汽車結(jié)構(gòu)有限元分析-第二講-有限元基礎(chǔ)理論

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1、課 件 僅 作 為 學(xué) 習(xí) 交 流 之 用 ， 不 能 用于 商 業(yè) 用 途 第 二 講 有 限 元 基 礎(chǔ) 理 論 及 平 面 問 題 有 限 元 方 法 講 述 以 下 問 題 -1.有 限 元 與 力 學(xué) 關(guān) 系2.回 顧 -材 料 力 學(xué) 研 究 對 象 與 研 究 方 法3.強 度 問 題 、 剛 度 問 題 、 穩(wěn) 定 性 問 題4.點 的 應(yīng) 力 狀 態(tài) -空 間 問 題5.廣 義 Hooke定 律6.彈 性 力 學(xué) 的 基 本 方 程7.彈 性 力 學(xué) 問 題 分 類8.三 大 方 程 、 三 類 問 題 、 三 種 解 法9.平 面 問 題10.平 面 問 題 的 有 限 元

2、 方 法 1.有 限 元 與 力 學(xué) 關(guān) 系彈 性 力 學(xué) 與 理 論 力 學(xué) 區(qū) 別 ： 理 論 力 學(xué) 研 究 對 象 是 質(zhì) 點 、 質(zhì)點 系 與 剛 體 （ 質(zhì) 點 系 力 學(xué) 與 剛 體 力 學(xué) ） 。材 料 力 學(xué) 與 彈 性 力 學(xué) 研 究 變 形 體 。 力 學(xué) 分 支 眾 多 ： 材 料 力 學(xué) 、 結(jié) 構(gòu) 力 學(xué) 、 彈 性 力 學(xué) 、 板 殼 力學(xué) 、 塑 性 力 學(xué) 、 斷 裂 力 學(xué) 、 損 傷 力 學(xué) 、 復(fù) 合 材 料 力 學(xué) 、 結(jié)構(gòu) 穩(wěn) 定 性 理 論 、 振 動 理 論 、 流 體 力 學(xué) 、 結(jié) 構(gòu) 動 力 學(xué) 等 ; 有 限 元 方 法 是 以 力 學(xué)

3、理 論 為 基 礎(chǔ) ， 是 一 種 現(xiàn) 代 數(shù) 值 計 算 方法 ， 是 一 種 解 決 工 程 實 際 問 題 的 數(shù) 值 計 算 工 具 ， 是 現(xiàn) 代 設(shè)計 與 分 析 方 法 的 支 柱 ！ 2.回 顧 -材 料 力 學(xué) 研 究 對 象 與 研 究 方 法研 究 各 種 工 程 結(jié) 構(gòu) ： 常 見 的 如 下 結(jié) 構(gòu) 元 件 （ 構(gòu) 件 ） : （ 1） 桿 、 桿 系 、 梁 、 柱 ， （ 長 寬 和 高 ） -材 料 力 學(xué)（ 2） 板 (中 厚 板 )、 殼 ， （ 厚 長 與 寬 ） -扳 殼 力 學(xué)（ 3） 三 維 體 ， -彈 性 力 學(xué)截 面 法 是 處 理 固 體 力

4、 學(xué) 問 題 的 最 基 本 的 方 法 ：通 過 外 力 （ 作 用 力 和 約 束 力 ） 與 內(nèi) 力 （ 應(yīng) 力 ） 平 衡 求 構(gòu) 件 的 響 應(yīng) ，通 過 本 構(gòu) （ 物 理 ） 關(guān) 系 求 變 形 （ 位 移 與 應(yīng) 變 ） ， 最 重 要 的 是 材 料 力 學(xué) 中 的 平 截 面 法 ， 其 中 尤 以 梁 的 平 截 面 假 設(shè) 最為 重 要 。 -簡 化 計 算 ！ 平 截 面 假 設(shè)初 始 與 梁 的 中 性 軸 垂 直 的 平 面 ,在 變 形 后 仍 垂 直 于軸 線 , 并 且 在 垂 直 軸 線 方 向 上 無 變 形 ；梁 的 基 本 方 程 ：22dxwdEI

