 質(zhì) 細 桿 ， 可 繞 通 過 O點 垂直 于 紙 面 的 軸 轉(zhuǎn) 動 ， 令 桿 自 水 平 位 置 靜 止 擺 下 ，在 鉛 直 位 置 處 與 質(zhì) 量 為 m2的 物 體 發(fā) 生 完 全 非 彈 性碰 撞 ， 如 圖

25、 ， 碰 后 物 體 沿 摩 擦 系 數(shù) 為 的 水 平 面滑 動 ， 求 此 物 體 滑 過 的 距 離 以 及 桿 上 升 的 角 度 。l 27 分 析 ： 可 以 分 成 三 個 過 程 。 （ 1） 桿 從 水 平 位 置 擺 到 豎 直 位 置 ，只 有 重 力 做 功 ， 所 以 機 械 能 守 恒 ； （ 2） 桿 與 物 體 發(fā) 生 碰 撞 。把 桿 和 物 體 作 為 一 個 系 統(tǒng) ， 沒 有 受 到 外 力 矩 的 作 用 ， 所 以 系統(tǒng) 角 動 量 守 恒 。 系 統(tǒng) 的 動 量 不 守 恒 。 （ 桿 受 到 軸 力 的 外 力 作用 ） ； （ 3） 物 體 和

26、 桿 分 別 運 動 。 物 體 滑 動 ， 摩 擦 力 做 功 ， 可以 由 功 能 原 理 求 距 離 ， 桿 上 升 過 程 ， 機 械 能 守 恒 。 2 1 1211 12 213J m g l m glJ ml m1 m2解 ： 桿 自 水 平 位 置 擺 到 鉛 直 位 置 時 ， 設(shè) 桿 在 鉛直 位 置 時 角 速 度 為 ， 并 以 地 面 為 勢 能 的 零 點 ，由 機 械 能 守 恒 定 律 可 以 得 到 ：由 此 二 式 可 以 得 到 ：3 gl 28 桿 與 物 體 發(fā) 生 完 全 非 彈 性 碰 撞 時 ， 他 們 將 擁 有 共 同 的 速 度 v， 由于

27、 系 統(tǒng) 沒 有 受 到 外 力 矩 的 作 用 ， 所 以 角 動 量 守 恒 ， 設(shè) 碰 撞 后 的 角速 度 為 ， 有 ： 2J J m vlv l 而解 以 上 兩 式 ， 并 且 代 入 的 值 ， 得 到 ： 212 2 22 1 211 2 11 2 13 1333 33 m lJJ m l m l m lm gm m lm glv m m 29 設(shè) 物 體 在 地 面 上 滑 過 的 距 離 為 s， 由 功 能 原 理 得 到 ：22210 2fs m vf N m g 由 此 可 以 得 到 ： 2 21 232 ( 3 )lms m m 設(shè) 擺 上 升 的 角 度 為

28、， 由 機 械 能 守 恒 定 律 得 到 ：2 11 (1 cos )2 2lJ m g 最 后 得 到 ： 2 1 221 23 (2 3 )( 3 )m m mm m =arccos 30 A M l v分 析 ： 對 于 環(huán) 和 桿 所 組 成 的 系 統(tǒng) ， 僅 受 到重 力 和 軸 力 的 作 用 ， 所 以 系 統(tǒng) 對 A點 的 角動 量 守 恒 。 而 且 這 些 外 力 不 做 功 ， 所 以 系統(tǒng) 的 機 械 能 守 恒 。 由 這 兩 個 定 律 就 可 以 求出 桿 的 旋 轉(zhuǎn) 角 速 度 和 環(huán) 的 運 動 速 度 。l 31 機 械 能0 0J J 2 2 20 0

29、1 1 12 2 2J J mv lv lv sin 20 2 21313J M lJ M l m l 注 意 ！v牽v 相 對v +相 對 運 動小 環(huán) 脫 離 桿 時 的 速 度 是 由 環(huán) 沿 桿 的 速 度 和桿 旋 轉(zhuǎn) 時 環(huán) 沿 圓 周 運 動 的 切 向 速 度 合 成 的結(jié) 果 ， 所 以 環(huán) 脫 離 桿 的 速 度 與 桿 之 間 有 一個 夾 角 。 2 20 00 20 21 1 1( )2 212 3J mv J MlJ 32 先 得 到 的 表 達 式 ： 03MM m 進 而 得 到 ： 2 2 2 0 0( ) (2 3 )3 3Ml lv M M mm M m 所 以 ， v的 方 向 與 桿 的 夾 角 為 ：sin arcsin (2 3 )l Marc v M M m 33 34