《桿系結(jié)構(gòu)單元》PPT課件

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1、第 四 章 桿 系 結(jié) 構(gòu) 單 元 本 章 主 要 內(nèi) 容 是 ： 結(jié) 構(gòu) 離 散 為 單 元 的 有 關(guān) 問(wèn) 題 單 元 （ 局 部 ） 坐 標(biāo) 系 和 結(jié) 構(gòu) （ 整 體 ） 坐 標(biāo) 系 單 元 坐 標(biāo) 系 中 各 類 桿 件 單 元 的 特 性 ： 單 元 剛 度 矩 陣 、 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 矩 陣 等 。 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 單 元 特 性 及 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 。 桿 系 結(jié) 構(gòu) 是 由 一 些 桿 件 單 元 組 成 。 主 要 結(jié) 構(gòu) 類型 有 ： 梁 、 拱 、 框 架 、 桁 架 等 ， 如 圖 （ 4-1） 所 示 。 圖 （ 4-1） 梁拱框 架 桁 架

2、 2、 編 號(hào) （ 1） 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 節(jié) 點(diǎn) 編 號(hào) 應(yīng) 按 正 整 數(shù) 不 間 斷 逐 點(diǎn) 編 號(hào) 。 編 號(hào) 時(shí)應(yīng) 力 求 單 元 兩 端 點(diǎn) 號(hào) 差 最 小 ， 以 便 使 結(jié) 構(gòu) 剛 度 矩 陣元 素 集 中 在 主 對(duì) 角 線 附 近 ， 后 面 結(jié) 構(gòu) 剛 度 矩 陣 組 集中 有 詳 細(xì) 說(shuō) 明 。4.1 結(jié) 構(gòu) 離 散 1、 離 散 方 法 取 桿 件 與 桿 件 交 點(diǎn) 、 集 中 力 作 用 點(diǎn) 、 桿 件 與 支承 的 交 點(diǎn) 為 節(jié) 點(diǎn) 。 相 鄰 兩 節(jié) 點(diǎn) 間 的 桿 件 段 是 單 元 。 桿 件 結(jié) 構(gòu) 的 單 元 一 般 只 有 2個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 。 （ 2）

3、 單 元 編 號(hào) 單 元 也 要 逐 個(gè) 依 次 編 號(hào) 。 誰(shuí) 前 誰(shuí) 后 按 實(shí) 際 情 況而 定 。 3、 記 錄 基 本 信 息 應(yīng) 建 立 一 個(gè) 數(shù) 據(jù) 文 件 （ DATA.*） 基 本 信 息 來(lái) 記 錄基 本 信 息 ， 以 便 計(jì) 算 時(shí) 調(diào) 用 。 基 本 信 息 包 括 ： （ 1） 單 元 總 數(shù) （ NE） 、 節(jié) 點(diǎn) 總 數(shù) （ NJ） 、 節(jié) 點(diǎn) 自 由度 數(shù) （ NDF） 。 （ 2） 彈 性 模 量 （ E） 、 波 桑 系 數(shù) （ AMU） 。 （ 3） 單 元 I端 節(jié) 點(diǎn) 號(hào) IO（ NE） 、 J端 節(jié) 點(diǎn) 號(hào) JO（ NE） （ 4） 有 約 束

4、的 節(jié) 點(diǎn) 數(shù) （ NRJ ） 、 有 約 束 的 節(jié) 點(diǎn) 號(hào)（ KRJ(NRJ)） 、 受 約 束 的 自 由 度 （ KRL(NDF,NRJ)） 。 （ 5） 單 元 截 面 面 積 （ A） 、 截 面 慣 性 矩 （ ZI） （ 6） 節(jié) 點(diǎn) 坐 標(biāo) ： X(NJ)、 Y(NJ) （ 7） 分 布 力 荷 載 集 度 qx(NE)、 qyi(NE)、 qyj(NE) （ 8） 受 集 中 力 作 用 的 節(jié) 點(diǎn) 數(shù) （ MJL） 、 受 集 中 力 作用 的 節(jié) 點(diǎn) 號(hào) （ NJL（ MJL） ） 、 集 中 力 數(shù) 值 （ VJL（ NDF，MJL） ） 。 DATA.FRA(1)

5、NE、 NJ、 NDF 25, 18, 3(2） E、 AMU 3.25e7, 0.15 (3） IO（ NE） 、 JO（ NE） 1, 4, 4, 7, 7, 10, 10,13, 13,16, 2, 5, 5, 8, 8, 11, 11,14, 14,17, 3, 6, 6, 9, 9, 12, 12,15, 15,18, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10,11,11, 12, 13,14, 14,15, 16,17, 17,18(4） NRJ 、 KRJ(NRJ)、 （ KRL(NDF,NRJ)）3，1,2,3,9*1 (5) A(NE)、 ZI(NE)(6) X(

6、NJ)、 Y(NJ)(7) qx(NE)、 qyi(NE)、 qyj(NE)(8) MJL, NJL(MJL), VJL(NDF,MJL)數(shù) 據(jù) 填 寫(xiě) 順 序 應(yīng) 和 程 序 對(duì) 應(yīng) 。 q=10kN/m 4、 示 例6.0m 5.0m 3.0m3.0m3.0m3.0m4.0m1 2 34 5 67 8 910 11 1213 14 1516 17 18(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)(9)(10) (11)(12)(13)(14)(15)(16) (17)(18) (19)(20) (21)(22) (23)(24) (25)XY 練 習(xí) 對(duì) 平 面 鉸 接 桁 架 進(jìn)

7、行 結(jié) 構(gòu) 離 散 ， 并 作 出 數(shù) 據(jù)文 件 。 4 4m3m P1 P2 P3已 知 ： E=2.1 109kN/m2 P1=P3=10kN, P2=50kN, 15cm2 (斜 桿 ） A = 65cm2 (上 下 弦 桿 ） 40cm2 (豎 桿 ） 4.2 單 元 （ 局 部 ） 坐 標(biāo) 系 桿 系 結(jié) 構(gòu) 單 元 在 結(jié) 構(gòu) 中 的 位 置 是 復(fù) 雜 的 。 如 圖（ 4-1） 桁 架 所 示 。 XY P 圖 （ 4-1） 如 果 每 一 個(gè) 單 元 都 在 統(tǒng) 一 的 整 體 坐 標(biāo) 系 XY中 寫(xiě)單 元 剛 度 矩 陣 。 可 能 導(dǎo) 致 結(jié) 構(gòu) 中 處 于 不 同 位