5、M 1 22 dxwd 2m ax 6bhM )4(2 22 ayhIQ bhQ23m ax max m axI yM 3.研 究 工 程 結(jié) 構(gòu) 在 使 用 狀 態(tài) 下 的 安全 性 、 可 靠 性 、 使 用 性 等 ， 實 現(xiàn)結(jié) 構(gòu) 的 功 能 與 性 能 。強 度 問 題 (應(yīng) 力 值 不 超 過 許 用 值 ) ；剛 度 問 題 (變 形 不 太 大 )；穩(wěn) 定 性 問 題 （ 不 失 穩(wěn) ） ；振 動 問 題 （ 量 值 在 限 制 范 圍 ） ；碰 撞 問 題 （ 安 全 生 存 空 間 ） ； 4 .點 的 應(yīng) 力 狀 態(tài) -空 間 問 題 x yz yyzyx zyzx xy

6、xzyz yxx zx z 彈 性 問 題 應(yīng) 力 只 取 決 于 應(yīng) 變 狀 態(tài) ， 與 達 到 該 狀 態(tài) 的 過 程 無 關(guān) 。九 個 應(yīng) 力 分 量 ， 九 個 應(yīng) 變 分 量 （ 獨 立 變 量 各 六 個 ） 。單 元 體 研 究 方 法 。 zzyzx yzyyx xzxyx zzyzx yzyyx xzxyx 2121 2121 2121 6.彈 性 力 學(xué) 的 基 本 方 程 -三 大 方 程物 理 方 程 x=2Gx + xy = Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx 0 Xzyx zxyxx 0 Yzyx zyyxy 0 Zzyx z

7、yzxz 平 衡 方 程 xux xvyuxy yvy ywzvyz zwz zuxwzx 幾 何 方 程 5.各 向 同 性 彈 性 體廣 義 Hooke定 律 EE zyx x xyxy E 12 EE xzy y yzyz E 12 EE yxzz zxzx E 12 彈 性 力 學(xué) 有 15個 基 本 方 程 ： 3個 平 衡 方 程 ； 6個 幾 何 方 程 ； 6個 本 構(gòu) 方 程 ；15個 基 本 未 知 量 ： 3個 位 移 分 量 ； 6個 應(yīng) 力 分 量 ； 6個 應(yīng) 變 分 量 ；* 加 適 當(dāng) 邊 界 條 件 。 彈 性 力 學(xué) 問 題 解 法 -三 種 解 法 （ 位

8、 移 法 、 應(yīng) 力 法 、 混 合 法 ）物 理 方 程 應(yīng) 力w 平 衡 微 分 方 程w 靜 力 邊 界 條 件 變 形 (位 移 與 應(yīng) 變 ) 變 形 協(xié) 調(diào) 方 程 (或 位 移 單 值 連 續(xù) ) 位 移 邊 界 條 件以 位 移 作 為 未 知 數(shù) 幾 何 方 程 求 應(yīng) 變物 理 方 程 求 應(yīng) 力位 移 解 法 聯(lián) 立 求 解 彈 性 力 學(xué) 問 題 分 類 -三 類 邊 界 問 題靜 力 邊 界 問 題 位 移 邊 界 問 題混 合 邊 界 問 題 S u S (X,Y,Z)(X,Y,Z) 由 位 移 表 示 的 平 衡 微 分 方 程其 中 是 Lplace算 子靜 力

9、 邊 界 條 件 使 用 位 移 表 示 位 移 邊 界 條 件 0)( XxGuG 2 0)( YyGvG 2 0)( ZGwG 2 z2222222 zyx 9. 平 面 問 題平 面 應(yīng) 變 物 體 是 一 柱 體 ， 軸 向 方 向 很 長 所 有 外 力 （ 體 積 力 和 面 力 ） 都 平 行于 橫 截 面 作 用 ， 且 沿 軸 線 大 小 不 變平 面 應(yīng) 力 沿 z方 向 的 厚 度 t均 勻 且 很 小所 有 外 力 均 作 用 在 板 的 周 邊 和 板 內(nèi) ，平 行 于 板 面 作 用 ， 且 沿 厚 度 不 變 x y z y t/2t/2 z x y 平 面 應(yīng)

