第05章 市場風(fēng)險(xiǎn):波動(dòng)率
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1、王 鵬 博士西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院Chapter 05 市 場 風(fēng) 險(xiǎn) : 波 動(dòng) 率 Copyright Wang Peng, 20102/76 引 言v對金融市場波動(dòng)性的研究是現(xiàn)代金融理論的核心內(nèi)容之一。v波動(dòng)性不僅是金融風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的決定因素,還是金融衍生產(chǎn)品定價(jià)中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。v能否對市場波動(dòng)做出準(zhǔn)確的刻畫和預(yù)測,直接關(guān)系到風(fēng)險(xiǎn)管理的有效性和衍生產(chǎn)品定價(jià)的合理性等重要問題。 Copyright Wang Peng, 20103/76 內(nèi) 容 提 要v波動(dòng)率的定義v采用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率v收益率是否服從正態(tài)分布v監(jiān)測日波動(dòng)率v指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型vGARCH模型、隨機(jī)波動(dòng)模型、隱含波動(dòng)率模型
2、、實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型v模型選擇和極大似然估計(jì) Copyright Wang Peng, 20104/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v波動(dòng)率:單位時(shí)間內(nèi)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差v期權(quán)定價(jià):一年v風(fēng)險(xiǎn)控制:一天v不同期限波動(dòng)率之間的轉(zhuǎn)換:時(shí)間的平方根規(guī)則 Copyright Wang Peng, 20105/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義vExamplev一股票價(jià)格為50美元,其波動(dòng)率為每年30,對應(yīng)于每周的價(jià)格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)差近似為:v因此,股票價(jià)格每周變化的標(biāo)準(zhǔn)差為500.0416,即2.08美元。30% 152 4.16% Copyright Wang Peng, 20106/76
3、5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v方差變化率v方差:波動(dòng)率的平方v波動(dòng)率與時(shí)間的平方根成正比v方差與時(shí)間本身成正比 Copyright Wang Peng, 20107/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v交易天數(shù)與日歷天數(shù)v計(jì)算波動(dòng)率時(shí),應(yīng)該采用交易天數(shù) or 日歷天數(shù)?v研究人員證明:價(jià)格在交易時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)比無交易時(shí)間的波動(dòng)大得多,所以采用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率時(shí),應(yīng)該忽略無交易的天數(shù)v美國:約252個(gè)交易日v中國:約250個(gè)交易日 Copyright Wang Peng, 20108/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v若為某資產(chǎn)的年波動(dòng)率year,day為相應(yīng)的日波動(dòng)率,則:v或252
4、year day 250year day Copyright Wang Peng, 20109/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v思考:波動(dòng)率由何而來? 圖6-1 標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和上證綜指收益率的波動(dòng)情況 Copyright Wang Peng, 201010/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v一個(gè)自然假設(shè):波動(dòng)率是由到達(dá)市場的新信息引起v上述假設(shè)并未得到實(shí)證研究(Fama,1965;French,1980;French and Roll,1980)的支持vFama等學(xué)者的研究思路:v計(jì)算(1)中間不含非交易日時(shí),一個(gè)交易日結(jié)束到下一個(gè)交易日結(jié)束時(shí)股票價(jià)格收益率的方差;(2)周五收
