高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解教師用書 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題（22頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題四　立體幾何 建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)　明內(nèi)在聯(lián)系 [高考點(diǎn)撥]　立體幾何專題是高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“一小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積和空間位置關(guān)系及空間角，一大題?？伎臻g位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求．本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”“空間中的平行與垂直關(guān)系”“立體幾何中的向量方法”三大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能． 突破點(diǎn)10　空間幾何體表面積或體積的求解 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第167頁(yè)) 提煉1 求解幾何體的表面積或體積 (1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算． (2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于

2、某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解． (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. 提煉2 球與幾何體的外接與內(nèi)切 (1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑r＝a，外接球的半徑R＝a. (2)正方體與球：設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，O為其對(duì)稱中心，E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點(diǎn)，J為HF的中點(diǎn)，如圖10-1所示． 圖10-1 ①正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的

3、半徑為OJ＝； ②正方體的棱切球：截面圖為正方形EFHG的外接圓，故其棱切球的半徑為OG＝； ③正方體的外接球：截面圖為矩形ACC1A1的外接圓，故其外接球的半徑為OA1＝. 回訪1　幾何體的表面積或體積 1．(2016·山東高考)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖10-2所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖10-2 A.＋π　　　　　 B.＋π C.＋π D．1＋π C　[由三視圖知，該四棱錐是底面邊長(zhǎng)為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為×12×1＋×π×3＝＋π.故選C.] 2．(2015·山東高考)在梯形ABCD中，∠

4、ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．2π C　[過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，選C.] 3．(2014·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為___

5、_____． 12　[設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××2××h＝2，∴h＝1， ∴斜高h(yuǎn)′＝＝2，∴S側(cè)＝6××2×2＝12.] 回訪2　球與幾何體的外接與內(nèi)切 4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π C　[如圖，設(shè)球的半徑為R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2. ∵VO-ABC＝VC-AOB，而△AOB面積為定值， ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VO-ABC最大， ∴

6、當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積VO-ABC最大為×R2×R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π×62＝144π.故選C.] 5．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)如圖10-3，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　) 圖10-3 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 A　[如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2

7、＋42，∴R＝5， ∴V球＝π×53＝π(cm3)．] 6．(2012·全國(guó)卷)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A. B. C. D. A　[由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC底面都是△ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍， 所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍． 在三棱錐O-ABC中，其棱長(zhǎng)都是1，如圖所示， S△ABC＝×AB2＝， 高OD＝＝， ∴VS-ABC＝2VO-ABC＝2×××＝.] (對(duì)

8、應(yīng)學(xué)生用書第167頁(yè)) 熱點(diǎn)題型1　幾何體的表面積或體積 題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解. 　(1)(2016·全國(guó)乙卷)如圖10-4，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是 (　　) 圖10-4 A．17π　 B．18π C．20π D．28π (2)(2016·全國(guó)丙卷)如圖10-5，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖10-5 A．18＋36　　　　　 B．54＋18

9、 C．90 D．81 (1)A　(2)B　[(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A. (2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故選B.] 1．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何

10、體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解． [變式訓(xùn)練1]　 (1)(2016·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖10-6所示，則該幾何體的體積為(　　) A.＋ B．5＋ C．5＋ D.＋ 圖10-6 (2)(2016·膠東示范校二模)一個(gè)茶葉盒的三視圖如圖10-7所示(單位：分米)，盒蓋與盒底為合金材料制成，

11、其余部分為鐵皮材料制成．如果合金材料每平方分米造價(jià)10元，鐵皮材料每平方分米造價(jià)5元，則該茶葉盒的造價(jià)為(　　) 圖10-7 A．100元 B．120元 C．130元 D．200元 (3)(名師押題)如圖10-8，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱ABCD -A1B1C1D1中分離出來由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形．如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為________cm3. 圖10-8 (1)D　(2)C　(3)36　[(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為V＝2×1×2＋××1×1×2＋×π×12×2＝＋.