10、變 特 點 （ 1） 位 移 u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0 （ 2） 應(yīng) 變 平 面 內(nèi) ， x、 y、 xy 0， 均 為 x、 y的 函 數(shù) ； 平 面 外 ， z=xz=yz =0； （ 3） 應(yīng) 力 z=(x+y)平 面 問 題 的 協(xié) 調(diào) 方 程 01 )( yxzz E yxrxy xyyx 222222 平 面 應(yīng) 力 特 點 （ 1） 應(yīng) 力 在 z = 的 面 上 各 點 沒 有 任 何 應(yīng) 力 z=zx =zy =0 在 面 內(nèi) ： x、 y、 xy 0 （ 2） 應(yīng) 變 2t xyxyyxyyxx E EE EE 12 yxz E xz=yz=0 （ 3

11、) 位 移 u=u(x,y) v=v(x,y) w 0平 面 問 題 平 衡 微 分 方 程 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 平 面 問 題 幾 何 方 程 yv y xvyuxy xux 10.有限元方法概念 平 面 問 題 的 有 限 元 法 用 彈 性 力 學(xué) 經(jīng) 典 解 法 解 決 實 際 問 題 的 主 要 困 難 在 于 求 解 偏 微 分 方 程的 復(fù) 雜 性 ， 而 有 限 元 方 法 則 將 原 來 連 續(xù) 的 彈 性 體 離 散 化 ， 其 中 最 簡單 的 就 是 采 用 三 角 形 單 元 對 彈 性 體 進 行 劃 分 。 把 整 個 求 解 區(qū) 域 分 成

12、許 多 個 有 限 小 區(qū) 域 ， 這 些 小 區(qū) 域 稱 之 為 單 元 。 在 每 個 單 元 上 構(gòu) 造 近 似 位 移 函 數(shù) ， 即 進 行 所 謂 的 分 片 插 值 。 在 每 一 個 單 元 上 求 勢 能 。 將 所 有 單 元 上 的 勢 能 加 起 來 得 彈 性 體 的 總 勢 能 。 最 后 應(yīng) 用 最 小 勢 能 原 理 求 解 單 元 節(jié) 點 位 移 。 對 每 個 三 角 形 單 元 選 擇 最 簡 單 的 線 性 函 數(shù) 為 位 移 模 式 ，單 元 中 任 一 點 的 位 移 可 以 通 過 3個 結(jié) 點 的 位 移 進 行 插 值 運算 ， 這 樣 整 個

13、 區(qū) 域 中 無 限 多 個 未 知 位 移 量 就 可 以 用 有 限個 節(jié) 點 來 表 示 ， 從 而 避 免 了 求 解 覆 蓋 整 個 區(qū) 域 的 位 移 函數(shù) 的 困 難 。 平 面 問 題 的 有 限 元 法 ， 不 僅 可 用 來 解 決 實 際問 題 ， 而 且 通 過 其 相 對 簡 單 的 概 念 ， 可 以 詳 細 了 解 用 有限 元 法 對 一 般 彈 性 體 進 行 應(yīng) 力 分 析 的 基 本 原 理 和 方 法 步驟 ， 了 解 有 限 元 法 的 性 能 特 點 ， 使 用 中 應(yīng) 注 意 的 問 題 ，從 而 為 學(xué) 習(xí) 后 續(xù) 各 章 節(jié) 打 下 基 礎(chǔ) 。

