概率論第三章課件

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1、龔 小 慶第 三 章 多 維 隨 機(jī) 向 量 及 其 概 率 分 布 3.1 二 維 隨 機(jī) 向 量 及 其 聯(lián) 合 分 布 函 數(shù) 二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X和Y各自的性質(zhì)有關(guān),而且還依賴(lài)于它們之間的相互關(guān)系,因此必須把它們作為一個(gè)整體來(lái)研究.為了描述二維隨機(jī)變量整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,我們引入聯(lián) 合 分 布 函 數(shù)的概念. XYO ),( yx ),( yxF可視為隨機(jī)點(diǎn)),( YX落在以),( yx為頂點(diǎn)的左下方的無(wú)窮矩形的概率.分 布 函 數(shù) 的 幾 何 意 義 ),(),(),(),( , 11211222 2121 yxFyxFyxFyxF yYyxXxP 設(shè)2121 , yy

2、xx ,則有),( 11 yx ),( 22 yx),( 21 yx ),( 12 yx圖 2 XYO 0,lim yxFx 0,lim yxFy 1,lim yxFyx 2 2 2 1 1 2 1 1, , , , 0F x y F x y F x y F x y 二 元 函 數(shù) 能 否 成 為 某 二 維 隨 機(jī) 變 量 分 布函 數(shù) 的 充 分 必 要 條 件 . 邊 緣 分 布 函 數(shù) 由于X與Y本身也是一個(gè)隨機(jī)變量,因此也有各自的分布函數(shù),并且( ) , ( , )XF x P X x P X xY F x ( ) , ( , ) YF y PY y P X Y y F y 1 e

3、, 0( ) ( , ) 0, 0 xX xF x F x x 1 e , 0( ) ( , ) 0, 0yY yF y F y y 注 意 邊緣分布與參數(shù) 無(wú)關(guān)！這說(shuō)明研究多維隨機(jī)變量,僅僅研究邊緣分布是不夠,而必須將他們作為一個(gè)整體來(lái)研究. 整 體 大 于 部 分 之 和 ! 3.2 二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 定 義 3.2.1 如果二維隨機(jī)變量(X,Y)只取有限對(duì)或可列無(wú)窮多對(duì)值,則 稱(chēng)(X,Y)為二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 .,2,1, jipyYxXP ijji則稱(chēng)上式為(X,Y)的聯(lián) 合 分 布 律 . 聯(lián) 合 分 布 律 的 基 本 性 質(zhì) 聯(lián)合分布律也常寫(xiě)成如

4、下表格的形式:XY 21 ixxxjyyy21 12111 ippp 22212 ippp 21 ijjj ppp 1,2,3,4 , 1 . ( , ) ( ).XY XX Y P X Y設(shè)隨機(jī)變量在四個(gè)整數(shù)中等可能地取值另一個(gè)隨機(jī)變量在中等可能地取一整數(shù)值試求的分布列及例 3.2.1 解 :,的取值情況是jYiX ,4,3,2,1i.的正整數(shù)取不大于ij且由乘法公式得, jYiXP iXPiXjYP ,411 i,4,3,2,1i .ij 的分布律為于是),( YX XY 1 2 3 41234 41 81 121 1610 81 121 1610 0 121 1610 0 0 161 1

5、1 22 33 44( )P X Y p p p p 2548 由于 1 )(, j jii yYxXPxXP故關(guān)于X的邊緣分布律為: 1 i i ijjp P X x p 11 ,),( j jij ji yYxXPyYxXP 同理關(guān)于Y的邊緣分布律為 1 j j ijip P Y y p X Y iji jpp pp 1 1111xix 1y jy ip 1pip jp 1p jp 聯(lián) 合 分 布 律 與 邊 緣 分 布 律 的 表 格 形 式 例 3.2.2 假設(shè)5件產(chǎn)品中有3件正品,2件次品,從中取兩次,每次取一件,記2,1,0,1 iiiXi次取到次品第次取到正品第分別對(duì)有放回抽樣和

