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1、 1.了解空間各種距離的概念，掌握求空間距離的一般方法.2.能熟練地將直線與平面之間的距離，兩平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.3.了解折疊問題的基本內(nèi)涵，掌握分析求解折疊問題的基本原則. 1.在長方體ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,則點A到直線A1C的距離為( )CA. a B. aC. a D. a2 632 33 3 6263 如圖，點A到直線A1C的距離，即為RtA1AC斜邊上的高AE.由AB=BC=a,得AC= a.又AA1=2a,所以A1C= a,所以AE= = a.261 1AC AAAC 2 33 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=
2、2，AA1=1，則點A到平面A1BC的距離為( ) BA. B. C. D.34 32 3 34 3 取BC的中點M，連接AM、A1M，可證平面A1AM平面A1BC.作AH A1M，垂足為H,則AH平面A1BC.在RtA1AM中，AA1=1，AM= ,A1M=2,故AH= . 332 3.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a, E、F分別是B1C1、BB1的中點，則： (1)直線EF與CD間的距離為 ; (2)直線EF與平面D1AC1的距離是 ; (3)平面AB1D1與平面C1BD間的距離是 .a3 24 a24 a33 (1)取EF的中點G，連接CG，則CG為異面直線EF與CD的公垂線段
3、，且CG= a.(2)易知EF平面D1AC1.過E作EH BC1于H.因為D1C1平面BB1C1C，所以D1C1 EH,故EH平面D1AC1，從而EF與平面D1AC1的距離為EH= a.(3)因為平面AB1D1平面C1BD,連接A1C,設(shè)A1C分別與平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O 2,則O1O2為所求距離,且O1O2= A1C= a.3 2424 3313 4.如圖，四邊形ABCD中，AD BC，AD=AB， BCD=45， BAD=90，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成幾何體ABCD，則在幾何體ABCD中，下列命題中正確的是( )DA.平面ABD平面ABCB.平面A
4、DC平面BCDC.平面ABC平面BCDD.平面ADC平面ABC 由已知BA AD,CD BD，又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD.從而CD AB,又BA AD,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC. 一、空間距離 1.兩點間的距離:連接兩點的 的長度. 2.點到直線的距離：從直線外一點向直線引垂線， 的長度. 3.點到平面的距離：自點向平面引垂線， 的長度. 4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點向另一條直線引垂線, . 的長度.線段點到垂足之間線段點到垂足間線段到垂足間線段點 5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的 的
5、長度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個平面平行,從這條直線上任意一點向平面引垂線, 的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的 的長度.線段這點到垂足間線段公垂線段 二、求距離的一般方法與步驟1.兩點間距離、點到直線的距離和兩平行線間的距離其實是平面幾何中的問題，可用 求解.2.平行直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結(jié)為求 的距離.3.求距離的基本步驟是：()找出或作出有關(guān)距離的圖形；()證明它符合定義；()在平面圖形內(nèi)計算.平面幾何方法點面間 三、折疊問題1.概念：將平面圖形沿某直線翻折成立體圖形，再對折疊后的立體圖形的線面位置關(guān)系和某幾何量進行論證和計算，就是折疊
6、問題.2.折疊問題分析求解原則：(1)折疊問題的探究須充分利用不變量和不變關(guān)系；(2)折疊前后始終位于折線的同側(cè)的幾何量和位置關(guān)系保持 .不變 例1 如圖，在梯形ABCD中，AD BC， ABC= ,AB=BC= AD=a,PA平面ABCD,且PA=a，點F在AD上，且CF PC. (1)求點A到平面PCF的距離； (2)求AD與平面PBC間的距離.2 13 （1）通過論證平面 PAC平面PCF，找到點A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的長.（2）由于AD平面PBC，可考慮依據(jù)問題情境在AD上選擇具備特殊位置的點A，然后推理過A點的平面PAD平面PBC，找到過點A的垂線.