5、盤到下周一收盤時(shí)收益率的方差 Copyright Wang Peng, 201011/76 5.1 波 動(dòng) 率 的 定 義v若假設(shè)成立,第(2)項(xiàng)方差應(yīng)為第(1)項(xiàng)方差的3倍v實(shí)證研究結(jié)論:第(2)項(xiàng)方差為第(1)項(xiàng)方差的1.22倍、1.19倍、1.107倍v這樣結(jié)果出現(xiàn)的原因是否在于開盤時(shí)有更多新信息?vRoll(1984)對橙子期貨價(jià)格的類似研究并不支持這樣的解釋 Copyright Wang Peng, 201012/76 5.2 采 用 歷 史 數(shù) 據(jù) 估 計(jì) 波 動(dòng) 率v假定樣本數(shù)據(jù)為日數(shù)據(jù)v步驟:v(1)計(jì)算樣本期內(nèi)每天的連續(xù)復(fù)利收益率rt;v(2)計(jì)算rt的標(biāo)準(zhǔn)差;v(3)根據(jù)“
6、時(shí)間的平方根”法則對進(jìn)行調(diào)整。v計(jì)算實(shí)例:HS300.xls 2111 n t ii r rn (6-1) Copyright Wang Peng, 201013/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布vEMH和Black-Scholes模型:v資產(chǎn)價(jià)格為獨(dú)立連續(xù)變化,波動(dòng)率為常數(shù)v這意味著在任意時(shí)間t內(nèi),收益率均服從正態(tài)分布且標(biāo)準(zhǔn)差為:v現(xiàn)實(shí)是這樣的嗎?t Copyright Wang Peng, 201014/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 v擇時(shí)交易的小概率困境Real World (%) Normal Model (%)1 SD 25.04
7、31.732 SD 5.27 4.553 SD 1.34 0.274 SD 0.29 0.015 SD 0.08 0.006 SD 0.03 0.00 表6-1 價(jià)格變化大于16個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的天數(shù)占全部觀察日的比例注 : 表 中 , SD表 示 價(jià) 格 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。資 料 來 源 : H ull J, White A. Journal of Derivatives, 1998, 5(3): 9-19. Copyright Wang Peng, 201015/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v資產(chǎn)日收益率并不服從正態(tài)分布,差異主要表現(xiàn)在:v(1)實(shí)際分布的尾部較
8、正態(tài)分布更厚v(2)分布的尖峰較正態(tài)分布更高v意味著什么?v金融市場中,較小的價(jià)格變化和較大的價(jià)格變化出現(xiàn)的概率往往大于正態(tài)分布下的情況! Copyright Wang Peng, 201016/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 圖6-3 正態(tài)分布與某一厚尾分布的比較 Copyright Wang Peng, 201017/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v正態(tài)分布的代替:冪律分布(Power law)v對于變量v,當(dāng)x很大時(shí):Prob(v x) = Kx-av其中,K 和 a 為常數(shù)。v(6-2)式已被證明適用于許多變量,如個(gè)人收入、城市規(guī)模和
9、網(wǎng)頁被點(diǎn)擊的次數(shù)等。(6-2) Copyright Wang Peng, 201018/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v由式(6-2):ln Prob(v x) = ln K a lnxv可以通過lnProb(v x) lnx的線性關(guān)系來驗(yàn)證式(6-2)x lnx Prob(vx) lnProb(vx) x lnx Prob(vx) lnProb(vx)1 0.000 0.12520 -2.078 4 1.386 0.00145 -6.536 2 0.693 0.02635 -3.636 5 1.609 0.00040 -7.8243 1.099 0.00670 -5