6、無(wú)放回抽樣兩種情況,求(X1,X2)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.解 (1)有放回的情形.此時(shí) 00 1 2 0, 0p P X X 2545252 類(lèi)似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如下表:ijp ),( 21 XX1X 2X 0 101 254256 259256 ip5352 5352 jp (2)無(wú)放回的情形.此時(shí)10141520|000,0 1212100 XXPXPXXPp 1X 2X 0 101 101103 103103 ip5352 5352jp 注 :兩 種 情 形 的 邊 緣 分 布 律 是 相 同 的 !類(lèi)似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯(lián)合分布律

7、與邊緣分布律如下表:ijp ),( 21 XX 例 3.2.3 設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布律為),( YXX Y 1y 2y1x2x 0.1 ab 0.4已知.32)|( 22 yYxXP試求常數(shù)a,b的值。.解 由0.1 0.4 1a b 以及324.04.0 ,| 2 2222 ayYP yYxXPyYxXP解得3.0,2.0 ba 3.3 二 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 定 義 3.3.1 設(shè) 是二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù),如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) ,使得),( yxF ),( YX( , )f xy( , ) ( , )d dyxF x y f u v u v 則稱(chēng) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量

8、,稱(chēng) 為 的概率 密 度 ,或者稱(chēng)為 與 的聯(lián) 合 概 率 密 度 .),( YX ( , )f xy ),( YXX Y3.3.1 聯(lián) 合 概 率 密 度 聯(lián) 合 概 率 密 度 的 基 本 性 質(zhì) :1) ( , ) 0;f x y 2) ( , )d d 1f x y x y 概 率 密 度 還 有 如 下 性 質(zhì) :1)設(shè)D為任意平面區(qū)域, 有( , ) ( , )d dDP X Y D f x y x y 2) 在 的連續(xù)點(diǎn) 處,有( , )f x y ),( yx 2 ( , ) ( , )F x y f x yx y 3)若平面區(qū)域D的面積為0,則0),( DYXP (2 )(

9、, )2e , 0, 0,( , ) 0, .(1) ( , );(2) .x yX Yx yf x y F x y P Y X 設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度其它求分布函數(shù)求概率例 3.3.1解 (1) ( , ) ( , )d dx yF x y f u v v u (2 )0 0 2e d d , 0, 0,0, .x y u v v u x y 其他2(1 e )(1 e ), 0, 0.( , ) 0, .x y x yF x y 得其他 ,),( GYXXY ),( GYXPXYP (2) 將 ( X,Y )看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),即有XY G xyO( , )d dG f x y

10、x y (2 ) 0 2e d dx yy x y .31 由于( ) ( , ) ( ( , )d )d ( )dx xX XF x F x f u v v u f u u 所以,關(guān)于X的邊緣概率密度為: yyxfxfX d),()(同理,關(guān)于Y 的邊緣概率密度為: xyxfyfY d),()( 例 3.3.2 設(shè)(X,Y)的概率密度為)1)(1(),( 22 yx Ayxf 求:1) 常數(shù) ;2)聯(lián)合分布函數(shù) ;A ),( yxF)0,1( YXP4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)的概率;5) 邊緣密度函數(shù) ).(),( yfxf YX3)

11、解 1) yxyx Ayxyxf dd)1)(1(dd),(1 22 222 arctanarctan d)d)1( 1(1 1 AyxA xyyxA 21 A 2arctan2arctan1 arctanarctan2 yx vuA yx x y vuvufyxF dd),(),(2) x y vuvu A dd)1)(1( 22 3) 1 0 dd),(0,1 yxyxfYXP 81241 arctanarctan1 dd)1)(1( 112 012 1 0 222 yx yxyx 4) 設(shè)D為如圖所示的單位正方形區(qū)域,則所求的概率為O y x11 (1,1)D 1 0 10 222 dd

12、)1)(1( 11),( yxyxDYXP 161arctanarctan1 10102 yx 5) yyxyyxfxfX d)1)(1( 11d),()( 222 )1( 1arctan)1(1 222 xyx 同理)1( 1)( 2yyfY 注 意 :在本例中,有)()(),( yfxfyxf YX 例 3.3.3 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為 3arctan2arctan),( yCxBAyxF1) 求常數(shù)A,B,C的值;2)求 的概率密度 ;),( YX ),( yxf3)求邊緣概率密度).(xf X 解 1) 由于 22),(1 CBAF 22),(0 CBAF 22),(0 C