12、 (2)該茶葉盒是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體截去了四個(gè)三棱錐，其直觀圖如圖所示，以下底面正方形的邊為底的四個(gè)等腰三角形的面積之和是4××2×2＝8，以上底面正方形的邊為底的四個(gè)等腰三角形的面積之和是4×××＝6.又下底面的面積為4，上底面的面積為2，所以該茶葉盒的造價(jià)為5×14＋10×6＝130(元)．] (3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐C1-CD1B1的體積． 又V三棱錐C1-CD1B1＝V三棱錐C-B1C1D1＝××6＝36(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水．] 熱點(diǎn)題型2　球與幾何體的切、接問題 題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核

13、心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記.先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)——球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解. 　(1)(2016·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖10-9所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) 圖10-9 A. B. C. D. (2)(2016·全國(guó)丙卷)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(

14、　　) A．4π B. C．6π D. (1)D　(2)B　[(1)法一　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S - ABC，其中HS是三棱錐的高，由三視圖可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H為△ABC外接圓的圓心，該圓的半徑為2. 由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐S-ABC外接球的球心O在直線HS上，連接OB. 設(shè)球的半徑為R，則球心O到△ABC外接圓的距離為OH＝|SH－OS|＝|2－R|， 由球的截面性質(zhì)可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. 法二　由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐S -ABC，其中HS是三棱錐的高，由側(cè)視

15、圖可知HS＝2，由正視圖和側(cè)視圖可得HA＝HB＝HC＝2. 由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心O在HS上，延長(zhǎng)SH交球面于點(diǎn)P，則SP就是球的直徑， 由點(diǎn)A在球面上可得SA⊥AP. 又SH⊥平面ABC，所以SH⊥AH. 在Rt△ASH中，SA＝＝＝4. 設(shè)球的半徑為R，則SP＝2R， 在Rt△SPA中，由射影定理可得SA2＝SH×SP，即42＝2×2R，解得R＝， 所以所求外接球的表面積為4πR2＝4π×＝.故選D. (2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R.因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓半徑為＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax

16、＝π3＝π.故選B.] 解決球與幾何體的切、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定．對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來． [變式訓(xùn)練2]　(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O 的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1＝2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722037】 A. B. C. D．20π (2)(名師押

17、題)一幾何體的三視圖如圖10-10(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是________． 圖10-10 (1)B　(2)20π　[(1)設(shè)△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示． 由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)． 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC＝. 由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝. 而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝AA1＝1，

18、設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝， 所以該三棱柱的外接球的體積為V＝R3＝.故選B. (2)由三視圖知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其底面ABCD是長(zhǎng)、寬分別為4和2的矩形，高為2，且側(cè)面SDC與底面ABCD垂直，且頂點(diǎn)S在底面上的射影為該側(cè)面上的底面邊的中點(diǎn)．由該幾何體的結(jié)構(gòu)特征知球心在過底面中心O且與底面垂直的直線上，同時(shí)在過側(cè)面△SDC的外接圓圓心且與側(cè)面SDC垂直的直線上．因?yàn)椤鱏DC為直角三角形，所以球心就為底面ABCD的中心O，所以外接球的半徑為R＝AC＝，故外接球的表面積為4πR2＝20π.] 專題

19、限時(shí)集訓(xùn)(十) 空間幾何體表面積或體積的求解 [建議A、B組各用時(shí)：45分鐘] [A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．(2016·石家莊二模)一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖10-11所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 　　　　　　　　　　　圖10-11 D　[分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐， 其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.] 2．(2016·濰坊二模)已知某幾何體的三視圖如圖10-12所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖10-12 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D．(2－)π B　[由三視圖可知該幾何體由半球內(nèi)挖去一個(gè)同底的圓

20、錐得到，所以該幾何體的體積為V＝×π×13－π×12×1＝.] 3．(2016·煙臺(tái)模擬)某幾何體的三視圖如圖10-13所示，則該幾何體的體積與其外接球的體積之比為(　　) 圖10-13 A．1∶3π B.∶π C．1∶3π D．1∶π D　[由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，體積V1＝×2×2×2＝4，設(shè)外接球的半徑為R，則4R2＝22＋22＋22＝12，所以R＝. 所以球的體積V2＝πR3＝4π，體積比V1∶V2＝4∶4π＝1∶π.] 4．(2016·湖北七市模擬)已知某幾何體的三視圖如圖10-14所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為(　　) 圖10-14