8、置 的 同一 類 型 單 元 ， 其 單 元 剛 度 矩 陣 不 相 同 。 這 不 利 于 計(jì)算 機(jī) 編 程 運(yùn) 算 。 桿 系 結(jié) 構(gòu) 單 元 主 要 有 鉸 接 桿 單 元 和 梁 單 元 兩 種 類型 。 它 們 都 只 有 2個(gè) 節(jié) 點(diǎn) i、 j。 約 定 ： 單 元 坐 標(biāo) 系 的 原 點(diǎn) 置 于 節(jié) 點(diǎn) i； 節(jié) 點(diǎn) i到 j的桿 軸 （ 形 心 軸 ） 方 向 為 單 元 坐 標(biāo) 系 中 x軸 的 正 向 。 y軸 、z軸 都 與 x軸 垂 直 ， 并 符 合 右 手 螺 旋 法 則 （ 圖 4-2）（ 圖 4-2）i j xy z 容 易 理 解 ， 采 用 適 合 于 單

9、元 具 體 方 位 的 坐 標(biāo) 系 將會(huì) 改 善 上 述 狀 況 ， 得 出 規(guī) 格 化 的 結(jié) 果 。 這 種 屬 于 每 個(gè)單 元 的 坐 標(biāo) 系 稱 為 單 元 坐 標(biāo) 系 ， 也 稱 局 部 坐 標(biāo) 系 。 為 了 便 于 對(duì) 單 元 坐 標(biāo) 系 中 的 單 元 特 性 進(jìn) 行 識(shí) 別 ，引 入 以 下 符 號(hào) ：e單 元 坐 標(biāo) 單 元 位 移Fe單 元 坐 標(biāo) 單 元 力 ke單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 單 元 的 2個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 中 取 任 何 一 個(gè) 作 為 i均 可 ， 只 要指 定 好 i節(jié) 點(diǎn) 和 j節(jié) 點(diǎn) ， x軸 的 正 向 就 確 定 了 。 對(duì) 于 梁

10、單 元 ， y軸 和 z軸 分 別 為 橫 截 面 上 的 兩 個(gè)慣 性 主 軸 。 下 面 ， 開(kāi) 始 討 論 幾 種 桿 系 結(jié) 構(gòu) 單 元 在 單 元 坐 標(biāo)中 的 一 些 特 性 。 i j xl圖 4-34.3 鉸 接 桿 單 元 圖 4-3示 出 了 一 維 鉸 接 桿 單 元 ， 橫 截 面 積 為 A，長(zhǎng) 度 為 l， 彈 性 模 量 為 E， 軸 向 分 布 載 荷 為 qx。 單 元 有2個(gè) 結(jié) 點(diǎn) i， j， 單 元 坐 標(biāo) 為 一 維 坐 標(biāo) 軸 x。qx ujui 1、 一 維 鉸 接 桿 單 元 jie uu （ 4-1）單 元 力 向 量 為 ： jie FFF

11、（ 4-2） （ 1） 位 移 模 式 和 形 函 數(shù) 位 移 模 式單 元 結(jié) 點(diǎn) 位 移 向 量 為 ： 因 為 只 有 2個(gè) 結(jié) 點(diǎn) ， 每 個(gè) 結(jié) 點(diǎn) 位 移 只 有 1個(gè) 自 由 度 ，因 此 單 元 的 位 移 模 式 可 設(shè) 為 ：xaau 21 （ 4-3）式 中 a1、 a2為 待 定 常 數(shù) ， 可 由 結(jié) 點(diǎn) 位 移 條 件 x=xi時(shí) ， u=ui x=xj時(shí) ， u=uj確 定 。由 此 可 確 定 a1、 a2 。 再 將 其 代 入 式 （ 4-3） ， 得 xl uuxl uuuu ijiiji )( （ 4-4） 形 函 數(shù) 將 式 （ 4-4） 改 寫(xiě) 為

12、下 列 形 式 eNu （ 4-5）式 中 e由 式 （ 4-1） 確 定 ， 形 函 數(shù) N為 )()(1 xxxxlNNN ijji （ 4-6） （ 2） 應(yīng) 變 矩 陣一 維 鉸 接 桿 單 元 僅 有 軸 向 應(yīng) 變 dxdu將 式 （ 4-5） 、 （ 4-6） 代 入 上 式 ， 得 el 111 上 式 也 可 寫(xiě) 為 eB （ 4-7）式 中 B為 應(yīng) 變 矩 陣 111 lBBB ji （ 4-8）由 應(yīng) 力 應(yīng) 變 關(guān) 系 （ 3） 應(yīng) 力 矩 陣 E將 式 （ 4-7） 代 入 上 式 ， 得 ee SBE （ 4-9）式 中 S為 應(yīng) 力 矩 陣 11 lES （ 4

13、-10） (4) 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 單 元 上 作 用 分 布 力 qx， 則 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 計(jì) 算 公 式仍 為 以 下 形 式 dxqNF xTe 當(dāng) 分 布 力 集 度 qx為 常 數(shù) 時(shí) ， 有 112)( )(1 lqdxqxx xxlF xxijxxeq jix （ 4-11） 式 （ 4-11） 概 念 是 將 分 布 力 引 起 的 合 力 按 靜 力 等 效 原則 分 配 到 單 元 節(jié) 點(diǎn) 上 。 由 于 位 移 模 式 是 線 性 函 數(shù) ， 因此 按 公 式 （ 4-11） 計(jì) 算 結(jié) 果 與 靜 力 等 效 分 配 是 一 致 的 。 (5) 單 元 坐 標(biāo)

14、單 元 剛 度 矩 陣 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 仍 式 （ 2-33） 推 出 dvBDBk v Te （ 2-33）對(duì) 于 等 截 面 鉸 接 桿 單 元 ， dv=AdxA 單 元 截 面 面 積 。有 dxBDBAk v Te 將 式 （ 4-8） 代 入 上 式 ， 得 11 11 lAEk e （ 4-12）2、 平 面 鉸 接 桿 單 元1 2 34i j xy 圖 4-4l（ 1） 單 元 坐 標(biāo) 單 元 位 移 向 量 4321 e （ 2） 位 移 模 式 和 形 函 數(shù) 由 于 平 面 鉸 接 桿 單 元 只 有 軸 向 力 。 位 移 模 式 同 式（ 4