10、.006 6 1.792 0.00015 -8.805表6-2 由表6-1得出的數(shù)值 Copyright Wang Peng, 201019/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布 圖6-4 基于表6-1的雙對數(shù)圖 Copyright Wang Peng, 201020/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v圖6-4表明,價(jià)格變化大于x個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率的對數(shù)與ln x呈線性關(guān)系,這說明了冪律的正確性。v利用x3,4,5,6的數(shù)據(jù),可以得出最優(yōu)擬合曲線為:v即: ln Pr 1.06 5.51lnv x x 1.06 2.88K e 5.51 Copyrigh
11、t Wang Peng, 201021/76 5.3 收 益 率 是 否 服 從 正 態(tài) 分 布v一個(gè)大于4.5倍標(biāo)準(zhǔn)差的變化(可正可負(fù))出現(xiàn)的概率為:v一個(gè)大于7倍標(biāo)準(zhǔn)差的變化(可正可負(fù))出現(xiàn)的概率為:5.512 2.88 4.5 0.00146 5.512 2.88 7 0.0000642 Copyright Wang Peng, 201022/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動(dòng) 率v日波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)與實(shí)際嚴(yán)重不符v可以利用最新價(jià)格不斷更正對波動(dòng)率的估計(jì),從而得到每天不同的波動(dòng)率v計(jì)算實(shí)例:HS300.xlsv對式(6-1)的調(diào)整:v(1)令 ;(2)用n代替n-1v調(diào)整后:0r 2 2
12、11 nt t ii rn (6-3) Copyright Wang Peng, 201023/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動(dòng) 率v加權(quán)權(quán)重v式(6-3):不同滯后期發(fā)生的各種事件對未來波動(dòng)率都具有相同權(quán)重的影響v缺陷:幽靈效應(yīng)(Ghost effect)v金融市場中,不同時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)對于未來波動(dòng)率會(huì)有不同程度的影響,即越是近期的數(shù)據(jù),對于未來波動(dòng)的影響應(yīng)該越大。 Copyright Wang Peng, 201024/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動(dòng) 率v對(6-3)的一個(gè)自然改進(jìn):v其中,權(quán)重系數(shù)ai隨滯后期數(shù)i的增加而減小,且2 21nt i t ii r 1 2 1n (6-4)i
13、 j 當(dāng)i j 時(shí), Copyright Wang Peng, 201025/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動(dòng) 率v假定存在某一長期平均方差VL,則可將式(6-4)寫為:v其中,為VL所對應(yīng)的權(quán)重,且繼續(xù)有:2 21nt L i t iiV r 1 1n ii (6-5) Copyright Wang Peng, 201026/76 5.4 監(jiān) 測 日 波 動(dòng) 率v式(6-5):ARCH(n) 模型Engle(1982)vARCH(n):方差的估計(jì)值與長期平均方差以及最近n個(gè)觀察值有關(guān),且觀察數(shù)據(jù)越久遠(yuǎn),其權(quán)重越小。v令 ,有: LV 2 21nt i t ii r Copyright Wan
14、g Peng, 201027/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動(dòng) 平 均 模 型v指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型EWMA:式(6-4)的一個(gè)特殊形式,其中的權(quán)重系數(shù)ai隨滯后時(shí)期延長而按指數(shù)速度衰減:v其中,為一取值為01的常數(shù)v由此出發(fā),波動(dòng)率估計(jì)模型可以表示為: 1i i 2 2 2 1 21 1 11 1 n it t t t iir r Copyright Wang Peng, 201028/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動(dòng) 平 均 模 型v歷史信息對于未來波動(dòng)的影響隨時(shí)間間隔增大而衰減的速度通過衰減因子(decay factor)反映。v一個(gè)較大的值意味著歷史信息對于未來波動(dòng)影響的衰減速
15、度較慢,而一個(gè)較小的值意味著這一衰減速度較快。 vEWMA模型中的波動(dòng)率估計(jì)完全依賴于其中的唯一參數(shù)衰減因子 ,這給該模型的應(yīng)用帶來了較大便利。v但 究竟取何值合適并沒有一致的標(biāo)準(zhǔn),并且保持常數(shù)顯然與市場的時(shí)變波動(dòng)特征相抵觸。 Copyright Wang Peng, 201029/76 5.5 指 數(shù) 加 權(quán) 移 動(dòng) 平 均 模 型vJ.P. Morgan投資銀行開發(fā)的RiskMetrics技術(shù)曾建議將取為0.94,但該技術(shù)在金融風(fēng)險(xiǎn)測度領(lǐng)域中的糟糕表現(xiàn),說明這一取值并不具備較強(qiáng)的合理性和實(shí)用性。 v另外,EWMA模型還隱含著未來各期波動(dòng)率的期望值都是當(dāng)前的波動(dòng)率水平,即 ,這顯然忽視了近期