21、 A.　　　 B．2 C．3　　　 D．4 B　[分析題意可知，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1截去四棱錐A-BEDC得到的，故其體積V＝×22×3－××2×＝2，故選B.] 5．(2016·廣州二模)如圖10-15，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為(　　) 圖10-15 A．8＋8＋4 B．8＋8＋2 C．2＋2＋ D.＋＋ A　[在正方體中還原出該四面體C-A1EC1如圖所示，可求得該四面體的表面積為8＋8＋4.] 二、填空題 6．(2016·昆明一模)已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P，A，B，C在球O

22、的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為________． 3＋2　[依題意，邊長(zhǎng)是的等邊△ABC的外接圓半徑r＝·＝1.∵球O的表面積為36π＝4πR2，∴球O的半徑R＝3，∴球心O到平面ABC的距離d＝＝2，∴球面上的點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為R＋d＝3＋2.] 7．(2016·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則＝________. 　[如圖，設(shè)S△ABD＝S1，S△PAB＝S2， E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB

23、的距離為h2，則S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝.] 8．(2016·?？诙?半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形，側(cè)棱垂直底面)．當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是________． 16(π－)　[設(shè)內(nèi)接正四棱柱底邊長(zhǎng)為a，高為h，那么16＝2a2＋h2≥2ah，正四棱柱的側(cè)面積S＝4ah≤16，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是16(π－)．] 三、解答題 9．(2016·合肥二模)如圖10-16，P為正方形ABCD外一點(diǎn)，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E為PD的中點(diǎn)． 圖10-16 (

24、1)求證：PA⊥CE； (2)求四棱錐P-ABCD的表面積． [解]　(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，則EF∥AD∥BC，即EF，BC共面． ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.3分 ∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B， ∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE.6分 (2)設(shè)四棱錐P-ABCD的表面積為S， ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B， ∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD為直角三角形，8分 由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面

25、PAB， 故AD⊥PA，即△PAD也為直角三角形． S?ABCD＝2×2＝4， S△PBC＝S△PAB＝S△PDA＝×2×2＝2， S△PCD＝×2×＝2，10分 ∴S表＝S?ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD ＝10＋2.12分 10．(2016·湖北七市模擬)如圖10-17，一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為l的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)．若液面恰好分別過棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G. 圖10-17 (1)求證：平面DEFG∥平面ABB1A1； (2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，求液面的高． [解]　(1)證明：

26、因?yàn)镈，E分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB.又DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.6分 (2)當(dāng)直三棱柱ABC-A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC-A1B1C1容器的高，即側(cè)棱長(zhǎng)l，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，設(shè)液面的高為h，△ABC的面積為S，則由已知條件可知，△CDE∽△ABC，且S△CDE＝S，所以S四邊形ABED＝S.9分 由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體

27、＝Sh＝S四邊形ABEDl＝Sl，即h＝l. 因此，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面的高為l.12分 [B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．(2016·濟(jì)寧模擬)如圖10-18所示，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，且PD＝2，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，M是CD的中點(diǎn)，平面PMB⊥平面PCD，則該四棱錐的體積為(　　) 圖10-18 A. B．4 C. D．4 A　[過點(diǎn)D在平面PCD內(nèi)作DN⊥PM于點(diǎn)N，又平面PMB⊥平面PCD，平面PMB∩平面PCD＝PM，所以DN⊥平面PMB，所以DN⊥BM.又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BM，又PD與DN是平面PDC內(nèi)的兩條相交直線

28、，所以BM⊥平面PDC，則BM⊥CD.又點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，BC＝CD，所以∠BCD＝60°，所以底面菱形ABCD的面積為2×2×sin 60°＝2，故該四棱錐的體積為×2×2＝.] 2．(2016·重慶二模)某幾何體的三視圖如圖10-19所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖10-19 A. B. C. D. B　[根據(jù)三視圖可知，幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長(zhǎng)分別為1,2，高為1)；該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(腰長(zhǎng)分別為1,2，高為1)，因此該幾何體的體積為×2×1×1＋××2×1×1＝，選B.] 3．(2016·