13、BAF解得: 21A 2 CB 2) 由性質(zhì),得)9)(4( 6 222 yx 3) 2 2 21 6( ) ( , )d d(4 )(9 )Xf x f x y y yx y )4( 23/arctan)4( 2 3/1 3/)4( 2 222 222 xyx yydx 222 2 3/1 3/12/1 2/11),(),( yxyx yxFyxf 解 (1) 因?yàn)?, d d 1f x y x y 01 e d dyx A x x y 即0 d e dyxA x x y 0 e dxA x x A y x (2) 22 ( , )d dx yP X Y f x y x y 1 20 e e

14、 dx xx x x 1 21 2e e y x 2x y 2 11 20d e d dx yxx x x y , d Xf x f x y ye dyx x y e xx 即 e 0( ) 0 0 xX x xf x x 212 e 0( ) 0 0yY y yf y y 同理 3.3.2 二 維 均 勻 分 布 設(shè)D為平面有界區(qū)域,其面積為SD,若二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 其它,0 ),(,1),( DyxSyxf D則稱(chēng) 服從區(qū) 域 D上 的 均 勻 分 布 .),( YX 若(X,Y)服從平面區(qū)域 D上的均勻分布,則對(duì)于D中任一子區(qū)域G,有1( , ) ( , )d d d

15、d GD DG G SP X Y G f x y x y x yS S GD 于是(X,Y)落在D中任一子區(qū)域G的概率與 G 的 面 積 成 正 比 ,而 與 G 的 形 狀 和 位 置 無(wú) 關(guān)。在這個(gè)意義上我們說(shuō),服從某區(qū)域上均勻分布的二維隨機(jī)變量在該區(qū)域內(nèi)是“等 可 能”的。二 維 均 勻 分 布 例 3.3.5 設(shè)(X,Y)服從單位圓 上的均勻分布，求X與Y的邊緣概率密度。1:),( 22 yxyxD 其它,0 1,1),( 22 yxyxf 解 由題意知,(X,Y)的概率密度為于是，有( ) ( , )d Xf x f x y y 其它,0 1|,12211 xdyxx 其它,0 1|

16、,12 2 xx -1 1-11x21 xy 21 xy 由對(duì)稱(chēng)性可知 其它,0 1|,12)( 2 yyyfY 注 意 此 時(shí) )()(),( yfxfyxf YX 例 3.3.6 已知隨機(jī)變量 ( X , Y ) 在 D上服從均勻分布,試求( X , Y )的分布密度及分布函數(shù),其中D為x 軸,y 軸及直線(xiàn) y = x+1 所圍成的三角形區(qū)域 .解 2, ( , ) ,( , ) 0, .x y Df x y 得其他1 0 ,x y 當(dāng)或時(shí)( , ) 0f x y ( , ) ( , )d d 0;x yF x y f u v u v 1 , ( , ) ,( , ) 0, .DS x y

17、 Df x y 由其他xyo1xy 1 1 ( , ) ( , )d dx yF x y f u v u v 1 11 0 1 0d 2d d 2dy u x yyu v u v (2 2) ;x y y 1 0,0 1 ,x y x 當(dāng)時(shí)1xy1 11y x xyo 1 0, 1 ,x y x 當(dāng)時(shí)( , ) ( , )d dx yF x y f u v u v 1 21 0d 2d ( 1)x uu v x xyo 1xy1 1x 0,0 1 ,x y 當(dāng)時(shí)( , ) ( , )d dx yF x y f u v u v 1 1 01 0 1 0d 2d d 2dy u yyu v u v

18、 xyo 1xy1 11y(2 )y y 1, 1 ,x y 當(dāng)時(shí)( , ) ( , )d dy xF x y f u v u v 0 11 0d 2d 1.uu v 20, 1, 0,(2 2) , 1 0,0 1,( , ) ( 1) , 1 0, 1,(2 ) , 0,0 1,1, 1, 1.x yx y y x y xF x y x x y xy y x yx y 或所以 ( X , Y ) 的分布函數(shù)為 四 、 二 維 正 態(tài) 分 布 2 21 2 1 2( , ) ( , , , , )X Y N 2 21 1 2 22 1 1 2 21 22 121 21, e2 1 x x y