14、 i j m x y (x, y) uv下 面 就 以 平 面 三 角 形 單 元 闡 明 有 限 元 的 基 本 概 念 單 元 位 移 模 式 每 個 節(jié) 點 在 單 元 平 面 內(nèi) 有 兩 個 位 移 分 量 ， 相 應(yīng) 有 兩 個 自 由 度 ： 一 個 三 角 形 單 元 有 三 個 節(jié) 點 ， 共 6個 節(jié) 點 位 移 分 量 ， 其 單 元 節(jié) 點 位 移列 陣 可 表 示 為 ：位 移 模 式 可 取 為 最 簡 單 的 線 性 函 數(shù) ， 包 含 6個 待 定 常 數(shù) 、 。 Tiii vu ),( mji TmmjjiiTTmTjTie vuvuvu 1 63321 321

15、 321 yxu yxu yxu mm jjj iii 3654 654 654 yxv yxv yxv mm jjj iii 一 種 簡 單 的 線 性 位 移 函 數(shù) 為 ：式 中 、 、 為 6個 待 定 常 數(shù) ， 可 以 由 單 元 的 節(jié) 點 位 移 確 定 。設(shè) 節(jié) 點 的 坐 標(biāo) 分 別 為 ( ， )、 （ ， ） 、 （ ， ） ， 其 節(jié) 點 位 移 為 ， ， 將 它 們 代 入 上 式 得 ：聯(lián) 立 求 解 上 述 公 式 左 邊 的 6個 方 程 ， 可 以 求 出 待 定 常 數(shù) : 整 理 后 得 ： yxv yxu 654 321 1 6 ix iy jx j

16、y mx my),(),(),( mmjjii vuvuvu 、 3321 321 321 yxu yxu yxu mm jjj iii 3654 654 654 yxv yxv yxv mm jjj iii )()()(21 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu )()()(21 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv 單 元 形 函 數(shù)函 數(shù) 表 示 單 元 內(nèi) 部 的 位 移 分 布 形 態(tài) ， 故 可 稱 為 單 元 的 形 態(tài) 函 數(shù) ， 簡 稱 為 形 函 數(shù) 。 得 到 由 節(jié) 點 位 移 表 達 單 元 內(nèi) 任 一 點

17、位 移 的 插 值 公 式 ， 即 位 移 模 式 的 另 一 形 式 。 )()()(21 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu )()()(21 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv ),()(21 mjiycxbaAN iiii ),( mjivNvNvNv uNuNuNu mmjjii mmjjii iN iNjN mN 單 元 應(yīng) 變 和 應(yīng) 力 mmjjiimmjjii mji mjixyyx vuvuvubcbcbc ccc bbbA 000 00021 eB mji BBBB ee SBD mji SSSBDS ),(

18、2/)1(2/)1()1(2 2 mjibc cb cbAEBDS ii ii iiii 單 元 平 衡 方 程 整 個 結(jié) 構(gòu) 處 于 平 衡 狀 態(tài) ， 所 劃 分 出 的一 個 小 單 元 體 同 樣 處 于 平 衡 狀 態(tài) ， 而 結(jié) 構(gòu)的 平 衡 條 件 可 通 過 節(jié) 點 的 平 衡 條 件 表 示 。有 限 元 的 任 務(wù) 就 是 要 建 立 和 求 解 整 個 彈 性體 的 節(jié) 點 位 移 和 節(jié) 點 力 之 間 關(guān) 系 的 平 衡 方程 。 為 此 首 先 要 建 立 每 一 個 單 元 的 節(jié) 點 位移 和 節(jié) 點 力 之 間 關(guān) 系 的 平 衡 方 程 。 單 元 平衡