29、唐山二模)某幾何體的三視圖如圖10-20所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖10-20 A．6π＋4 B．π＋4 C. D．2π D　[由三視圖知，該幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱體，與底面半徑為1，高為2的半圓柱體構(gòu)成，所以該三視圖的體積為π×12×1＋π×12×2＝2π，故選D.] 4．(2016·江西上饒三模)從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若OP＝，則球的體積為(　　) A. B. C. D. C　[設(shè)OP交平面ABC于O′， 由題得△ABC和△PAB為正三角形， 所以O(shè)′A＝AB＝AP. 因?yàn)锳O

30、′⊥PO，OA⊥PA， 所以＝，＝，＝， 所以O(shè)A＝＝×＝1， 即球的半徑為1， 所以其體積為π×13＝π.選C.] 二、填空題 5．(2016·廣州二模)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722038】 　[由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1, 其高h(yuǎn)＝1，∴球半徑為R＝＝＝，∴該球的體積V＝πR3＝×3π＝.] 6．(2016·開封一模)在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)

31、：67722039】 π　[由題可知，△ABC中AC邊上的高為＝，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設(shè)DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(－x)2，解得x＝，∴R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R為三棱錐外接球的半徑)，∴外接球的表面積S＝4πR2＝π.] 三、解答題 7．如圖10-21，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF. 圖10-21 (1)若M為EA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDF； (2)若AB＝2，求四棱錐E-ABCD的體積． [解]　(1)證明：設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N，連接MN， 在矩形CDEF中，點(diǎn)N

32、為EC中點(diǎn)， 因?yàn)镸為EA中點(diǎn)，所以MN∥AC.2分 又因?yàn)锳C?平面MDF，MN?平面MDF， 所以AC∥平面MDF.4分 (2)取CD中點(diǎn)為G，連接BG，EG， 平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD， AD?平面ABCD，AD⊥CD， 所以AD⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD，7分 所以ED的長(zhǎng)即為四棱錐E-ABCD的高.8分 在梯形ABCD中，AB＝CD＝DG，AB∥DG， 所以四邊形ABGD是平行四邊形，BG∥AD，所以BG⊥平面CDEF. 又DF?平面CDEF，所以BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG＝B， 所以DF⊥平面BEG，

33、DF⊥EG.10分 注意到Rt△DEG∽R(shí)t△EFD，所以DE2＝DG·EF＝8，DE＝2， 所以VE-ABCD＝S梯形ABCD·ED＝4.12分 8．如圖10-22，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，連接OM. 圖10-22 (1)求證：OM∥平面ABD； (2)若AB＝BC＝2，求三棱錐A-BDM的體積． [解]　(1)證明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，∴OM⊥CD.1分 ∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD＝

34、CD，OM?平面CMD， ∴OM⊥平面BCD.2分 ∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB.3分 ∵AB?平面ABD，OM?平面ABD，∴OM∥平面ABD.4分 (2)法一：由(1)知OM∥平面ABD， ∴點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分 過點(diǎn)O作OH⊥BD，垂足為點(diǎn)H. ∵AB⊥平面BCD，OH?平面BCD，∴OH⊥AB.6分 ∵AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD＝B，∴OH⊥平面ABD.7分 ∵AB＝BC＝2，△BCD是等邊三角形， ∴BD＝2，OD＝1，OH＝OD·sin 60°＝.9分 ∴V三棱錐A-BDM＝V三棱錐M-ABD ＝××AB·BD·OH ＝××2×2×＝.11分 ∴三棱錐A-BDM的體積為.12分 法二：由(1)知OM∥平面ABD， ∴點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分 ∵AB＝BC＝2，△BCD是等邊三角形，∴BD＝2，OD＝1.6分 連接OB，則OB⊥CD，OB＝BD·sin 60°＝.7分 ∴V三棱錐A-BDM＝V三棱錐M-ABD＝V三棱錐O-ABD＝V三棱錐A-BDO ＝××OD·OB·AB ＝××1××2＝.11分 ∴三棱錐A-BDM的體積為.12分