19、 yf x y 二 維 正 態(tài) 分 布 的 邊 緣 分 布 仍 為 正 態(tài) 分 布 3.4隨 機(jī) 變 量 的 獨(dú) 立 性 定 義 3.4.1 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x 和y,隨機(jī)事件 和 相互獨(dú)立,即 xX yY )()(),( yFxFyxF YX則稱(chēng)隨機(jī)變量 和 相 互 獨(dú) 立 .X Y 若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值為),( ji yx ,2,1, ji并且對(duì)任意的 和 ,事件ix jy ixX 與 jyY 相互獨(dú)立,即 ij i jp p p 則X與Y相互獨(dú)立. 二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 獨(dú) 立 性 ,2,1, ji 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X

20、,Y)的聯(lián)合概率密度為),( yxf關(guān)于X 和Y的邊緣概率密度分別為)(xfX和),(yfY如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x和y,成立)()(),( yfxfyxf YX則X 和Y相 互 獨(dú) 立 . 二 維 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 的 獨(dú) 立 性 例 3.4.1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:X Y 1 2 31 2 91 18131 91且X與Y相互獨(dú)立,試求 和 .解 由于X與Y獨(dú)立,所以有313,1 YPXPYXP )91181)(18191(181 61 1913118191 又 187 61 92 例 3.4.2.設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關(guān)

21、于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.YX 1y 2y 3y ip1x 81 2x 81jp 61 1分析241 6181 , 1 122 yYP yYxXPxXP 43 41121 4181 , 1 212 xXP yYxXPyYP21 3183 41 例 3.4.3 若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為8 , 0 1( , ) 0,xy x yf x y 其它問(wèn)X與Y 是否相互獨(dú)立?解 ( ) ( , )d Xf x f x y y else,0 10,d81 xyxyx else,0 10),1(4 2 xxx 1 1xx 08 d , 0 1( ) ( , )d

22、0, elseyY xy x yf y f x y x ( , ) ( ) ( ), X Yf xy f x f y所以，X與Y不相互獨(dú)立. else,0 10,4 3 yy因?yàn)? 1y y 24 (1 ), 0 1( ) 0, elseX x x xf x 解 分別記這兩個(gè)數(shù)為X與Y，則它們獨(dú)立且均服從(0,1)上的均勻分布，(X,Y)的聯(lián)合概率密度為1, 0 1,0 1( , ) ( ) ( ) 0,X Y x yf x y f x f y 其他1.2x y 1 1 1.2D 1.2( 1.2) ( , )d dx yP X Y f x y x y DSd dD x y 211 (0.8)

23、 0.682 14xy1/41/4 G 111/4( 1/4) ( , )d dxyP XY f x y x y 1 GS 1 11 1 4 41 d dxx y 3 1 11 ln4 1 ln44 4 4 獨(dú) 立 隨 機(jī) 變 量 的 函 數(shù) 仍 然 是 獨(dú) 立 的 定 理 3.4.1 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, h(x)和g(y)均為連續(xù)或單調(diào)函數(shù),則隨機(jī)變量h(X)與g(Y)也是相互獨(dú)立的. 1 1( ( ) , ( ) ) ( ( ), ( )P h X x g Y y P X h x Y g y 1 1( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) )P X h x PY g

24、y P h X x P g Y y 證 只對(duì)h(x)和g(y)均嚴(yán)格單調(diào)增的情形證明此結(jié)論 3.5 條 件 分 布3.5.1離 散 型 隨 機(jī) 變 量 的 條 件 分 布 , i ji j jP X x Y yP X x Y y P Y y ijjpp( 1,2, )i ,i j ijj i i iP X x Y y pP Y y X x P X x p ,2,1j 02 2,020 YP YXPYXP 212 2,121 YP YXPYXP 212 2,222 YP YXPYXP 211 1,111 XP YXPXYP 1, 2 12| 1 1 4P X YP Y X P X 411 3,1