16、數(shù)據(jù)特征對于波動(dòng)過程的較強(qiáng)影響。 2 2 1,2,3,t k tE k Copyright Wang Peng, 201030/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH類模型是目前金融研究中居于統(tǒng)治地位的一類波動(dòng)率測度方法 。v該方法起源于Engle(1982)提出自回歸條件異方差模型(Auto-regressive Conditional Heteroscedastics,ARCH)的開創(chuàng)性工作。vEngle的學(xué)生Bollerslev(1986)通過將ARCH模型拓展,提出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。 Copyright Wang Peng, 201031/76 5.6
17、GARCH類 模 型Robert F. Engle 2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Tim Bollerslev Copyright Wang Peng, 201032/76 5.6 GARCH類 模 型v在GARCH模型中, 是由長期平均方差VL 、rt-1、 所組成。v研究中最常用的GARCH(1,1)模型表示為:v且:2t 1t 2 2 21 1t L t tV r 1 Copyright Wang Peng, 201033/76 5.6 GARCH類 模 型vEWMA模型是GARCH(1,1)模型對應(yīng)于0,1 ,的情形。vGARCH(1,1)模型中的(1,1)代表 是由最近的收益率觀察值
18、以及最近的方差估計(jì)所得。vGARCH(p,q): 2t 2 2 21 1p qt L i t i i t ii iV r Copyright Wang Peng, 201034/76 5.6 GARCH類 模 型v令 ,GARCH(1,1):v繼續(xù)有:v且LV 2 2 21 1t t tr 1 LV 1 (6-6) Copyright Wang Peng, 201035/76 5.6 GARCH類 模 型v權(quán)重v將 代入式(6-6),可得:v繼續(xù)代入 : 2 2 2 21 2 2 2 2 2 21 2 2 t t t tt t tr rr r 21t 2 2t 2 2 2 2 2 2 3 21
19、 2 3 3t t t t tr r r Copyright Wang Peng, 201036/76 5.6 GARCH類 模 型v繼續(xù)代入,可以看到 的權(quán)重為 ,即權(quán)重以指數(shù)速度下降,參數(shù)可被解釋為衰減率(Decay rate),類似于EWMA模型中的系數(shù),決定了不同時(shí)期ri的重要性。v0.9: 的重要性只是 的90, 的重要性只是 的81, 與EWMA不同,GARCH(1,1)對長期平均方差也施加了權(quán)重。2t ir 1i 22tr 21tr 23tr21tr Copyright Wang Peng, 201037/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH模型較好地刻畫了收益率波動(dòng)的
20、聚集性,但卻無法描述波動(dòng)的非對稱效應(yīng)。v為了解決這一問題,有學(xué)者提出了幾種非對稱GARCH模型,其中最常用的包括Nelson(1990)提出的EGARCH(Expotional GARCH)模型;Glosten et al.(1993)提出的GJR模型;以及Ding et al.(1993)提出的APARCH(Asymmetric power ARCH)模型。 Copyright Wang Peng, 201038/76 5.6 GARCH類 模 型v另外,在研究一些金融時(shí)間序列時(shí),有學(xué)者還注意到誤差項(xiàng)的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)典型的雙曲率衰減特征,這引發(fā)了ARCH模型與長記憶過程相結(jié)合的研究熱潮。 F
21、IGARCH-BBM FIGARCH-Chuang FIEGARCH FIAPARCH Copyright Wang Peng, 201039/76 5.6 GARCH類 模 型vGARCH類模型本身還是存在若干無法克服的缺陷v在所有GARCH類模型中,系數(shù)都衡量了金融市場隨機(jī)因素對未來波動(dòng)的沖擊程度,而 系數(shù)則衡量了波動(dòng)率的持續(xù)程度。v由于GARCH類模型的平穩(wěn)性要求 ,所以在隨機(jī)因素沖擊程度和波動(dòng)率持續(xù)性程度之間就存在數(shù)值上的平衡(即兩者不能同時(shí)增加,從而導(dǎo)致 情況的出現(xiàn)),從而導(dǎo)致GARCH類過程很難捕捉到金融市場突然發(fā)生的 大幅波動(dòng)。1 1 Copyright Wang Peng, 2
