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1、
《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案
教學(xué)目標(biāo)
知識技能：
掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，能不解方程求出一元二次方程的兩根和與兩根積 .
能利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來判斷已知兩數(shù)是否是原方程的根， 能靈活解決一
些簡單的有關(guān)一元二次方程的問題 .
過程與方法：
經(jīng)過小組討論和從特殊到一般的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的體會 .
教學(xué)重點(diǎn)
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 .
教學(xué)難點(diǎn)
韋達(dá)定理的論證
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí) .
1、一元二次方程的一般式？
ax 2 bx c 0(a 0 ， b2 4a
2、c 0)
2、一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？ ( b2 4ac 0)
3、 b 2 4ac ＞ 0 ，即△＞ 0，△ =0，△＜ 0 根的情況如何？
反過來，若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，說明△怎么樣等？
4、一元二次方程的求根公式 .
二、引入 .
由求根公式可知，一元二次方程的根由系數(shù) a 、 b 、 c 確定，換句話就是說根與系數(shù)有
關(guān)系，今天我們將進(jìn)一步來學(xué)習(xí)并發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)到底還有沒有其他關(guān)系 .
思考填表 .
解出下列各方程的兩根
x1 和 x2 ，并計(jì)算 x1
x2 和 x1
x2 的值
3、 .
方程
x1
x2
x1 x2x1 x
x 2
3x
4
0
x2
5 x
1
0
6
6
6x2 x 2 0
9 x2
16
0
2x2
5x
1
0
x
Px
Q
0
三、新授
師：誰能發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系？
( 兩根和由一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)得到；而兩根和
是由常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得
)
( 板書 ) 若 ax 2
bx c
0(a
0 ， b2
4ac 0)
4、， ( 假設(shè)成立 )
則 x1 x2
b ， x1 x2
c
a
a
1、論證韋達(dá)定理 .
師：剛才列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)有這樣的關(guān)系，那么是不
是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有關(guān)系呢？
證明：
當(dāng)△＞ 0時，由求根根式得：
x1
b
b 2
4ac ，
2a
x2
b
b 2
4ac
2a
∴ x1
x2
b
b 2
4ac
5、
b
b2
4ac
b
2a
a
x1 x2
(
b) 2
(b 2
4ac)
4ac
c
4a 2
4a 2
a
當(dāng)△ =0時， x1
x2
b
2a
即 b 2
4ac
x1
x2
b
b
b
2a
2a
a
x1
6、 x2
b
b
b2
4ac
c
2a
2a
4a2
4a2
a
師：假設(shè)成立，這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也稱韋達(dá)定理，因?yàn)槭?
法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最先發(fā)現(xiàn)的 .
2、翻書 P47.( 讓學(xué)生劃下韋達(dá)定理
)
3、寫出方程
25x 2
10x
3
0
的兩根和與兩根積，并解方程檢驗(yàn)其結(jié)果.
解：設(shè)方程
25x2
10 x
3
0的兩根為 x1 ， x2 . 則
x1
10
2
x2
5
7、
25
x1
3
3
x2
25
25
檢驗(yàn)：由求根公式得
10
100
4
25
3
10
20
1
2
x
2
25
50
5
x1
1
3
， x2
5
5
x1 x2
1 3 2
5 5 5
x1 x2
3
25
課堂小結(jié)
今天我們學(xué)習(xí)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 剛才通過填空題我們小結(jié)了一下， 知道
這兩個關(guān)系我們可以用來求兩根和、 兩根積， 而且可以驗(yàn)算所求的根是否正確， 更重要的是
利用韋達(dá)定理可以簡捷地解決許多有關(guān)一元二次方程的問題 .
《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教案
