概率論第三章課件

龔 小 慶第 三 章 多 維 隨 機 向 量 及 其 概 率 分 布 3.1 二 維 隨 機 向 量 及 其 聯 合 分 布 函 數 二維隨機變量(X,Y)的性質不僅與X和Y各自的性質有關,而且還依賴于它們之間的相互關系,因此必須把它們作為一個整體來研究.為了描述二維隨機變量整體的統(tǒng)計規(guī)律性,我們引入聯 合 分 布 函 數的概念. XYO ),( yx ),( yxF可視為隨機點),( YX落在以),( yx為頂點的左下方的無窮矩形的概率.分 布 函 數 的 幾 何 意 義 ),(),(),(),( , 11211222 2121 yxFyxFyxFyxF yYyxXxP 設2121 , yyxx ,則有),( 11 yx ),( 22 yx),( 21 yx ),( 12 yx圖 2 XYO 0,lim yxFx 0,lim yxFy 1,lim yxFyx 2 2 2 1 1 2 1 1, , , , 0F x y F x y F x y F x y 二 元 函 數 能 否 成 為 某 二 維 隨 機 變 量 分 布函 數 的 充 分 必 要 條 件 . 邊 緣 分 布 函 數 由于X與Y本身也是一個隨機變量,因此也有各自的分布函數,并且( ) , ( , )XF x P X x P X xY F x ( ) , ( , ) YF y PY y P X Y y F y 1 e , 0( ) ( , ) 0, 0 xX xF x F x x 1 e , 0( ) ( , ) 0, 0yY yF y F y y 注 意 邊緣分布與參數 無關！這說明研究多維隨機變量,僅僅研究邊緣分布是不夠,而必須將他們作為一個整體來研究. 整 體 大 于 部 分 之 和 ! 3.2 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 定 義 3.2.1 如果二維隨機變量(X,Y)只取有限對或可列無窮多對值,則 稱(X,Y)為二 維 離 散 型 隨 機 變 量 .,2,1, jipyYxXP ijji則稱上式為(X,Y)的聯 合 分 布 律 . 聯 合 分 布 律 的 基 本 性 質 聯合分布律也常寫成如下表格的形式:XY 21 ixxxjyyy21 12111 ippp 22212 ippp 21 ijjj ppp 1,2,3,4 , 1 . ( , ) ( ).XY XX Y P X Y設隨機變量在四個整數中等可能地取值另一個隨機變量在中等可能地取一整數值試求的分布列及例 3.2.1 解 :,的取值情況是jYiX ,4,3,2,1i.的正整數取不大于ij且由乘法公式得, jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1i .ij 的分布律為于是),( YX XY 1 2 3 41234 41 81 121 1610 81 121 1610 0 121 1610 0 0 161 11 22 33 44( )P X Y p p p p 2548 由于 1 )(, j jii yYxXPxXP故關于X的邊緣分布律為: 1 i i ijjp P X x p 11 ,),( j jij ji yYxXPyYxXP 同理關于Y的邊緣分布律為 1 j j ijip P Y y p X Y iji jpp pp 1 1111xix 1y jy ip 1pip jp 1p jp 聯 合 分 布 律 與 邊 緣 分 布 律 的 表 格 形 式 例 3.2.2 假設5件產品中有3件正品,2件次品,從中取兩次,每次取一件,記2,1,0,1 iiiXi次取到次品第次取到正品第分別對有放回抽樣和無放回抽樣兩種情況,求(X1,X2)的聯合分布律和邊緣分布律.解 (1)有放回的情形.此時 00 1 2 0, 0p P X X 2545252 類似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯合分布律與邊緣分布律如下表:ijp ),( 21 XX1X 2X 0 101 254256 259256 ip5352 5352 jp (2)無放回的情形.此時10141520|000,0 1212100 XXPXPXXPp 1X 2X 0 101 101103 103103 ip5352 5352jp 注 :兩 種 情 形 的 邊 緣 分 布 律 是 相 同 的 !類似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯合分布律與邊緣分布律如下表:ijp ),( 21 XX 例 3.2.3 設二維隨機變量 的分布律為),( YXX Y 1y 2y1x2x 0.1 ab 0.4已知.32)|( 22 yYxXP試求常數a,b的值。.