高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題七 選考4系列 專題強(qiáng)化練十八 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題強(qiáng)化練十八 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.(2017·江蘇卷)在平面坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值. 解:由消去t,得l的普通方程為 x-2y+8=0, 因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上,設(shè)點(diǎn)P(2s2,2s). 則點(diǎn)P到直線l的距離d==, 所以當(dāng)s=時(shí),d有最小值=. 因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí),曲線C上的點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值. 2.(2018·河南安陽二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x+y=5,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ

2、=4sin θ. (1)求直線l的極坐標(biāo)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)射線OP:θ=與圓C的交點(diǎn)為O,A,與直線l的交點(diǎn)為B,求線段AB的長(zhǎng). 解:(1)因?yàn)閤=ρcos θ,y=ρsin θ,直線l:x+y=5, 所以直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=5, 化簡(jiǎn)得2ρsin=5. 由ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ, 所以x2+y2=4y,即x2+y2-4y=0. 故圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0. (2)由題意得ρA=4sin =2, ρB==5, 所以|AB|=|ρA-ρB|=3. 3.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中

3、,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑. 解:(1)由l1:(t為參數(shù))消去t, 得l1的普通方程y=k(x-2),① 同理得直線l2的普通方程為x+2=ky,② 聯(lián)立①,②消去k,得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)將直線l3化為普通方程為x+y=, 聯(lián)立得 所以ρ2=x2+y2=+=5,

4、 所以與C的交點(diǎn)M的極徑為. 4.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤φ≤π),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=8sin θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)φ變化時(shí),求|AB|的最小值. 解:(1)由消去t得 xsin φ-ycos φ+2cos φ=0, 所以直線l的普通方程為xsin φ-ycos φ+2cos φ=0. 由ρcos2θ=8sin θ,得(ρcos θ)2=8ρsin θ, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=

5、8y, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2=8y. (2)將直線l的參數(shù)方程代入x2=8y,得t2cos2φ-8tsin φ-16=0, 設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=,t1t2=-, 所以|AB|=|t1-t2|== =. 當(dāng)φ=0時(shí),|AB|取最小值為8. 5.(2018·安徽聯(lián)合質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsin-2=0,曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ=,C1與C2相交于A,B兩點(diǎn). (1)把C1和C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并求點(diǎn)A,B的直角坐標(biāo); (2)若

6、P為C1上的動(dòng)點(diǎn),求|PA|2+|PB|2的取值范圍. 解:(1)由題意知,C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:x-y=0. 聯(lián)立方程組 解得A(-1,-1),B(1,1)或A(1,1),B(-1,-1). (2)設(shè)P(-1+2cos α,1+2sin α), 不妨設(shè)A(-1,-1),B(1,1), 則|PA|2+|PB|2=(2cos α)2+(2sin α+2)2+(2cos α-2)2+(2sin α)2=16+8sin α-8cos α=16+8sin, 又-1≤sin≤1, 所以|PA|2+|PB|2的取值范圍為[16-8,16+8]. 6.(2017·全國(guó)

7、卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a. 解:(1)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+y2=1, 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0. 聯(lián)立方程 解得或 則C與l交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),. (2)直線l的普通方程是x+4y-4-a=0. 設(shè)曲線C上點(diǎn)P(3cos θ,sin θ). 則P到l距離d== ,其中tan φ=. 又點(diǎn)C到直線l距離的最大值為. 所以|5sin(θ+φ)-4-a|的最大值為17. 若a≥0,則-5-4-a=-

8、17,所以a=8. 若a<0,則5-4-a=17,所以a=-16. 綜上可知,實(shí)數(shù)a的值為a=-16或a=8. 7.(2018·廣東肇慶二模)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ+=4cos θ+4sin θ. (1)當(dāng)α=時(shí),直接寫出C1的普通方程和極坐標(biāo)方程,直接寫出C2的直角坐標(biāo)方程; (2)已知點(diǎn)P,且曲線C1和C2交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值. 解:(1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤α<π), 所以消去參數(shù)t,得C1的普通方程為xsin α-y

9、cos α+cos α=0. 當(dāng)α=時(shí),所以C1的普通方程為x=0, 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=0. 因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程是ρ+=4cos θ+4sin θ, 即ρ2+7=4ρcos α+4ρsin θ, 所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+7=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=1. (2)將(t為參數(shù))代入(x-2)2+(y-2)2=1中,化簡(jiǎn)得t2-2(sin α+2cos α)t+4=0, 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1·t2=4. 因此|PA|·|PB|=|t1·t2|=4. 8.(2018·煙臺(tái)質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l

10、的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ. (1)求直線l和圓C的普通方程; (2)已知直線l上一點(diǎn)M(3,2),若直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A,B,求+的取值范圍. 解:(1)直線l的參數(shù)方程為化為普通方程為xsin α-ycos α+2cos α-3sin α=0, 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,即ρ2=2ρcos θ. 將ρ2=x2+y2,x=ρcos θ代入上式中, 得圓C的普通方程為x2+y2-2x=0. (2)將直線l的方程代入圓C:x2+y2-2x=0中,得t2+(4cos α+4sin α)t+7=0.(*) 設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2. 則t1+t2=-4(cos α+sin α),t1·t2=7. +==|sin α+cos α|. 因?yàn)榉匠?*)有兩個(gè)不同的實(shí)根, 所以Δ=16(cos α+sin α)2-28>0, 則|sin α+cos α|>. 又sin α+cos α=sin∈[-, ], 所以|sin α+cos α|∈. 所以|sin α+cos α|∈. 所以<+≤.

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