7、(方法一)(1)連接AC.因為PA平面ABCD，所以PA CF.又CF PC，PAPC=P，所以CF平面PAC，所以平面PFC平面PAC.過點A作AH PC于H，所以PH平面PCF，即AH為點A到平面PCF的距離.由已知AB=BC=a，所以AC= a,PC= a.在RtPAC中，得AH= a. 2 3 63 (2)因為BC AD，BC 平面PBC，所以AD平面PBC.過A作AE PB于E，又AE BC,PBBC=B,所以AE平面PBC,所以AE的長度即為所求的距離.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a,所以AE= a. 22 （方法二）(1)建立空間直角坐標系，如圖.則A(0,0,0),B
8、(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).設(shè)F(0,y,0).則 =(-a,y-a,0), =(-a,-a,a).因為PC CF,所以 ，所以 =(-a)(-a)+(-a)(y-a)+0a=a2-a(y-a)=0.CF CPCF CPCF CP 所以y=2a，即F(0,2a,0).設(shè)平面PCF的法向量為n=(x,y,z), n =-ax+ay=0 x=y n =-ax-ay+az=0 z=2x.取x=1，得n=(1,1,2).設(shè)點A到平面PCF的距離為d, =(a,a,0),則d= = = a.則，解得CFCP AC| | | |AC nn 1 1 2 06a a
9、 63 (2)由于 =(-a,0,a), =(0,a,0), =(0,0,a).設(shè)平面PBC的法向量為n1=(x0,y0,z0)， n1 =-ax0+az0=0 x0=z0 n1 =ay0=0 y0=0.取x0=1，得n1=(1,0,1).設(shè)點A到平面PBC的距離為h，因為AD平面PBC，所以h為AD到平面PBC的距離，h= = = a.BP APBC由，得BPBC 11| | |AP nn 2a 22 線面距離、面面距離通常情況下化歸為點面距離求解，求空間點面距離，若利用傳統(tǒng)構(gòu)造法，關(guān)鍵是“找射影”，一般是應(yīng)用垂面法求射影.若利用向量法，建系和求平面法向量是關(guān)鍵. 如圖，在直三棱柱ABCA1
10、B1C1中，AA1=2，AB=1， ABC=90.點D、E分別在BB1、A1D上，且B1E A1D，四棱錐CABDA1與直三棱柱的體積之比為3 5.求異面直線DE與B1C1的距離. 因為B1C1 A1B1，且B1C1 BB1，A1B1BB1=B1，故B1C1平面A1ABB1，從而B1C1 B1E.又B1E DE，故B1E是異面直線B1C1與DE的公垂線段.設(shè)BD的長為x，則四棱錐CABDA1的體積為V1= S四邊形ABDA 1BC = (DB+A1A)ABBC = (x+2)BC.131616 而直三棱柱ABCA1B1C1的體積為V2=SABCAA1= ABBCAA1=BC.由已知條件V1 V
11、2=3 5,故 (x+2)= , 解得x= .從而B1D=B1B-DB= .在RtA1B1D中，A1D= = = .又因為SA 1B1D= A1DB1E= A1B1B1D,故B1E= = . 12 16 3585 25 2 21 1 1AB BD 221 ( )5 29512 121 1 11AB BDAD 2 2929 例2 在直角梯形A B C D中， D= BAD=90，AD=DC= AB=a(如圖），將ADC沿AC折起，使D到D，記平面ACD為，平面ABC為，平面BCD為（如圖）. 12 （1）若二面角-AC-為直二面角，求二面角-BC-的大小；（2）若二面角-AC-為60，求三棱錐D
12、-ABC的體積. (1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC為等腰直角三角形，所以AC= a, CAB=45.過點C作CH AB,由AB=2a，可推得AC=BC= a，所以AC BC.取AC的中點E，連接DE，則DE AC.又二面角-AC-為直二面角,所以DE .2 2 又因為BC平面，所以BC DE，所以BC .而DC ，所以BC DC，所以 DCA為二面角-BC-的平面角.由于 DCA=45，所以二面角-BC-的大小為45. (2)取AC的中點E，連接DE，再過點D作DO ，垂足為O，連接OE.因為AC DE，所以AC OE，所以 DEO是二面角-AC-的平面角，所以 DEO=60.在RtD
13、OE中，DE= AC= a，DO=sin60DE= a，所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a 3.12 226413 13 1216 2 2 64 612 分析求解折疊問題的關(guān)鍵是分辨折疊前后的不變量和不變關(guān)系，在求解過程中充分利用不變量和不變關(guān)系. 如圖，已知四邊形ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為3的等腰梯形（如圖）.將它沿對稱軸OO1折成直二面角(如圖). (1)證明：AC BO1； (2)求二面角OACO1的正弦值. （方法一）（1）證明：由題設(shè)知，OA OO1，OB OO1,所以 AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA OB.從而AO平面O
14、BCO1.OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因為tan OO1B= = ,tan O1OC= = ,所以 OO1B=60， O1OC=30,從而OC BO1，由線面垂直得AC BO1. 1OBOO 3 1 1OCOO 33 (2)由(1)知,AC BO1,OC BO1,知BO1平面AOC.設(shè)OCO1B=E,過點E作EF AC于F,連接O1F,則EF是O1F在平面AOC內(nèi)的射影.由線面垂直得AC O1F，所以 O1FE是二面角O-AC-O1的平面角.由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1，所以O(shè)1A= =2 ,AC= = ，從而O1F= = .又O1E=OO1sin30= ,所以sin O 1