19、方 程 可 以 利 用 最 小 勢 能 原 理 建 立 ， 也 可以 利 用 虛 功 原 理 求 解 。 單 元 節(jié) 點 力 列 陣 ：單 元 節(jié) 點 虛 位 移 列 陣 ：單 元 內(nèi) 部 引 起 的 虛 應(yīng) 變 ： 根 據(jù) 虛 功 原 理 ： 外 力 虛 功 等 于 內(nèi) 力 虛 功 。 所 以 節(jié) 點 力在 節(jié) 點 的 虛 位 移 上 所 作 的 虛 功 應(yīng) 等 于 單 元 內(nèi) 部 應(yīng) 力 在 虛 應(yīng)變 上 所 作 的 虛 功 。 這 就 是 單 元 保 持 平 衡 狀 態(tài) 所 必 須 滿 足 的條 件 ， 即 單 元 的 平 衡 條 件 。 Tmmjjiie YXYXYXF Tmmjjii

20、 vuvuvu * Tzyx * tdxdyF TeeT * eTe tdxdyBDBF eee kF tdxdyBDBk Te e mmmjmi jmjjji imijiimjiTmTjTie kkk kkk kkkAtBBBDBBBk 單 元 剛 度 矩 陣 利 用 虛 功 方 程 來 建 立 剛 度 方 程 ， 其 實 質(zhì) 就 是 單 元 的 平 衡 方 程 。單 元 剛 度 矩 陣 具 有 以 下 性 質(zhì) ： (1) 單 元 剛 度 矩 陣 中 每 個 元 素 有 明 確 的 物 理 意 義 。 其 物 理 意義 是 單 位 節(jié) 點 位 移 分 量 所 引 起 的 節(jié) 點 力 。 例

21、如 ， 是 表 示當(dāng) 單 元 第 n個 自 由 度 產(chǎn) 生 單 位 位 移 而 其 它 自 由 度 固 定 時 ，在 第 m個 自 由 度 產(chǎn) 生 的 節(jié) 點 力 。 (2) 是 對 稱 矩 陣 。 其 元 素 之 間 有 如 下 關(guān) 系 ： ， 這 個 特性 是 由 彈 性 力 學(xué) 中 功 的 互 等 定 理 所 決 定 的 。（ 3） 是 奇 異 矩 陣 。 其 每 一 行 每 一 列 元 素 之 和 均 為 零 ， 物理 意 義 就 是 ： 在 無 約 束 的 條 件 下 ， 單 元 可 作 剛 體 運 動 。根 據(jù) 行 列 式 性 質(zhì) ， 可 知 值 也 為 零 。 mnk srrs

22、kk ek ek 單 元 等 效 節(jié) 點 載 荷 外 載 荷 必 須 作 用 在 節(jié) 點 上 ， 而 實 際 的外 載 荷 又 往 住 并 不 是 通 過 節(jié) 點 作 用 的 。因 此 ， 必 須 將 這 些 非 節(jié) 點 載 荷 按 一 定 原則 移 置 到 節(jié) 點 上 ， 即 所 謂 等 效 節(jié) 點 載 荷處 理 。 這 種 移 置 必 須 滿 足 靜 力 等 效 原 則 。 處 理 單 元 內(nèi) 的 集 中 力 、 體 力 和 單 元 邊 界 上的 分 布 力 ， 慣 性 力 則 作 用 在 整 個 結(jié) 構(gòu) 上 。 總 剛 度 矩 陣 當(dāng) 以 有 限 個 單 元 通 過 有 限 個 節(jié) 點

23、連 接 而 成 的 組合 體 來 代 替 實 際 的 連 續(xù) 體 結(jié) 構(gòu) 而 受 力 變 形 時 ， 顯 然它 們 必 須 滿 足 整 個 結(jié) 構(gòu) 的 變 形 連 續(xù) 條 件 和 平 衡 條 件 。 在 整 體 分 析 中 ， 利 用 節(jié) 點 為 分 析 對 象 ， 根 據(jù) 各節(jié) 點 的 靜 力 平 衡 條 件 ， 即 可 建 立 起 組 合 體 所 有 節(jié) 點的 靜 力 平 衡 方 程 式 。 把 它 們 匯 集 在 一 起 ， 得 到 的 平衡 方 程 組 就 代 表 了 整 個 結(jié) 構(gòu) 的 平 衡 條 件 。 進 行 整 體分 析 ， 即 是 將 各 個 單 元 的 平 衡 方 程 集