15、-3） 、 （ 4-4） 。 形 函 數(shù) 0)(0)(1 xxxxlNNN ijji （ 4-13） （ 3） 應(yīng) 變 矩 陣 位 移 模 式 eB （ 4-7）應(yīng) 變 矩 陣 B為 01011 lBBB ji （ 4-14） （ 4） 應(yīng) 力 矩 陣 ee SBE （ 4-9）應(yīng) 力 矩 陣 S為 0101 lES （ 4-15） (5) 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 010120 )( 0 )(1 qlqdxxx xxlF ijxxeq ji （ 4-16） (6) 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 對(duì) 于 等 截 面 鉸 接 桿 單 元 ， 0000 0101 0000 0101 lAEk

16、e （ 4-17） i j xy lz3、 空 間 鉸 接 桿 單 元（ 1） 單 元 坐 標(biāo) 單 元 位 移 向 量圖 4-51 2 453 6 Te 654321 （ 4-18） （ 2） 形 函 數(shù) 00)(00)(1 xxxxlN ij （ 4-19） （ 3） 應(yīng) 變 矩 陣 （ 4-20）0010011 lB （ 4） 應(yīng) 力 矩 陣 001001 lES （ 4-21） (5) 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 Te qlF 0010012 （ 4-22） (6) 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 對(duì) 于 等 截 面 鉸 接 桿 單 元 ， （ 4-23） 000000 000000 0

17、01001 000000 000000 001001 lAEk e 4.4 梁 單 元 1、 兩 端 承 受 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元圖 4-5i j xy i j xy12 34l F1F2 F3F4l （ 1） 單 元 坐 標(biāo) 單 元 位 移 和 單 元 力 單 元 位 移 TjjiiTe vv 4321 （ 4-24） 其 中 ， vy方 向 位 移 ， 即 撓 度 。 角 位 移 。對(duì) 于 梁 ， =dv/dx （ 4-25） 單 元 力 TjjiiTe MQMQFFFFF 4321 （ 4-26）其 中 ， Q剪 力 M彎 矩對(duì) 于 梁 ， （ 2） 位 移 函 數(shù)

18、 和 形 函 數(shù)設(shè) 單 元 坐 標(biāo) 位 移 模 式 為 342321)( xaxaxaaxv （ 4-28） 位 移 模 式 形 函 數(shù) 由 單 元 兩 端 點(diǎn) 的 節(jié) 點(diǎn) 位 移 條 件 ， 解 出 式 （ 4-28）中 的 a1、 a2、 a3、 a4。 再 代 入 該 式 ， 可 將 位 移 模 式 寫(xiě) 為以 下 形 式 ： 33 22dxvdEIQ dxvdEIM （ 4-27） eNxv )( （ 4-29）式 中 4321 NNNNN （ 4-30） 2324 3323 2322 33231 /)( /)23( /)2(2 /)23( lxlxN lxlxN lxlxxlN lxl

19、xlN （ 4-31） （ 3） 應(yīng) 變 矩 陣 單 元 彎 曲 應(yīng) 變 b與 節(jié) 點(diǎn) 位 移 e的 關(guān) 系 。由 材 料 力 學(xué) 知 ， 梁 單 元 上 任 一 點(diǎn) 的 應(yīng) 變 和 該 點(diǎn) 撓 度 之間 關(guān) 系 為 ： 22dxvdyb （ 4-32）將 式 （ 4-29） 代 入 （ 4-32） ， 得 單 元 彎 曲 應(yīng) 變 和 單 元 位移 之 間 關(guān) 系 （ 4-34） )26()612()46()612( 3 lxllxxllxlyB 4321 BBBBB eb B （ 4-33） （ 4） 應(yīng) 力 矩 陣 eebb SBEE （ 4-35） (5) 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 對(duì) 于 梁

20、 上 作 用 的 集 中 力 或 集 中 力 矩 ， 在 劃 分 單 元 時(shí)可 將 其 作 用 點(diǎn) 取 為 結(jié) 點(diǎn) ， 按 結(jié) 構(gòu) 的 節(jié) 點(diǎn) 載 荷 處 理 。 這 里 考 慮 的 是 把 單 元 上 的 橫 向 分 布 載 荷 轉(zhuǎn) 化 為 等 價(jià)節(jié) 點(diǎn) 力 問(wèn) 題 。 當(dāng) 梁 單 元 上 作 用 有 橫 向 分 布 荷 載 qy(x)時(shí)（ 圖 4-6） ， xyi jl 圖 4-6qy(x) 圖 4-7l xyi jqy(x)i jx dxv(x)qy (x)dx橫 向 分 布 荷 載 qy(x)的 勢(shì) 能 Vq為 ： dxxqN dxxqxvV l yTeTl yS )( )()( eq

21、eT yF （ 4-36） dxxqNF yTleqy )(0形 函 數(shù) 矩 陣 由 式 （ 4-30） 和 （ 4-31） 給 出 。 對(duì) 于 具 體 問(wèn)題 ， 只 要 將 qy(x)代 入 上 式 進(jìn) 行 積 分 即 可 。 表 1給 出 了 幾種 特 殊 情 況 的 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 。荷 載 分 布 Qi Mi Qj Mjql/2 ql2/12 ql/2 - ql2/123ql/20 ql 2/30 7ql/20 - ql2/20ql/4 5ql2/96 ql/4 - 5ql2/96i jqqi jqi j幾 種 橫 向 分 布 荷 載 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 表 1 (6) 單 元 坐

22、 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 梁 單 元 剛 度 矩 陣 公 式 為將 式 （ 4-34） 代 入 上 式 進(jìn) 行 積 分 ， 并 注 意 到Iz梁 截 面 對(duì) Z軸 （ 主 軸 ） 的 慣 性 矩得 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 ke: Az dAyI 2 （ 4-37） dAdxBBEdvBDBk A l Tv Te 0 單 元 剛 度 矩 陣 式 (4-38)適 合 于 連 續(xù) 梁 分 析 。 lEIlEI lEIlEIlEIlEI lEIlEI lEIlEI lEIlEIlEIlEI lEIlEIk zz zzzz zz zz zzzz zze 46 61226 612 26

23、 61246 612 2 232 23 2 232 23 （ 4-38） 2、 兩 端 承 受 軸 力 、 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元i j xy i j xy23 56l1 4 F2F3 F5F6lF1 F4圖 4-8 （ 1） 單 元 坐 標(biāo) 單 元 位 移 和 單 元 力 單 元 位 移 TjjjiiiTe vuvu 654321 （ 4-39） 其 中 ， ux方 向 （ 軸 向 ） 位 移 。 vy方 向 位 移 ， 即 撓 度 。 角 位 移 。 單 元 力 TjjjiiiTe MQNMQNFFFFFFF 654321 （ 4-40）其 中 ， N軸 向 力 Q剪