22、01040/76 5.7 隨 機(jī) 波 動(dòng) 模 型v隨機(jī)波動(dòng)(Stochastic volatility)模型又稱隨機(jī)方差(Stochastic variance)模型,簡稱SV模型 。v廣義的SV模型可以分為兩種:連續(xù)時(shí)間SV模型和離散時(shí)間SV模型。v目前,在文獻(xiàn)中常用的是Taylor提出的離散時(shí)間SV模型。 Copyright Wang Peng, 201041/76 5.7 隨 機(jī) 波 動(dòng) 模 型v與ARCH模型不同的是,該模型假定條件波動(dòng)率是不可觀測的(Unobservable),且其服從以下形式的隨機(jī)過程:v其中,不可觀測的對數(shù)波動(dòng)率(log-volatility)ht滿足:v且有 2
23、 *2expt th 1 1t t th h 0,1t NID 2 21 0, 1h NID Copyright Wang Peng, 201042/76 5.7 隨 機(jī) 波 動(dòng) 模 型v在SV模型中,由于條件波動(dòng)率是一個(gè)不可觀測的變量,很難計(jì)算出其精確的似然函數(shù),故對SV 模型的估計(jì)存在著較大困難。 v一直以來,盡管眾多學(xué)者不斷在嘗試提出各種不同類型的估計(jì)方法,但SV模型始終沒有像ARCH族模型一樣,成為被金融理論界與實(shí)務(wù)界所普遍使用的波動(dòng)率測度方法。 Copyright Wang Peng, 201043/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型v實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(Realized volati
24、lity,RV)是基于日內(nèi)收益數(shù)據(jù)平方和的一種波動(dòng)率測度,這一概念由Andersen and Bollerslev(1998)首次提出。v他們認(rèn)為,使用高頻的交易日內(nèi)收益數(shù)據(jù)可以獲得對日波動(dòng)率更精確的描述。 Torben G. Andersen Copyright Wang Peng, 201044/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型vAndersen and Bollerslev(1998)同時(shí)也指出,傳統(tǒng)上運(yùn)用日收益率的平方作為日波動(dòng)率的測度將會(huì)面臨非常嚴(yán)重的測量誤差和噪聲問題,而使用交易日內(nèi)的高頻收益數(shù)據(jù)將大大降低這些誤差和噪聲對潛在波動(dòng)率過程的影響,并且隨著高頻收益率頻率的增加,
25、這種測量的誤差將會(huì)越來越小。v但是,由于市場微觀結(jié)構(gòu)效應(yīng)的影響,在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中,也并非高頻收益率的頻率越高越好。 Copyright Wang Peng, 201045/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型 Copyright Wang Peng, 201046/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型vTorben G. Andersen是實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測度研究的集大成者,他與Bollerslev等學(xué)者對這一波動(dòng)率測度方法的一系列理論及實(shí)證分析發(fā)表于Econometrica等頂級金融計(jì)量雜志上。v這一系列的研究發(fā)現(xiàn),對數(shù)實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列往往具有長記憶、同方差、非條件正態(tài)等典型特征,而這些特征可
26、以通過不帶自回歸項(xiàng)的ARFIMA(p,d,0) 模型來刻畫,因此,文獻(xiàn)中涉及RV建模時(shí),一般采用ARFIMA(p,d,0)模型。 Copyright Wang Peng, 201047/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型v盡管RV測度及其模型具備非常良好的理論性質(zhì)及較強(qiáng)的對真實(shí)波動(dòng)率的刻畫能力,但這一方法也不是無懈可擊的。vAndersen et al.(2006)曾對RV估計(jì)及建模中所面臨的一些難題進(jìn)行了總結(jié),其中最為突出就是對估計(jì)RV時(shí)所采用的高頻數(shù)據(jù)抽樣頻率無法取得一致標(biāo)準(zhǔn)。 Copyright Wang Peng, 201048/76 5.8 實(shí) 現(xiàn) 波 動(dòng) 率 模 型vEngl