解 由0.1 0.4 1a b 以及324.04.0 ,| 2 2222 ayYP yYxXPyYxXP解得3.0,2.0 ba 3.3 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 定 義 3.3.1 設 是二維隨機變量 的聯合分布函數,如果存在一個非負函數 ,使得),( yxF ),( YX( , )f xy( , ) ( , )d dyxF x y f u v u v 則稱 是二維連續(xù)型隨機變量,稱 為 的概率 密 度 ,或者稱為 與 的聯 合 概 率 密 度 .),( YX ( , )f xy ),( YXX Y3.3.1 聯 合 概 率 密 度 聯 合 概 率 密 度 的 基 本 性 質 :1) ( , ) 0;f x y 2) ( , )d d 1f x y x y 概 率 密 度 還 有 如 下 性 質 :1)設D為任意平面區(qū)域, 有( , ) ( , )d dDP X Y D f x y x y 2) 在 的連續(xù)點 處,有( , )f x y ),( yx 2 ( , ) ( , )F x y f x yx y 3)若平面區(qū)域D的面積為0,則0),( DYXP (2 )( , )2e , 0, 0,( , ) 0, .(1) ( , );(2) .x yX Yx yf x y F x y P Y X 設二維隨機變量具有概率密度其它求分布函數求概率例 3.3.1解 (1) ( , ) ( , )d dx yF x y f u v v u (2 )0 0 2e d d , 0, 0,0, .x y u v v u x y 其他2(1 e )(1 e ), 0, 0.( , ) 0, .x y x yF x y 得其他 ,),( GYXXY ),( GYXPXYP (2) 將 ( X,Y )看作是平面上隨機點的坐標,即有XY G xyO( , )d dG f x y x y (2 ) 0 2e d dx yy x y .31 由于( ) ( , ) ( ( , )d )d ( )dx xX XF x F x f u v v u f u u 所以,關于X的邊緣概率密度為: yyxfxfX d),()(同理,關于Y 的邊緣概率密度為: xyxfyfY d),()( 例 3.3.2 設(X,Y)的概率密度為)1)(1(),( 22 yx Ayxf 求:1) 常數 ;2)聯合分布函數 ;A ),( yxF)0,1( YXP4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的正方形內的概率;5) 邊緣密度函數 ).(),( yfxf YX3) 解 1) yxyx Ayxyxf dd)1)(1(dd),(1 22 222 arctanarctan d)d)1( 1(1 1 AyxA xyyxA 21 A 2arctan2arctan1 arctanarctan2 yx vuA yx x y vuvufyxF dd),(),(2) x y vuvu A dd)1)(1( 22 3) 1 0 dd),(0,1 yxyxfYXP 81241 arctanarctan1 dd)1)(1( 112 012 1 0 222 yx yxyx 4) 設D為如圖所示的單位正方形區(qū)域,則所求的概率為O y x11 (1,1)D 1 0 10 222 dd)1)(1( 11),( yxyxDYXP 161arctanarctan1 10102 yx 5) yyxyyxfxfX d)1)(1( 11d),()( 222 )1( 1arctan)1(1 222 xyx 同理)1( 1)( 2yyfY 注 意 :在本例中,有)()(),( yfxfyxf YX 例 3.3.3 設隨機變量(X,Y)的分布函數為 3arctan2arctan),( yCxBAyxF1) 求常數A,B,C的值;2)求 的概率密度 ;),( YX ),( yxf3)求邊緣概率密度).(xf X 解 1) 由于 22),(1 CBAF 22),(0 CBAF 22),(0 CBAF解得: 21A 2 CB 2) 由性質,得)9)(4( 6 222 yx 3) 2 2 21 6( ) ( , )d d(4 )(9 )Xf x f x y y yx y )4( 23/arctan)4( 2 3/1 3/)4( 2 222 222 xyx yydx 222 2 3/1 3/12/1 2/11),(),( yxyx yxFyxf 解 (1) 因為 , d d 1f x y x y 01 e d dyx A x x y 即0 d e dyxA x x y 0 e dxA x x A y x (2) 22 ( , )d dx yP X Y f x y x y 1 20 e e dx xx x x 1 21 2e e y x 2x y 2 11 20d e d dx yxx x x y , d Xf x f x y ye dyx x y e xx 即 e 0( ) 0 0 xX x xf x x 212 e 0( ) 0 0yY y yf y y 同理 3.3.2 二 維 均 勻 分 布 設D為平面有界區(qū)域,其面積為SD,若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 其它,0 ),(,1),( DyxSyxf D則稱 服從區(qū) 域 D上 的 均 勻 分 布 .),( YX 若(X,Y)服從平面區(qū)域 D上的均勻分布,則對于D中任一子區(qū)域G,有1( , ) ( , )d d d d GD DG G SP X Y G f x y x y x yS S GD 于是(X,Y)落在D中任一子區(qū)域G的概率與 G 的 面 積 成 正 比 ,而 與 G 的 形 狀 和 位 置 無 關。在這個意義上我們說,服從某區(qū)域上均勻分布的二維隨機變量在該區(qū)域內是“等 可 能”的。