24、力 M彎 矩 對(duì) 于 小 變 形 問(wèn) 題 ， 可 以 認(rèn) 為 軸 向 變 形 和 彎 曲 變 形互 不 影 響 ， 因 此 ， 位 移 模 式 和 形 函 數(shù) 可 以 分 別 按 4.3節(jié)一 維 鉸 接 桿 單 元 和 4.4節(jié) 兩 端 承 受 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁?jiǎn)?元 的 結(jié) 果 （ 式 4-3和 式 4-28） 簡(jiǎn) 單 集 合 而 成 。 （ 2） 位 移 函 數(shù) 和 形 函 數(shù) 位 移 模 式 （ 4-41） 342321 xaxaxaav xaau 21 以 下 形 函 數(shù) 和 一 些 基 本 矩 陣 都 可 按 此 思 路 推 演 。 形 函 數(shù)式 中 形 函 數(shù) N

25、為 ： eNvuf （ 4-42） 6532 41 00 0000 NNNN NNN （ 4-43） 2326 3325 4 23223 33232 1 /)( /)23( /)( /)2( /)23( /)( lxlxN lxlxN lxxN lxlxxlN lxlxlN lxxN ij其 中 , （ 3） 應(yīng) 變 矩 陣 單 元 彎 曲 應(yīng) 變 與 節(jié) 點(diǎn) 位 移 e的 關(guān) 系 。承 受 軸 向 力 、 剪 力 、 彎 矩 的 梁 單 元 上 任 一 點(diǎn) 的 應(yīng) 變 ，應(yīng) 為 該 點(diǎn) 撓 度 （ v） 引 起 的 應(yīng) 變 和 軸 向 位 移 （ u） 引 起的 應(yīng) 變 之 和 ?？?慮 到

26、 式 （ 4-8） 和 （ 4-34） ， 單 元 應(yīng) 變 矩 陣 為 ： eB 654321 BBBBBBB （ 4-44）)26()612( 1)46( )612(1 2635 423 321 lxlyBlxlyB lBxlyB lxlyBlB ， ， （ 4-45） (5) 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 xyi jl圖 4-9qy(x) （ 4） 應(yīng) 力 矩 陣 ee SBEE （ 4-46）應(yīng) 力 矩 陣 形 式 同 式 （ 4-35） ：qx將 式 （ 4-36） 、 （ 4-11） 膨 脹 成 6 1矩 陣 后 相 加 ，并 注 意 到 式 （ 4-43） ， 有 （ 4-36） dxxqN

27、F yTleqy )(0 dxqNNdxxq NNNNMQNMQN xlljjjiii y 0 310 6532 0000)(00 jie uu （ 4-11） 最 后 得 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 矩 陣 dxqN qN qN qN qN qNMQNMQN l yyxyy x jjjii i 0 65432 1 （ 4-47） 表 2給 出 了 幾 種 特 殊 情 況 的 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 。荷 載 分 布 Ni Qi Mi Nj Qj Mj幾 種 橫 向 分 布 荷 載 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 表 22lqy203 lq y4lqy 122lqy302lqy965 2lqy2lqx 2lqy207

28、 lqy4lqy2lqx 12 2lqy 20 2lqy965 2lqyi jqyqx qyi jqxqyi jqx 2lqx2lqx 2lqx2lqx (6) 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 梁 單 元 剛 度 矩 陣 公 式 為 lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEA lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lEAlEAk zzzz zzzz zzzz zzzze 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 22 2323 22 2323 （ 4-48） 式 (4-48)用 于 分 析 平 面 框 架 。

29、 3、 兩 端 承 受 扭 矩 和 面 外 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元 圖 4-10i jl xyz1 2 453 6 F1 F2 F4F5F3 F6i jl xyz 1 2 3 4 5 6 F1 F2 F3 F4 F5 F6xi yi wi xj yj wj Mxi Myi Qzi Mxj Myj Qzj 此 類 單 元 適 用 于 格 柵 以 及 受 面 外 荷 載 的 平 面 框架 。 之 所 以 仍 稱 為 平 面 梁 單 元 ， 是 由 于 結(jié) 構(gòu) 本 身 是平 面 結(jié) 構(gòu) ， 而 節(jié) 點(diǎn) 也 是 3個(gè) 自 由 度 。x、 Mx截 面 繞 扭 心 軸 的 扭 轉(zhuǎn) 角

30、和 相 應(yīng) 扭 矩 。y、 My截 面 繞 y軸 的 彎 曲 轉(zhuǎn) 角 和 相 應(yīng) 彎 矩 。 w、 Q截 面 形 心 的 橫 向 位 移 和 相 應(yīng) 橫 向 剪 力 。 如 果 截 面 形 心 和 扭 心 不 重 合 ， 則 彎 曲 和 扭 轉(zhuǎn) 之間 是 相 互 不 獨(dú) 立 的 。 例 如 ， 橫 向 剪 力 不 通 過(guò) 扭 心 ，它 會(huì) 引 起 對(duì) 扭 心 軸 的 扭 矩 。 這 里 只 討 論 截 面 形 心 與 扭 心 重 合 或 可 以 近 似 認(rèn)為 重 合 的 情 形 。 則 彎 曲 和 扭 轉(zhuǎn) 之 間 是 相 互 獨(dú) 立 的 。 此 外 ， 這 里 的 扭 轉(zhuǎn) 限 于 純 扭 轉(zhuǎn)

31、或 稱 均 勻 扭 轉(zhuǎn) 。 其特 點(diǎn) 是 扭 矩 和 扭 率 （ 單 位 長(zhǎng) 度 上 的 相 對(duì) 扭 轉(zhuǎn) 角 ） 成 正比 。 即 lGJM xixjxj （ 4-49）扭 矩 平 衡 條 件 0 xjxi MM （ 4-50）由 此 得 )( )( xjxixj xjxixi lGJM lGJM （ 4-51）式 中 GJ為 截 面 扭 轉(zhuǎn) 剛 度 。 只 需 要 將 式 （ 4-48） 中 的 Iz換 成 Iy， 并 注 意 編 號(hào) 次 序 。同 時(shí) 考 慮 到 式 （ 4-51） ， 即 得 3232 22 3232 22 12601260 640620 0000 12601260 62