27、e and Gallo(2006)也指出,由于無法避免市場微觀結(jié)構(gòu)噪音的影響,基于高頻數(shù)據(jù)的RV測度并不像其理論描述的那樣完美。v另外,運(yùn)用ARFIMA(p,d,0)為RV序列建模也會(huì)導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率過程中的跳躍(Jumps)和擴(kuò)散(Diffusive)成分被割裂,因此更為合理的RV動(dòng)力學(xué)模型也有待于進(jìn)一步發(fā)掘。 Copyright Wang Peng, 201049/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v隱含波動(dòng)率IV是從期權(quán)價(jià)格中反推出的波動(dòng)率vBlack-Scholes期權(quán)定價(jià)公式:v其中: exp tc S k rT X k T 2ln 2tS T rXk T Copyright W
28、ang Peng, 201050/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型vIV模型的基本思想:利用在現(xiàn)實(shí)市場中觀察到的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)和已有的期權(quán)定價(jià)公式,反推出與現(xiàn)實(shí)期權(quán)價(jià)格一致的標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率。v求解方法1: , , , ; BS tc c S r X T 21min , , , ;n mktBS i BS t i iiMSE c c S r X T Copyright Wang Peng, 201051/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v求解方法2:迭代法v基礎(chǔ):期權(quán)價(jià)格與波動(dòng)率之間的單調(diào)變化關(guān)系v步驟:v(1)取一個(gè)初始的波動(dòng)率值,計(jì)算一個(gè)理論價(jià)格cBS;v(2)將cBS與期權(quán)市
29、場價(jià)格cmkt比較,若cBS cmkt ,增加,反之減小;v(3)每次迭代都使得所在的區(qū)間減半,不斷重復(fù)第一步和第二步,直至選取的值使得 c BS cmkt 。v基于多分形波動(dòng)率測度的權(quán)證定價(jià)方法研究 Copyright Wang Peng, 201052/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型vVIX指數(shù)v隱含波動(dòng)率反映了投資者對于未來市場波動(dòng)率的預(yù)期v芝加哥期權(quán)交易所發(fā)表隱含期權(quán)指數(shù)v最流行的是VIX指數(shù),它是對S&P500指數(shù)隱含波動(dòng)率的一種測度 Copyright Wang Peng, 201053/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型 圖6-2 VIX指數(shù) Copyright
30、Wang Peng, 201054/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型vIV模型與歷史方差模型、指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型、ARCH類模型的最大不同在于:IV模型來源于期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)。v由于期權(quán)價(jià)格在很大程度上反映了市場參與者對標(biāo)的資產(chǎn)未來價(jià)格的一種心理預(yù)期,因此基于IV模型其實(shí)是“向前看”(Forward-looking )的;v由于其余三種模型都是基于歷史數(shù)據(jù),因此可以被認(rèn)為是“向后看”(Back-looking)的波動(dòng)率測度方法。 Copyright Wang Peng, 201055/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v或許正是由于具備“向前看”的特殊性質(zhì),IV模型在有關(guān)波動(dòng)率預(yù)測
31、的實(shí)證研究領(lǐng)域有著較為優(yōu)異的表現(xiàn)。 vIV模型的波動(dòng)率測度精度嚴(yán)重依賴于所使用的期權(quán)定價(jià)公式的正確性,而現(xiàn)有的很多期權(quán)定價(jià)公式本身都具有這樣或那樣的局限。 Copyright Wang Peng, 201056/76 5.9 隱 含 波 動(dòng) 率 模 型v另外,IV方法也只能運(yùn)用于具有相應(yīng)期權(quán)產(chǎn)品的資產(chǎn)波動(dòng)率度量。v對于大部分金融資產(chǎn),由于沒有相應(yīng)的期權(quán)產(chǎn)品交易,故不能使用IV方法測度其波動(dòng)率(這一點(diǎn)在我國金融市場中的表現(xiàn)尤為明顯)。v因此,盡管這一方法具有非常良好的理論出發(fā)點(diǎn)和實(shí)證表現(xiàn),但并沒有像GARCH族模型一樣得到廣泛應(yīng)用。 Copyright Wang Peng, 201057/76