25、13 XP YXPXYP 例 3.5.2 一射手進(jìn)行射擊,單發(fā)擊中目標(biāo)的概率為p (0p0 ,則稱(chēng) | ( , )( | ) ,( )XY Yf x yf x y xf y 為Y=y的條件下X的條 件 概 率 密 度 函 數(shù) ;稱(chēng)| ( | )X YF x y ( , )d( )x Yf u y uf y 為Y=y的條件下X的條 件 分 布 函 數(shù) . 類(lèi)似的,若X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)0, 則稱(chēng)| ( , )( | ) ( )Y X Xf x yf y x f x為X=x的條件下Y 的條 件 概 率 密 度 ;稱(chēng) | ( , )( | ) d( )yY X Xf x vF y x vf x

26、 為X=x的條件下Y 的條 件 分 布 函 數(shù) . 例 3.5.3 設(shè)(X,Y)服從單位圓 上的均勻分布，求條件概率密度。1:),( 22 yxyxD解 已知 22 1 , | | 1( ) 0,Y y yf y 其它 2 21 , 1( , ) 0, x yf x y 其它22 1 , | | 1( ) 0,X x xf x 其它 -1 1-11x21 xy 21 xy 所以當(dāng) 時(shí),有1| x| ( , )( | ) ( )YX Xf x yf y x f x 221 , | | 12 10, elsey xx 221 , | | 12 10, elsey xx 即在X=x的條件下, Y 的

27、條件分布為)1,1( 22 xx 上的均勻分布. 同理, 當(dāng) 時(shí), 有22| 1 , | | 1( | ) 2 10, elseXY x yf x y y 1| y 例 3.5.4 設(shè) X服從0,1上的均勻分布,Y服從 0, X 上的均勻分布,求(X,Y)的聯(lián)合概率密度和Y的邊緣概率密度.解 由題意知X的邊緣概率密度為1, 0 1( ) 0, elseX xf x 又由題意,在給定 的條件下，Y 服從0,x上的均勻分布，所以當(dāng) 時(shí)，有xX 10 x | 1, 0( | ) 0, elseY X y xf y x x 從而得X與Y的聯(lián)合概率密度為| 1, 0 1( , ) ( | ) ( ) 0

28、, elseYX X y xf x y f y x f x x Y的邊緣概率密度為 1 1d ln , 0 1( ) ( , )d 0, elseY y x y yxf y f x y x 3.6 n維 隨 機(jī) 變 量 描述n維隨機(jī)變量整體統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的仍然是所謂的聯(lián)合分布的概念 1 1 1( ) ( , , , ),XF x F x 2 2 2( ) ( , , , , ),XF x F x ( ) ( , , , ), nX n nF x F x 邊 緣 分 布 獨(dú) 立 性 3.7 多 維 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 基 本 任 務(wù) : 已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布,求隨機(jī)變量

29、Z=g(X,Y)的分布. 3.7.1 多 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 函 數(shù) 的 分 布 3 2 1 0 0.3 0.15 0.4 0.15X Y 0 1 2 3 0.65 0.15 0.15 0.05XY 證 明 顯然X+Y的可能取值為0,1,2,并且 ki ki ikYPiXPikYiXPkYXP 0 0 )()(),()( 1 21 2 ( )1 2 1 20 0ee e! ( )! !i k ik k i k ii i kii k i k 1 2( )1 2( ) e 0,1,2,! k kk 即).( 21 PYX , | P X k X Y nP X k X Y n P X Y

30、 n P X k P Y n kP X Y n , P X k Y n kP X Y n knkknk n 21 221 1)!(! ! 1 21 21 2 ( )1 2e e! ( )!( )!k n knk n ken P X k P Y n kP X Y n ki ki ikYPiXPikYiXPkYXP 0 0 )()(),()( 1 21 20 1k n n kki n n p pi k i 1 2 ( )1 20 1 1k n i n k ii k ii n np p p pi k i 1 21 2 1 n n kkn n p pk 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 相 互 獨(dú) 立 且 均服 從