二 維 均 勻 分 布 例 3.3.5 設(X,Y)服從單位圓 上的均勻分布，求X與Y的邊緣概率密度。1:),( 22 yxyxD 其它,0 1,1),( 22 yxyxf 解 由題意知,(X,Y)的概率密度為于是，有( ) ( , )d Xf x f x y y 其它,0 1|,12211 xdyxx 其它,0 1|,12 2 xx -1 1-11x21 xy 21 xy 由對稱性可知 其它,0 1|,12)( 2 yyyfY 注 意 此 時 )()(),( yfxfyxf YX 例 3.3.6 已知隨機變量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布,試求( X , Y )的分布密度及分布函數,其中D為x 軸,y 軸及直線 y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .解 2, ( , ) ,( , ) 0, .x y Df x y 得其他1 0 ,x y 當或時( , ) 0f x y ( , ) ( , )d d 0;x yF x y f u v u v 1 , ( , ) ,( , ) 0, .DS x y Df x y 由其他xyo1xy 1 1 ( , ) ( , )d dx yF x y f u v u v 1 11 0 1 0d 2d d 2dy u x yyu v u v (2 2) ;x y y 1 0,0 1 ,x y x 當時1xy1 11y x xyo 1 0, 1 ,x y x 當時( , ) ( , )d dx yF x y f u v u v 1 21 0d 2d ( 1)x uu v x xyo 1xy1 1x 0,0 1 ,x y 當時( , ) ( , )d dx yF x y f u v u v 1 1 01 0 1 0d 2d d 2dy u yyu v u v xyo 1xy1 11y(2 )y y 1, 1 ,x y 當時( , ) ( , )d dy xF x y f u v u v 0 11 0d 2d 1.uu v 20, 1, 0,(2 2) , 1 0,0 1,( , ) ( 1) , 1 0, 1,(2 ) , 0,0 1,1, 1, 1.x yx y y x y xF x y x x y xy y x yx y 或所以 ( X , Y ) 的分布函數為 四 、 二 維 正 態(tài) 分 布 2 21 2 1 2( , ) ( , , , , )X Y N 2 21 1 2 22 1 1 2 21 22 121 21, e2 1 x x y yf x y 二 維 正 態(tài) 分 布 的 邊 緣 分 布 仍 為 正 態(tài) 分 布 3.4隨 機 變 量 的 獨 立 性 定 義 3.4.1 設(X,Y)是二維隨機變量,如果對于任意的實數x 和y,隨機事件 和 相互獨立,即 xX yY )()(),( yFxFyxF YX則稱隨機變量 和 相 互 獨 立 .X Y 若離散型隨機變量(X,Y)的可能取值為),( ji yx ,2,1, ji并且對任意的 和 ,事件ix jy ixX 與 jyY 相互獨立,即 ij i jp p p 則X與Y相互獨立. 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 的 獨 立 性 ,2,1, ji 設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為),( yxf關于X 和Y的邊緣概率密度分別為)(xfX和),(yfY如果對任意實數x和y,成立)()(),( yfxfyxf YX則X 和Y相 互 獨 立 . 二 維 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 獨 立 性 例 3.4.1設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布律為:X Y 1 2 31 2 91 18131 91且X與Y相互獨立,試求 和 .解 由于X與Y獨立,所以有313,1 YPXPYXP )91181)(18191(181 61 1913118191 又 187 61 92 例 3.4.2.設隨機變量 X與Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的部分數值,試將其余數值填入表中的空白處.YX 1y 2y 3y ip1x 81 2x 81jp 61 1分析241 6181 , 1 122 yYP yYxXPxXP 43 41121 4181 , 1 212 xXP yYxXPyYP21 3183 41 例 3.4.3 若(X,Y)的聯合概率密度為8 , 0 1( , ) 0,xy x yf x y 其它問X與Y 是否相互獨立?