32、0640 0000 lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lGJlGJ lEIlEIlEIlEI lEIlEIlEIlEI lGJlGJk yyyy yyyy yyyy yyyye （ 4-52） 4、 空 間 梁 單 元 空 間 梁 單 元 ， 每 個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 有 6個(gè) 自 由 度 ， 單 元 自 由 度為 12。 圖 4-11給 出 了 空 間 梁 單 元 節(jié) 點(diǎn) 位 移 分 量 的 正 方 向及 其 編 號(hào) 。 單 元 力 的 正 向 及 其 編 號(hào) 與 單 元 位 移 相 同 。i jl xyz u ixi viyiwizi vjyjwjzj uj xj圖 4-11a i

33、 jl xyz 14 2536 811912 7 10圖 4-11b 綜 合 前 述 結(jié) 果 ， 得 空 間 梁 單 元 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛度 矩 陣 (式 4-53） （ 式 4-57） 。 43 21 kk kkk e （ 4-53） lEIlEI lEIlEI lGJ lEIlEI lEIlEIlEAk zz yy yy zz 400060 040600 00000 0601200 6000120 00000 2 2 23 231 （ 4-54） lEIlEI lEIlEI lGJ lEIlEI lEIlEIlEAk zz yy yy zz 200060 020600 00000

34、 0601200 6000120 00000 2 2 23 232 （ 4-55） lEIlEI lEIlEI lGJ lEIlEI lEIlEIlEAk zz yy yy zz 200060 020600 00000 0601200 6000120 00000 2 2 23 233 （ 4-56） lEIlEI lEIlEI lGJ lEIlEI lEIlEIlEAk zz yy yy zz 400060 040600 00000 0601200 6000120 00000 2 2 23 234 （ 4-57） 4.5 單 元 特 性 在 兩 類 坐 標(biāo) 系 中 的 轉(zhuǎn) 換 在 4.3、 4

35、.4節(jié) 中 ， 單 元 位 移 和 單 元 力 都 是 按 單 元坐 標(biāo) 系 的 坐 標(biāo) 軸 分 量 定 義 的 ， 由 此 建 立 的 單 元 剛 度 矩陣 屬 于 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 。 進(jìn) 行 系 統(tǒng) 分 析 時(shí) ， 需 要 把 單 元 力 按 統(tǒng) 一 的 結(jié) 構(gòu) 坐標(biāo) 軸 的 分 量 表 示 出 來(lái) ， 以 便 建 立 節(jié) 點(diǎn) 平 衡 方 程 。 因 此 ，在 進(jìn) 行 系 統(tǒng) 分 析 之 前 ， 必 須 把 單 元 坐 標(biāo) 系 中 的 單 元 力以 及 單 元 剛 度 矩 陣 都 轉(zhuǎn) 換 到 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 去 。 此 外 ，還 需 要 把 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo)

36、系 中 的 節(jié) 點(diǎn) 位 移 轉(zhuǎn) 換 到 單 元 坐 標(biāo) 系中 去 ， 以 計(jì) 算 結(jié) 構(gòu) 內(nèi) 力 。 因 此 了 解 坐 標(biāo) 變 換 是 必 要 的 。 設(shè) XYZ為 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) （ 整 體 ） 系 ， xyz為 單 元 （ 局部 ） 坐 標(biāo) 系 ， 約 定 下 列 符 號(hào) ： 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 位 移 F結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 力 k結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 1、 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 定 義 把 單 元 位 移 從 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 轉(zhuǎn) 換 到 單 元 坐 標(biāo) 系 的 變換 矩 陣 定 義 為 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 ， 用 符 號(hào) R表 示 。 有繼 續(xù) 使

37、用 前 單 元 坐 標(biāo) 中 的 符 號(hào) ：e單 元 坐 標(biāo) 單 元 位 移Fe單 元 坐 標(biāo) 單 元 力 ke單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 式 （ 4-58） 給 出 了 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 位 移 轉(zhuǎn) 換 為 單 元坐 標(biāo) 單 元 位 移 的 轉(zhuǎn) 換 式 ， 同 時(shí) 是 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R的定 義 式 。 本 節(jié) 只 了 解 R的 存 在 和 概 念 ， 有 關(guān) 坐 標(biāo) 變換 矩 陣 R 的 具 體 形 式 、 內(nèi) 容 留 在 4.6節(jié) 中 專 門 討 論 。 2、 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 力 單 元 力 在 單 元 位 移 上 作 的 功 ， 不 因 其 坐 標(biāo) 系

38、的 改變 而 變 。 則 有 TeTe FF )( Re （ 4-58） 將 式 （ 4-58） 代 入 ， TTe FRF )(對(duì) 上 式 兩 端 進(jìn) 行 轉(zhuǎn) 置 ， 注 意 到 TTT ABBA 消 去 ， 得 TTe FRF )(即 得 eT FRF （ 4-59）式 （ 4-59） 表 明 ： 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 力 等 于 單 元 坐 標(biāo) 單 元力 前 乘 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 的 轉(zhuǎn) 置 。 必 須 指 出 ： 式 （ 4-58） 是 從 整 體 （ 結(jié) 構(gòu) ） 坐 標(biāo) 系到 局 部 （ 單 元 ） 坐 標(biāo) 系 的 變 換 式 ； 式 （ 4-59） 是 從 局部 （ 單 元

39、 ） 坐 標(biāo) 系 到 整 體 （ 結(jié) 構(gòu) ） 坐 標(biāo) 系 的 變 換 式 。在 單 元 坐 標(biāo) 系 中 ， 有 eee kF 3、 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣上 式 兩 端 左 乘 RT， eeTeT kRFR 注 意 到 式 （ 4-58） 、 （ 4-59） ， 有 R e （ 4-58） eT FRF （ 4-59） RkRF eT kF k結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 。并 有 RkRk eT （ 4-60） 式 （ 4-60） 給 出 了 把 單 元 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 轉(zhuǎn) 換為 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 單 元 剛 度 矩 陣 的 轉(zhuǎn) 換 式 。 4.6 坐

40、 標(biāo) 變 換 矩 陣 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 因 單 元 類 型 不 同 而 異 。 1、 平 面 鉸 接 桿 單 元 設(shè) OXY為 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) ， oxy為 單 元 坐 標(biāo) 。 為 任 意單 元 i 端 的 任 一 矢 量 。 它 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 分 量 為X、 Y； 在 單 元 坐 標(biāo) 系 中 的 分 量 為 x、 y。 X、 Y 在單 元 坐 標(biāo) x軸 上 投 影 的 代 數(shù) 和 給 出 x 。 同 理 ， X、 Y 在 單 元 坐 標(biāo) y軸 上 投 影 的 代 數(shù) 和 給 出 y 。由 圖 4-12得 ： XY xy XY xy i圖 4-12 cossin sin