31、 參 數(shù) 為 的 0-1分 布 ： nXXX , 21 則 1 ( , )n ii X b n pp一 個(gè) 推論 最 大 值 與 最 小 值 的 分 布 1( , , )nP X x X x 1( , , )nP X x X x 1( ) ( )nP X x P X x 1 2( ) ( ) ( )nX X XF x F x F x (2) 1( ) min( , , ) nP N x P X X x 1( , , )nP X x X x 1( ) ( )nP X x P X x 11 ( ) 1 ( )nX XF x F x 從而 1( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( )nN

32、 X XF x P N x P N x F x F x ( ) ( )nMF x F x( ) 1 1 ( )nNF x F x 1( ) ( ) ( )nMf x n F x f x 1( ) 1 ( ) ( )nNf z n F x f x 1 2 n圖1 串聯(lián)系統(tǒng) 如圖1所示，系統(tǒng)n個(gè)元件串聯(lián)而成，若第i的元件的壽命為 ，則系統(tǒng)的壽命為iX ),min( 1 nXXN ),max( 1 nXXM 12n圖 2 并 聯(lián) 系 統(tǒng) 若系統(tǒng)是由n個(gè)元件并聯(lián)而成（如圖2所示），則系統(tǒng)的壽命為 指 數(shù) 分 布 的 情 形1 e , 0( ) 0, 0 x n M xF x x 11 e e , 0(

33、 ) 0, 0y n xM n xf x x 1 e , 0( ) 0, 0nxN xF x x e , 0( ) 0, 0nxN n xf x x 連 續(xù) 場(chǎng) 合 的 卷 積 公 式( ) ( ) ( )dZ X Yf z f x f z x x ( ) ( ) ( , )d dz xZF z P X Y z f x y x y 證 明 ( ) ( )d d ( ) ( )dz xX Y X Yf x f y y x f x F z x x ( ) ( ) ( ) ( )d Z Z X Yf z F z f x f z x x ( ) ( )dX Y X Yf f f x f z x x 或

34、( ) ( )dX Y X Yf f f z y f y x 證 由卷積公式( ) ( ) ( )dZ X Yf z f x f z x x 2 21 22 21 2 1 21 exp d2 2 2x z x x 又由于 ABACxAxzx AB 22122 2222 2221 21 式中 2221 11 A 22 2211 zB 22 222121 zC 從而 2 21 21 1( ) exp exp d2 22 2 BZ AAC B Af z A x xAA ABACA 2exp2 1 221 2221 2212221 2exp2 1 z即 222121 , NYX . 因此，兩 個(gè) 獨(dú)

35、立 正 態(tài) 隨 機(jī) 變 量 之 和 仍 為 正 態(tài) 隨 機(jī) 變 量 將 例 3.7.6的 結(jié) 論 推 廣 到 多 個(gè) 正 態(tài) 隨 機(jī) 變 量 的 情 形 . （2） 2 21 1 1 ,n n ni i i i i ii i ikX N k k 21 1 1 ,n n ni i ii i iX N （1） 解 （ 1） ( ) ( ) ( , )d dZ x y zF z P X Y Z f x y x y 1 ( , )d dD f x y x y 0 0d (2 )dz z yy x y x 32 31zz 11O 1Dx y z 1 111 d (2 )dz z yy x y x 3)2

36、(311 z 11O 2Dx y z 2 2x y 2x y z ( ) ( 2 )ZF z P X Y z /2 20 0 1d e d (e 1)2z z y x zy x z 2x y z ( ) 1 ( 2 )ZF z P X Y z 1 20 0d e dz y xy x 211 e e2 z z 所以 2 0, 01( ) ( ) (1 e ), 0 221(e e ), 22 zz z zf z F z zz | |( ) ( , )d dZ x y uF z f x y x y 0 x y x y u x y u D 21 (2 )d d 14 4 4DD S ux y 故 1 , 0 2( ) 20, elseZ u uf z x yu/( ) ( / ) ( , )d dU x y uF u P X Y u f x y x y (1 )0 0 0e d e d e e dyuy x y y uy x y 11 1 u 故 21 , 0(1 )( ) ( ) 0, 0U U uuf u F u u