解 ( ) ( , )d Xf x f x y y else,0 10,d81 xyxyx else,0 10),1(4 2 xxx 1 1xx 08 d , 0 1( ) ( , )d 0, elseyY xy x yf y f x y x ( , ) ( ) ( ), X Yf xy f x f y所以，X與Y不相互獨立. else,0 10,4 3 yy因為1 1y y 24 (1 ), 0 1( ) 0, elseX x x xf x 解 分別記這兩個數為X與Y，則它們獨立且均服從(0,1)上的均勻分布，(X,Y)的聯合概率密度為1, 0 1,0 1( , ) ( ) ( ) 0,X Y x yf x y f x f y 其他1.2x y 1 1 1.2D 1.2( 1.2) ( , )d dx yP X Y f x y x y DSd dD x y 211 (0.8) 0.682 14xy1/41/4 G 111/4( 1/4) ( , )d dxyP XY f x y x y 1 GS 1 11 1 4 41 d dxx y 3 1 11 ln4 1 ln44 4 4 獨 立 隨 機 變 量 的 函 數 仍 然 是 獨 立 的 定 理 3.4.1 設X與Y是相互獨立的隨機變量, h(x)和g(y)均為連續(xù)或單調函數,則隨機變量h(X)與g(Y)也是相互獨立的. 1 1( ( ) , ( ) ) ( ( ), ( )P h X x g Y y P X h x Y g y 1 1( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) )P X h x PY g y P h X x P g Y y 證 只對h(x)和g(y)均嚴格單調增的情形證明此結論 3.5 條 件 分 布3.5.1離 散 型 隨 機 變 量 的 條 件 分 布 , i ji j jP X x Y yP X x Y y P Y y ijjpp( 1,2, )i ,i j ijj i i iP X x Y y pP Y y X x P X x p ,2,1j 02 2,020 YP YXPYXP 212 2,121 YP YXPYXP 212 2,222 YP YXPYXP 211 1,111 XP YXPXYP 1, 2 12| 1 1 4P X YP Y X P X 411 3,113 XP YXPXYP 例 3.5.2 一射手進行射擊,單發(fā)擊中目標的概率為p (0p0 ,則稱 | ( , )( | ) ,( )XY Yf x yf x y xf y 為Y=y的條件下X的條 件 概 率 密 度 函 數 ;稱| ( | )X YF x y ( , )d( )x Yf u y uf y 為Y=y的條件下X的條 件 分 布 函 數 . 類似的,若X的邊緣概率密度fX(x)0, 則稱| ( , )( | ) ( )Y X Xf x yf y x f x為X=x的條件下Y 的條 件 概 率 密 度 ;稱 | ( , )( | ) d( )yY X Xf x vF y x vf x 為X=x的條件下Y 的條 件 分 布 函 數 . 例 3.5.3 設(X,Y)服從單位圓 上的均勻分布，求條件概率密度。1:),( 22 yxyxD解 已知 22 1 , | | 1( ) 0,Y y yf y 其它 2 21 , 1( , ) 0, x yf x y 其它22 1 , | | 1( ) 0,X x xf x 其它 -1 1-11x21 xy 21 xy 所以當 時,有1| x| ( , )( | ) ( )YX Xf x yf y x f x 221 , | | 12 10, elsey xx 221 , | | 12 10, elsey xx 即在X=x的條件下, Y 的條件分布為)1,1( 22 xx 上的均勻分布. 同理, 當 時, 有22| 1 , | | 1( | ) 2 10, elseXY x yf x y y 1| y 例 3.5.4 設 X服從0,1上的均勻分布,Y服從 0, X 上的均勻分布,求(X,Y)的聯合概率密度和Y的邊緣概率密度.解 由題意知X的邊緣概率密度為1, 0 1( ) 0, elseX xf x 又由題意,在給定 的條件下，Y 服從0,x上的均勻分布，所以當 時，有xX 10 x | 1, 0( | ) 0, elseY X y xf y x x 從而得X與Y的聯合概率密度為| 1, 0 1( , ) ( | ) ( ) 0, elseYX X y xf x y f y x f x x Y的邊緣概率密度為 1 1d ln , 0 1( ) ( , )d 0, elseY y x y yxf y f x y x 3.6 n維 隨 機 變 量 描述n維隨機變量整體統(tǒng)計規(guī)律性的仍然是所謂的聯合分布的概念 1 1 1( ) ( , , , ),XF x F x 2 2 2( ) ( , , , , ),XF x F x ( ) ( , , , ), nX n nF x F x 邊 緣 分 布 獨 立 性 3.7 多 維 隨 機 變 量 函 數 的 分 布 基 本 任 務 : 已知二維隨機變量(X,Y)的分布,求隨機變量 Z=g(X,Y)的分布. 3.7.1 多 維 離 散 型 隨 機 變 量 函 數 的 分 布 3 2 1 0 0.3 0.15 0.4 0.15X Y 0 1 2 3 0.65 0.15 0.15 0.05XY 證 明 顯然X+Y的可能取值為0,1,2,并且 ki ki ikYPiXPikYiXPkYXP 0 0 )()(),()( 1 21 2 ( )1 2 1 20 0ee e! ( )! !i k ik k i k ii i kii k i k 1 2( )1 2( ) e 0,1,2,! k kk 即).( 21 PYX , | P X k X Y nP X k X Y n P X Y n P X k P Y n kP X Y n , P X k Y n kP X Y n knkknk n 21 221 1)!