41、cos YXy YXx （ 4-61）寫(xiě) 成 矩 陣 形 式 ， YXyx cossin sincos取 ejjeii vuvu ,得 jjiiejjii vuvuvuvu cossin00 sincos00 00cossin 00sincos 上 式 可 寫(xiě) 成 Re 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R的 具 體 內(nèi) 容 為 ：用 節(jié) 點(diǎn) 坐 標(biāo) 描 述 方 向 余 弦 ： （ 4-62） cossin00 sincos00 00cossin 00sincosR l YYl XX ijij sin,cos （ 4-62a） 式 中 ， （ Xi， Yi） 和 （ Xj， Yj） 分 別 為 節(jié) 點(diǎn)

42、I和 節(jié) 點(diǎn) j在結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 值 。 2、 兩 端 承 受 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元 如 果 在 連 續(xù) 梁 中 使 用 這 類 單 元 ， 通 常 可 將 單 元坐 標(biāo) 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 取 得 一 致 。 此 時(shí) ， 無(wú) 須 進(jìn) 行 坐 標(biāo) 變換 。 3、 兩 端 承 受 軸 力 、 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元 此 時(shí) ， 節(jié) 點(diǎn) 自 由 度 為 3， 見(jiàn) 圖 4-13。 i j xy23 56l1 4圖 4-13 注 意 單 元 坐 標(biāo) 系 xy平 面 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XY平 面 在 同一 平 面 上 ， 因 而 單 元

43、 坐 標(biāo) 系 z軸 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 的 Z軸 總有 相 同 指 向 ， 所 以 恒 有 ： ZzZz MM 線 位 移 的 坐 標(biāo) 變 換 式 和 平 面 鉸 接 桿 完 全 相 同 。 于 是得 到 ： 100000 0sincos000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos R （ 4-63） zjjjziiiezjjjziii vuvuRvuvu i j xyz 4、 兩 端 承 受 扭 矩 和 面 外 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元 此 時(shí) ， xy平 面 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XY平 面 仍 在 同 一 平 面上 ， 因

44、 而 z軸 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 的 Z軸 指 向 相 同 ， 只 須 取l圖 4-14xi xjyi yjWi WjXYZ在 單 元 坐 標(biāo) 系 中 ， 單 元 每 個(gè) 節(jié) 點(diǎn) （ 如 i） 有 3個(gè) 位 移 分量 ： xi、 yi和 wi ， 它 的 變 換 式 和 承 受 軸 力 、 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單元 （ 圖 4-13） 中 向 量 eiivu 的 變 換 式 相 同 。 并 且 ， 恒 有 iei WW i j x yvii vjjlui uj圖 4-13eyixi 向 量， 其 變 換 和 承 受 軸 力 、 剪 力 、 彎 矩 的 平 面 梁 單 元 中

45、的 iei 相 同 。 由 此 知 ： jYjXjiYi Xie jyjxjiyi xie WWRRWW 5、 空 間 鉸 接 桿 單 元 空 間 鉸 接 桿 單 元 的 每 個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 有 3個(gè) 相 互 垂 直 的 線位 移 分 量 （ u、 v、 w） 。 單 元 自 由 度 為 6， 如 圖 4-15。其 中 ， 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R的 內(nèi) 容 與 式 （ 4-63） 相 同 。 xyz i j圖 4-15 設(shè) 向 量 （ 圖 4-16） 在 單 元 坐 標(biāo) 系 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系兩 個(gè) 坐 標(biāo) 系 中 的 分 量 被 表 示 為 ：1 23 456（ 1） 一 般 空 間 鉸

46、 接 桿 單 元一 般 空 間 鉸 接 桿 單 元 指 非 豎 直 桿 單 元 。 XYZ xyz 圖 4-16 ZYXzyxe ,x、 y、 z、 向 量 在 單 元 坐 標(biāo) 軸 上 的 分 量X、 Y、 Z、 向 量 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 軸 上 的 分 量 有 333231 232221 131211 （ 4-65） 是 坐 標(biāo) 系 的 旋 轉(zhuǎn) 矩 陣 ， 是 單 元 坐 標(biāo) 軸 x、 y、 z在結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XYZ中 的 方 向 余 弦 ：11、 12、 13x軸 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XYZ中 的 方 向 余 弦21、 22、 23y軸 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XYZ中 的 方

47、 向 余 弦31、 32、 33z軸 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XYZ中 的 方 向 余 弦 e （ 4-64） 容 易 理 解 ， 式 （ 4-64） 可 代 表 空 間 鉸 接 桿 中 一 個(gè)節(jié) 點(diǎn) 的 節(jié) 點(diǎn) 位 移 坐 標(biāo) 變 換 。 空 間 鉸 接 桿 單 元 有 2個(gè) 節(jié)點(diǎn) ， 所 以 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 一 般 可 表 示 為 ： 0 0R （ 4-66）下 面 討 論 矩 陣 中 ， 元 素 ij(i=1、 2、 3， j=1、 2、 3)。 對(duì) 于 空 間 鉸 接 桿 單 元 ， 無(wú) 論 單 元 在 結(jié) 構(gòu) 中 的 位 置如 何 ， 都 可 以 把 單 元 坐 標(biāo) 系 的

48、xy面 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 的XY面 取 成 豎 向 平 面 ， 單 元 坐 標(biāo) 系 的 z軸 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系的 Z軸 同 在 水 平 面 內(nèi) （ 圖 4-17） 。 xyz XYZ 圖 4-17 i j l jx軸 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 3個(gè) 方 向 余 弦 ：jXjZ任 一 單 元 ij的 長(zhǎng) 度 為 l。 單 元 坐 標(biāo) 系 中 x軸 從 i指 向 j， l ZZl YYl XX ijijij 131211 , （ 4-67）Xi、 Yi、 Zi節(jié) 點(diǎn) i在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo)Xj、 Yj、 Zj節(jié) 點(diǎn) j在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo)z軸

49、在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 3個(gè) 方 向 余 弦 ： 注 意 到 Y軸 、 x軸 和 線 段 ij在 同 一 豎 直 平 面 內(nèi) 。 z軸 在 水 平 面 內(nèi) ， z軸 與 Y軸 垂 直 ， z軸 也 與 線 段 ij垂 直 。z軸 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 3個(gè) 方 向 余 弦 為 ： sin)2cos(),cos( 31 Xz 22 )()( ijij ijX ZZXX ZZjijj 代 入 式 （ 4-67） ， 得 2132111331 02cos),cos(32 Yz 2132111133 cos),cos( Zz （ 4-68）y軸 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 3個(gè)