24、合 在 一 起 ， 得到 結(jié) 構(gòu) 的 整 體 平 衡 方 程 。 K為 結(jié) 構(gòu) 的 整 體 剛 度 矩 陣 ， 一 般 稱 為 總 剛 度 矩 陣 ，其 維 數(shù) 為 2n 2n。 可 寫 成 分 塊 形 式 。 RK TTnTTT 321 TTnTTT RRRRR 321 解 題 步 驟 與 算 例 (1)首 先 繪 出 結(jié) 構(gòu) 幾 何 簡 圖 ， 在 此 基 礎(chǔ) 上 將 結(jié) 構(gòu) 離 散 化 。 平 面 問 題采 用 三 角 形 單 元 (其 他 形 狀 單 元 以 后 講 述 )， 所 以 其 離 散 就 是 將計 算 對 象 劃 分 成 許 多 三 角 形 單 元 。 包 括 ： 進 行

25、節(jié) 點 編 號 、 單 元編 號 ， 任 選 一 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 定 出 所 有 節(jié) 點 的 坐 標(biāo) 值 等 等 。 確 定載 荷 和 邊 界 約 束 條 件 ， 將 各 單 元 所 受 的 非 節(jié) 點 載 荷 ， 包 括 體 力 、面 力 以 及 可 能 有 的 集 中 力 按 虛 功 等 效 原 則 移 置 到 節(jié) 點 上 ， 并 將各 節(jié) 點 上 的 這 些 載 荷 （ 包 括 直 接 作 用 在 節(jié) 點 上 的 集 中 載 荷 ） 分別 按 相 同 方 向 疊 加 等 。 (2)其 次 進 行 單 元 分 析 、 組 集 總 剛 度 矩 陣 、 求 單 元 應(yīng) 力 和 節(jié) 點

26、應(yīng) 力 。 前 處 理 計 算 后 處 理 nnnnn nn RRRnKKK KKK KKK 212121 22221 11211 平 面 問 題 的 離 散 化 v單 元 類 型 的 選 擇 v單 元 的 大 小 v單 元 有 密 有 疏 v不 同 厚 度 或 不 同 材 料 處 ， 應(yīng) 取 作 為 單 元 的 邊 界 線 平 面 問 題 的 有 限 元 法 ， 不 僅 有 實 際 意 義 ，而 且 通 過 其 相 對 簡 單 的 概 念 ， 可 以 詳 細 了 解 用有 限 元 法 對 一 般 彈 性 體 進 行 應(yīng) 力 分 析 的 基 本 原理 和 方 法 步 驟 ， 了 解 有 限 元

27、 法 的 性 能 特 點 ， 使用 中 應(yīng) 注 意 的 問 題 ， 從 而 為 學(xué) 習(xí) 以 后 各 章 打 下基 礎(chǔ) 。 有 限 元 解 法 的 三 個 主 要 步 驟 就 是 ： 離 散 化 、 單 元 分 析 、 整 體 分 析 。 平 面 高 階 單 元 四 節(jié) 點 矩 形 單 元 ： 為 了 提 高 有 限 單 元 法 計 算 結(jié) 果 的 精度 ， 除 了 增 加 單 元 數(shù) 目 外 ， 還 常 采 用 具 有 較 高 次 位 移 函 數(shù) 的 單 元 。 等 參 數(shù) 單 元 ： 三 角 形 單 元 和 矩 形 單 元 的 位 移 模 式 和 坐 換變 換 式 都 采 用 了 相 同 的 形 函 數(shù) 。 例 平 面 四 節(jié) 點 任 意 四 邊 形 等 參 單元 。 xyyxyxv xyyxyxu 8765 4321)( )( ， ii i uNu 41 )()( ， ii i vNv 41 )()( ， 合 肥 工 業(yè) 大 學(xué) 車 輛 工 程 系 第 二 講 結(jié) 束 語溫 故 而 知 新