(! ! 1 21 21 2 ( )1 2e e! ( )!( )!k n knk n ken P X k P Y n kP X Y n ki ki ikYPiXPikYiXPkYXP 0 0 )()(),()( 1 21 20 1k n n kki n n p pi k i 1 2 ( )1 20 1 1k n i n k ii k ii n np p p pi k i 1 21 2 1 n n kkn n p pk 設 隨 機 變 量 相 互 獨 立 且 均服 從 參 數 為 的 0-1分 布 ： nXXX , 21 則 1 ( , )n ii X b n pp一 個 推論 最 大 值 與 最 小 值 的 分 布 1( , , )nP X x X x 1( , , )nP X x X x 1( ) ( )nP X x P X x 1 2( ) ( ) ( )nX X XF x F x F x (2) 1( ) min( , , ) nP N x P X X x 1( , , )nP X x X x 1( ) ( )nP X x P X x 11 ( ) 1 ( )nX XF x F x 從而 1( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )nN X XF x P N x P N x F x F x ( ) ( )nMF x F x( ) 1 1 ( )nNF x F x 1( ) ( ) ( )nMf x n F x f x 1( ) 1 ( ) ( )nNf z n F x f x 1 2 n圖1 串聯系統(tǒng) 如圖1所示，系統(tǒng)n個元件串聯而成，若第i的元件的壽命為 ，則系統(tǒng)的壽命為iX ),min( 1 nXXN ),max( 1 nXXM 12n圖 2 并 聯 系 統(tǒng) 若系統(tǒng)是由n個元件并聯而成（如圖2所示），則系統(tǒng)的壽命為 指 數 分 布 的 情 形1 e , 0( ) 0, 0 x n M xF x x 11 e e , 0( ) 0, 0y n xM n xf x x 1 e , 0( ) 0, 0nxN xF x x e , 0( ) 0, 0nxN n xf x x 連 續(xù) 場 合 的 卷 積 公 式( ) ( ) ( )dZ X Yf z f x f z x x ( ) ( ) ( , )d dz xZF z P X Y z f x y x y 證 明 ( ) ( )d d ( ) ( )dz xX Y X Yf x f y y x f x F z x x ( ) ( ) ( ) ( )d Z Z X Yf z F z f x f z x x ( ) ( )dX Y X Yf f f x f z x x 或( ) ( )dX Y X Yf f f z y f y x 證 由卷積公式( ) ( ) ( )dZ X Yf z f x f z x x 2 21 22 21 2 1 21 exp d2 2 2x z x x 又由于 ABACxAxzx AB 22122 2222 2221 21 式中 2221 11 A 22 2211 zB 22 222121 zC 從而 2 21 21 1( ) exp exp d2 22 2 BZ AAC B Af z A x xAA ABACA 2exp2 1 221 2221 2212221 2exp2 1 z即 222121 , NYX . 因此，兩 個 獨 立 正 態(tài) 隨 機 變 量 之 和 仍 為 正 態(tài) 隨 機 變 量 將 例 3.7.6的 結 論 推 廣 到 多 個 正 態(tài) 隨 機 變 量 的 情 形 . （2） 2 21 1 1 ,n n ni i i i i ii i ikX N k k 21 1 1 ,n n ni i ii i iX N （1） 解 （ 1） ( ) ( ) ( , )d dZ x y zF z P X Y Z f x y x y 1 ( , )d dD f x y x y 0 0d (2 )dz z yy x y x 32 31zz 11O 1Dx y z 1 111 d (2 )dz z yy x y x 3)2(311 z 11O 2Dx y z 2 2x y 2x y z ( ) ( 2 )ZF z P X Y z /2 20 0 1d e d (e 1)2z z y x zy x z 2x y z ( ) 1 ( 2 )ZF z P X Y z 1 20 0d e dz y xy x 211 e e2 z z 所以 2 0, 01( ) ( ) (1 e ), 0 221(e e ), 22 zz z zf z F z zz | |( ) ( , )d dZ x y uF z f x y x y 0 x y x y u x y u D 21 (2 )d d 14 4 4DD S ux y 故 1 , 0 2( ) 20, elseZ u uf z x yu/( ) ( / ) ( , )d dU x y uF u P X Y u f x y x y (1 )0 0 0e d e d e e dyuy x y y uy x y 11 1 u 故 21 , 0(1 )( ) ( ) 0, 0U U uuf u F u u