50、方 向 余 弦 ： 引 入 記 號(hào) ： i1、 i2、 i3結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 3個(gè) 坐 標(biāo) 軸 方 向 的 單 位 矢 量e1、 e2、 e3單 元 坐 標(biāo) 系 中 3個(gè) 坐 標(biāo) 軸 方 向 的 單 位 矢 量 有 3132121111 iiie 3232221212 iiie 3332321313 iiie 因 為 單 元 坐 標(biāo) 系 是 右 手 螺 旋 坐 標(biāo) 系 ， 故 有 132 eee 按 矢 量 乘 法 規(guī) 則 ， 即 得 131211 3331 3212 0 iiie 31231213311133112332 )()()( iiie 于 是 得 213211 1312123

51、123 2132111331113322 213211 1211123321 （ 4-69）綜 合 式 （ 4-67） 、 （ 4-68） 、 （ 4-69） ， 得 空 間 鉸 接桿 單 元 的 矩 陣 21321111213211 13 213211 1312213211213211 1211 131211 0 （ 4-70） 綜 上 所 述 ， 一 般 空 間 鉸 接 桿 單 元 的 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣由 式 （ 4-66） 、 （ 4-70） 、 （ 4-67） 確 定 。 必 須 指 出 ： 對(duì) 于 豎 直 空 間 鉸 接 桿 單 元 ， 式 （ 4-70）是 不 能 用 的 ，

52、 因 為 112+ 132 =0， 將 導(dǎo) 致 計(jì) 算 溢 出 。 （ 2） 豎 直 空 間 鉸 接 桿 單 元 豎 直 的 空 間 鉸 接 桿 單 元 不 外 有 圖 4-18示 出 的 兩 種情 況 ： XYZ ijx yzXYZ i jxy z 圖 4-18（ a） （ b） 對(duì) 于 豎 直 的 空 間 鉸 接 桿 單 元 ， 單 元 坐 標(biāo) 系 中 的 z軸 方 向 沒(méi) 有 特 殊 限 制 ， 水 平 面 內(nèi) 任 何 方 向 皆 可 取 作 z軸 方 向 。 為 了 計(jì) 算 簡(jiǎn) 便 起 見(jiàn) ， 這 里 規(guī) 定 ： z軸 方 向 與 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 Z軸 方 向 相 同 。

53、根 據(jù) 圖 4-18容 易 確 定 單 元 坐 標(biāo) 軸 x、 y、 z在 結(jié) 構(gòu)坐 標(biāo) 系 中 的 方 向 余 弦 ， 從 而 直 接 得 到 矩 陣 ： 100 00 0012 12 （ 4-71） 式 （ 4-71） 對(duì) 于 圖 4-18中 的 兩 種 情 況 都 適 用 。 對(duì)（ a） 圖 ， 12=1； 對(duì) （ b） 圖 ， 12=-1。 豎 直 空 間 鉸 接 桿 單 元 的 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R與 一般 空 間 鉸 接 桿 單 元 之 不 同 ， 在 于 應(yīng) 使 用 式 （ 4-71）而 不 要 使 用 式 （ 4-70） 去 計(jì) 算 矩 陣 。 6、 空 間 梁 單 元 和

54、 空 間 鉸 接 桿 單 元 比 較 ， 空 間 梁 單 元 有 以 下 兩個(gè) 特 點(diǎn) ：特 點(diǎn) 1： 每 個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 有 沿 單 元 坐 標(biāo) 軸 方 向 的 兩 組 位 移 向 量 ， 即 線 位 移 （ u i、 vi、 wi） 和 角 位 移 （ xi、 yi、 zi） 。 它 們 都 需 要 坐 標(biāo) 變 換 。 特 點(diǎn) 2： 空 間 梁 單 元 單 元 坐 標(biāo) 系 中 的 y、 z軸 是 單 元 橫 截 面 上 的 兩 個(gè) 慣 性 主 軸 ， 可 能 是 不 能 任 意 確 定 的 ， 因 而 無(wú) 法 保 證 z軸 一 定 在 水 平 面 內(nèi) ， 即 在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 X

55、Z平 面 內(nèi) 。 這 就 導(dǎo) 致 矩 陣 的 計(jì) 算 變 得 比 空 間 鉸 接 桿 復(fù) 雜 得 多 。因 此 ， 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 應(yīng) 為 ： R 00 （ 4-72） 式 （ 4-72） 表 明 了 它 和 鉸 接 桿 單 元 式 （ 4-66） 的第 一 項(xiàng) 區(qū) 別 。 （ 1） 可 以 使 用 空 間 鉸 接 桿 單 元 矩 陣 的 梁 單 元 具 有 軸 對(duì) 稱 截 面 的 梁 單 元 這 時(shí) ， 截 面 內(nèi) 過(guò) 形 心 的 任 一 根 軸 皆 可 作 為 慣 性 主 軸 。因 而 ， 恒 可 z軸 取 在 水 平 面 內(nèi) 。 對(duì) 于 豎 直 空 間 梁 單 元 ， 也 可 使

56、 z軸 與 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 的Z軸 重 合 。 因 而 可 用 豎 直 鉸 接 桿 單 元 的 矩 陣 （ 式 （ 4-67） 、 （ 4-71） ） 。 截 面 有 一 根 形 心 軸 在 水 平 面 內(nèi) 這 時(shí) ， 可 使 用 一 般 空 間 鉸 接 桿 單 元 的 矩 陣 （ 式（ 4-70） 、 （ 4-67） ） 進(jìn) 行 計(jì) 算 。 必 須 指 出 ， 如 果 是單 元 是 豎 直 的 ， 只 要 不 能 保 證 z軸 與 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 Z以 下 兩 種 情 況 可 以 使 用 鉸 接 桿 單 元 的 矩 陣 。 軸 重 合 ， 都 不 能 使 用 豎 向 鉸 接

57、桿 單 元 的 矩 陣 。 （ 2） 截 面 慣 性 主 軸 無(wú) 一 在 水 平 面 內(nèi) 的 空 間 梁 單 元 不 能 使 用 空 間 鉸 接 桿 單 元 矩 陣 的 情 形 設(shè) 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 XYZ， 單 元 坐 標(biāo) 系 xyz。 y、 z是 梁 截面 的 兩 個(gè) 慣 性 主 軸 （ 圖 4-19a）y z XYZ (a) 圖 4-19x XYZ xy z(b)圖 4-19 1e3e2e 在 單 元 坐 標(biāo) 系 的 3個(gè) 坐 標(biāo) 軸 上 分 別 取 3個(gè) 單 位 矢量 ： e1、 e2、 e3。 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 3個(gè) 坐 標(biāo) 軸 上 的 單 位矢 量 為 i1、 i2、 i3