32、5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v隨機(jī)抽取某天中10只股票的價(jià)格,發(fā)現(xiàn)其中一只價(jià)格在這一天中下降了,而其它9只股票價(jià)格有所升高或至少?zèng)]有下跌。v問:一只股票價(jià)格下降的概率的最好估計(jì)是多少?v自然是0.1 !v0.1是否是極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation)所給出的結(jié)果呢? Copyright Wang Peng, 201058/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v將股票價(jià)格下降的概率記為p,則10只股票中只有一只股票價(jià)格下跌,而其它股票價(jià)格不跌的概率為p(1-p)9v應(yīng)用極大似然估計(jì),最好的估計(jì)值就是使得p(1-p)9取得最大值的那個(gè)數(shù)。v將p(1-p
33、) 9對p求導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)為零,得出該數(shù)字為0.1 Copyright Wang Peng, 201059/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v極大似然估計(jì)的基本思想:v在一次抽樣中,若得觀測值 ,則選取 作為的估計(jì)值。使得當(dāng): 時(shí),樣本出現(xiàn)的概率最大。1 2, , Tx x x, 1 2 , , Tx x x , 1 2 , , Tx x x , Copyright Wang Peng, 201060/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v估計(jì)常數(shù)方差v假定某隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,并且期望值為0,目前已取得該變量的T個(gè)觀察值,要求:運(yùn)用MLE估計(jì)X的方差v假定觀察值為 ,并記方差為v,
34、則觀察值Xut的概率等于X的概率密度函數(shù)在ut處的取值,即: 1 2, , , Tu u u 21 exp 22 tuvv Copyright Wang Peng, 201061/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)vT個(gè)觀察值恰好為 的概率為:v應(yīng)用MLE,使得式(6-7)達(dá)到最大值的v即為最優(yōu)估計(jì)值。21 1 exp 22T tt uvv (6-7)1 2, , , Tu u u Copyright Wang Peng, 201062/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v具體求解:對式(6-7)求對數(shù),并忽略常數(shù)項(xiàng),得:v或:v將以上表達(dá)式對v求一階導(dǎo)數(shù),并令其等于0,可得v的MLE
35、估計(jì)值: 21 lnT tt uv v 21ln T tt uT v v 2 11 T tt uT Copyright Wang Peng, 201063/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v估計(jì)GARCH(1,1)或EWMA中的參數(shù)v令 為第t天方差的估計(jì),我們需要得出最佳參數(shù)使得以下表達(dá)式最大化:2t tv 21 1 exp 22T tt tt uvv Copyright Wang Peng, 201064/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v對上式求對數(shù),可以得出求解最大化的等價(jià)公式:v求解方法:迭代法 21 lnT ttt tuv v Copyright Wang Peng,
36、201065/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì) 注:表中所標(biāo)i應(yīng)為t。 表6-3 估計(jì)GARCH(1,1)模型中的參數(shù)0.00000176 0.0626 0.8991 , ,解得: Copyright Wang Peng, 201066/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v長期平均方差VL為:v長期波動(dòng)率為 ,即每天0.6650.00000176 0.000044221 1 0.0626 0.8991 0.00004422 Copyright Wang Peng, 201067/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì) 圖6-5 日元/美元匯率19881997年的日波動(dòng)率 Copyri