15、FE= = .32 21OA OO 3 2 21 1O A OC 131 1O A OCAC 2 313 3211OEOF 34 (方法二)(1)證明:由題設(shè)知OA OO1,OB OO1.所以 AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA OB.故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如右圖.則相關(guān)各點的坐標是A(3,0,0),B(0,3,0)，C(0,1, )，O1(0,0, ).從而 =(-3,1, ), =(0,-3, ),故 =-3+ =0，所以AC BO1.3 3 AC 3 1BO 3AC 1BO 3 3 (2)因為 =-3+ =0,所以BO1
16、 OC.由(1)知AC BO1，ACOC=C，所以BO1平面OAC，所以 是平面OAC的一個法向量.設(shè)n=(x,y,z)是平面O1AC的一個法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，AC1BO 3OC 3 1BO由，得1OC 3 取z= ,得n=(1,0, ).設(shè)二面角OACO1的大小為，由n、 的方向可知=n, ，所以cos=cosn， = = = ，則sin= .即二面角OACO1的正弦值為 . 1BO3 3 1BO1BO1 1| | |n BOn BO 32 3 2 34134 134 1.對于空間中的距離，我們主要研究點到平面的距離、直線和平面的距離及兩個平行平面之間
17、的距離，其重點是點到直線、點到平面的距離.點到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質(zhì)來做.求點到平面的距離也可以用等體積法.2.求距離傳統(tǒng)的方法和步驟是“一作、二證、三計算”，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計算.其中第二步證明易被忽略，應(yīng)當引起重視. 3.在求距離時，要注意各種距離的轉(zhuǎn)化；在選擇求距離的方法時，也要靈活.一般來說，空間關(guān)系在不太復(fù)雜的情況下使用傳統(tǒng)方法，而在距離不好作、空間關(guān)系較復(fù)雜的條件下可用等積法.4.將平面圖形折疊，使形成立體圖形，通過對折疊問題的研究進一步樹立空間概念，提高空間想象能力. 5.平面圖形折疊成空間圖形，主要抓住變與不變的量，
18、所謂不變的量，即是指“未折壞”的元素，包括“未折壞”的邊和角，一般優(yōu)先標出未折壞的直角（從而觀察是否存在線面垂直），然后標出其他特殊角，以及所有不變的線段. 學 例 1 如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，AD BC且AD CD；平面CSD平面ABCD，CS DS，CS=2AD=2;E為BS的中點, CE=2,AS=3.求： (1)點A到平面BCS的距離； (2)二面角E-CD-A的大小. (方法一)(1)因為AD BC,且BC平面BCS，所以AD平面BCS，從而點A到平面BCS的距離等于點D到平面BSC的距離.因為平面CSD平面ABCD，AD CD，故AD平面CSD，從而AD DS.由AD B
19、C，得BC DS.又CS DS，故DS平面BSC，從而DS為點D到平面BCS的距離.因此，在R tA D S中，D S = =3-1=2. 2 2AS AD (2)如圖所示,過點E作EG CD,交CD于點G,又過點G作GH CD,交AB于H,故 EGH為二面角E-CD-A的平面角,記為.過點E作EF BC,交CS于點F， 連接GF.故= - EGF. 由于E為BS的中點， F為CS的中點故CF= CS=1.在RtCFE中,EF= =2-1=1.2 12 2 2CE CF 因為EF平面CSD，又EG CD，故可證得FG CD，從而又可得CGFCSD，因此 = .而在RtCSD中,CD= = =
20、,故FG= DS= = .在RtEFG中，tan EGF= = ，可得 EGF= ，故所求二面角的大小為= .GFDS CFCD 2 2CS SD 4 2CFCD 616 2 13 EFFG 3 3 6 (方法二)(1)如圖所示，以S(O)為坐標原點，射線SD、SC分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系.設(shè)A(xA，yA,zA).因為平面COD平面ABCD，AD CD，故AD平面COD，即點A在xOz平面上，因此yA=0,zA=| |=1.又xA2+12=| |2=3，xA0，解得xA= .ADAS 2 從而A( ，0，1).因AD BC，故BC平面CSD，即平面BCS與平面yOz重合，
21、從而點A到平面BCS的距離為xA= .(2)易知C(0，2，0)，D（ ，0，0）.因為E為BS的中點，BCS為直角三角形，CE= ，知| |=2| |=2 .設(shè)B（0，2，zB）,zB0，則zB=2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）.所以 =(- ,2,-1), =(0,0,-1),BS2 222 CE 2 AC 2 AD =(0,1,-1), =(- ，-1，-1）.設(shè)面平ACD的一個法向量為n1=（x1,y1,z1), n1 =0 - x1+2y1-z=0 n1 =0 0 x1+0y1-z1=0, x1= y1 z1=0同理，平面ECD的一個法向量為n2=( ,1,1).則cosn1,n2= = = .故所求的二面角的大小為 .AC 2EC ED則AD ,即2亦即,令y1=1,則n1=( ,1,0).2 2 2 1 21 2| | |nnn n 2 1 03 2 326 本 節(jié) 完 ， 謝 謝 聆 聽立足教育，開創(chuàng)未來
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