58、 。y z XYZ (a) x XYZ xy z3e2e 3132121111 iiie 3232221212 iiie 3332321313 iiie 11、 12 、 13由 式 （ 4-67） 確 定 ， 是 已 知 的 ，即 e1是 已 知 的 。 現(xiàn) 在 只 須 計(jì) 算 e2、 e3。 為 此 ， 在 主 慣性 平 面 xy上 任 取 一 參 考 點(diǎn) k， k點(diǎn) 不 能 在 x軸 上 ， k點(diǎn) 在結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 記 為 （ Xk、 Yk、 Zk） 。i j1ek 沿 線 段 i k方 向 取 單 位 向 量 g， g在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中的 3個(gè) 方 向 余

59、弦 是 ：g k ikk ikk ik D ZZgD YYgD XXg 321 , （ 4-73）222 )()()( ikikikk ZZYYXXD （ 4-74）因 z軸 與 xy平 面 垂 直 ， 故 有g(shù)e gee 113 （ 4-75）再 從 右 手 螺 旋 直 角 坐 標(biāo) 系 條 件 確 定 e2， （ 4-76）132 eee 下 面 ， 用 式 （ 4-75） 、 （ 4-76） 計(jì) 算 各 有 關(guān) 值 。 321 131211 3211 ggg iiige 312111221131311132123 )()()( iggiggigg 記則 332211113 iAAiAAiA

60、Age gee 11213121321211 , ggAggA 2322211211123 , AAAAggA （ 4-77） 故 AAAAAA /,/,/ 333232131 （ 4-78）最 后 ， 用 式 （ 4-76） 計(jì) 算 21、 22 、 23 。 131211 333231 321132 iiieee 311321231 213311133112331332 )( )()( i ii 把 式 （ 4-78） 代 入 后 ， 得 AAA AAA AAA /)( /)( /)( 11212123 13111322 12313221 （ 4-79） 333231 232221 131

61、211 （ 4-80）綜 合 上 述 結(jié) 果 ， 一 般 空 間 梁 單 元 的 矩 陣 為 ：矩 陣 中 的 各 元 素 分 別 由 式 （ 4-67） 、 （ 4-74） 、 （ 4-77） 、 （ 4-78） 和 （ 4-79） 計(jì) 算 。 然 后 ， 代 入 式 （ 4-72） 計(jì) 算 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R。 具 體 計(jì) 算 步 驟 如 下 ： 1 按 照 節(jié) 點(diǎn) i和 j在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 值 ， 用 式 （ 4-67） 算 出 11、 12和 13 。2 由 給 定 的 xy平 面 上 的 任 一 點(diǎn) k在 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 值 ， 用

62、式 （ 4-73） 、 （ 4-74） 算 g1、 g2和 g3 。3 用 式 （ 4-77） 算 A1、 A2、 A3 和 A。4 用 式 （ 4-79） 和 （ 4-78） 算 矩 陣 中 的 第 2行 和 第 3行 。5 用 式 （ 4-72） 完 成 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R。最 后 指 出 兩 點(diǎn) ： 參 考 點(diǎn) k不 能 取 在 x軸 上 ， 否 則 e 1和 g共 線 ， e1 g=0； 用 式 （ 4-80） 建 立 的 矩 陣 也 適 合 于 豎 直 梁 單 元 ，包 括 中 a)、 b)兩 種 情 形 在 內(nèi) 。本 章 小 結(jié)2、 建 立 起 單 元 坐 標(biāo) 系 ， 推

63、演 出 單 元 坐 標(biāo) 單 元 特 性 矩 陣 ： 應(yīng) 力 矩 陣 S、 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 力 列 陣 F e、 單 元 剛 度 矩 陣 ke等 。1、 取 桿 件 與 桿 件 交 點(diǎn) 、 集 中 力 作 用 點(diǎn) 、 桿 件 與 支 承 的 交 點(diǎn) 為 節(jié) 點(diǎn) 。 相 鄰 兩 節(jié) 點(diǎn) 間 的 桿 件 段 是 單 元 。 節(jié) 點(diǎn) 和 單 元 都 要 編 號(hào) 。 記 錄 下 節(jié) 點(diǎn) 、 單 元 基 本 信 息 。 3、 建 立 單 元 坐 標(biāo) 和 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 兩 類 坐 標(biāo) 系 中 單 元 特 性 的 轉(zhuǎn) 換 公 式 Re （ 4-58） eT FRF （ 4-59） RkRk eT （ 4-6

64、0）4、 建 立 不 同 類 型 桿 件 單 元 的 坐 標(biāo) 變 換 矩 陣 R5、 本 章 最 終 結(jié) 果 是 得 到 結(jié) 構(gòu) 坐 標(biāo) 系 中 的 單 元 剛 度 矩 陣 k和 等 價(jià) 節(jié) 點(diǎn) 荷 載 矩 陣 F。 通 過(guò) 本 章 學(xué) 習(xí) ， 為 后 面 組 集 結(jié) 構(gòu) 剛 度 矩 陣 、結(jié) 構(gòu) 節(jié) 點(diǎn) 荷 載 列 陣 打 下 了 基 礎(chǔ) 。 第 四 章 完 xy12 34 xyq1q2 q3q4 XYZ ijx yzXYZ i jxy z圖 4-17（ a） （ b） 肚 松 衯 宸 /ERP鏂 噡 1/2001騫 寸15鏈 ?-灝 忕 櫧 榧 犲 拰ERP.files/cio.gif 冩

65、 ?=/ERP鏂噡 1/2001騫 寸15鏈 ?-灝 忕 櫧榧 犲 拰 ERP.files/email.gif冩 ?A/ERP鏂 噡 1/2001騫 寸15鏈 ?-灝 忕 櫧 榧 犲 拰 ERP.files/imgr_logo.gif 冭 聖 杁/ERP鏂 噡 1/2001騫 寸15鏈 ?-灝 忕 櫧 榧 犲 拰ERP.files/logo.gif 冩 碝 ?D/ERP鏂 噡 1/2001騫 寸15鏈 ?-灝 忕櫧 榧 犲 拰ERP.files/logo_compute.gif 冭 ?疘 :/ERP鏂 噡 1/2001騫 寸17鏈 ?-鏂 版 湇 鍔 粡 嫻 庢 誕鐜 ?files/ F/ER

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