37、ght Wang Peng, 201068/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v另一種估計(jì)方法:方差目標(biāo)法(Variance targeting)v將長期平均方差VL設(shè)定為由數(shù)據(jù)計(jì)算出的抽樣方差,則只需估計(jì)剩余的另個(gè)參數(shù)vEWMA模型的估計(jì)v由于 ,因此只需估計(jì)一個(gè)參數(shù)0 1 , , Copyright Wang Peng, 201069/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v模型表現(xiàn)如何v檢驗(yàn)原理:GARCH模型假定波動(dòng)率的變化與時(shí)間有關(guān),在某一段時(shí)間波動(dòng)率較高,而在其它階段波動(dòng)率較低v首先計(jì)算 的自相關(guān)系數(shù)v假定 確實(shí)具有自相關(guān)性,如果GARCH模型有效,自相關(guān)性就會(huì)被剔除,即 不再
38、具有自相關(guān)性,從而可以認(rèn)為:有關(guān)的 模型確實(shí)解釋了 中的自相關(guān)性。 2tu2tu 2 2t tu 2tut Copyright Wang Peng, 201070/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)表6-4 采用GARCH(1,1)模型前后的自相關(guān)系數(shù) Copyright Wang Peng, 201071/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v更為科學(xué)的檢驗(yàn):Ljung-Box方法(Ljung and Box,1978)v某序列中有n個(gè)觀察值,Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量定義為:v其中, 是時(shí)滯為k的自相關(guān)系數(shù),K為所考慮的最大時(shí)滯.vQ統(tǒng)計(jì)量服從自由度為K的卡方分布,即 2(m)21
39、( 2) K kkQ n n n k k Copyright Wang Peng, 201072/76 5.10 極 大 似 然 估 計(jì)v對于K15,當(dāng)Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量值大于25時(shí),我們可以有95的把握拒絕自相關(guān)系數(shù)為0這一假設(shè)。v表9-4中, 序列的Ljung-Box的統(tǒng)計(jì)量值為123,說明自相關(guān)性確實(shí)顯著存在。v對于 序列,Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量值為8.62,這說明GARCH模型確實(shí)剔除了數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性。v如何選取K?2tu 2 2t tu Copyright Wang Peng, 201073/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動(dòng) 率v由GARC
40、H(1,1)模型: 2 2 21 12 2 21 1 2 2 21 12 2 12 22 21n L n nn L n L n Ln t L n t L n t Ln t L n t Ltn t L n Ltn t L n LV uV u V VV u V VE V E VE V VE V V (6-8) Copyright Wang Peng, 201074/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動(dòng) 率v式(6-8)表明,我們可以運(yùn)用第n-1天結(jié)束時(shí)的所有信息來預(yù)測第n+t天的波動(dòng)率。vEWMA中 ,所以將來方差的期望值與當(dāng)前方差 相等。v當(dāng) 時(shí),式(9-6)中的最
41、后一項(xiàng)隨時(shí)間增加而逐漸減小:方差的均值回歸性質(zhì),回歸水平為V L,回歸速度為1 2n1 1 Copyright Wang Peng, 201075/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動(dòng) 率 圖6-6 方差的預(yù)期路徑:(a)當(dāng)前方差高于長期方差;(b)當(dāng)前方差低于長期方差 Copyright Wang Peng, 201076/76 5.11 采 用 GARCH(1,1)模 型 預(yù) 測 波 動(dòng) 率v當(dāng) 時(shí),對應(yīng)于長期平均方差的權(quán)重為負(fù),這時(shí)方差不再具有均值回歸性質(zhì),而呈現(xiàn)均值逃離(Mean fleeting)性態(tài)。v表(6-3)中, ,假定當(dāng)前方差為0.00006(日波動(dòng)率0.77),則10天后方差期望值為:v仍高于長期波動(dòng)率(0.665),但100天后的預(yù)期方差為0.00004451,即預(yù)期波動(dòng)率0.677,和長期波動(dòng)率已非常接近。1 0.9617 0.00004422 LV , 100.00004422 0.9617 0.00006 0.00004422 0.00005476 王 鵬 博士西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院
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