高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練6 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 文-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題能力訓練6　函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 一、能力突破訓練 1.(2019北京海淀一模,2)若x0是函數(shù)f(x)=log 2x-1x的零點,則(　　) A.-10的零點個數(shù)為(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2019遼寧沈陽東北育才中學檢測,10)已知函數(shù)f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=sin x+x的零點依次為x1,x2,x3,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.x1

2、x2 D.x20(k∈R).若函數(shù)y=|f(x)|+k有三個零點,則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A.[2,+∞) B.(-1,0) C.[-2,1) D.(-∞,-2] 5.已知e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點為a,函數(shù)g(x)=ln x+x-2的零點為b,則f(a),f(1),f(b)的大小關(guān)系為　.? 6.已知函數(shù)f(x)=x3,x≤a,x2,x>a.若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點,則a的取值范圍是　　　　　.? 7.一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì),每經(jīng)過一年就有34的

3、質(zhì)量發(fā)生衰變.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%,則至少需要　　　　　年.(填正整數(shù))? 8.已知關(guān)于x的方程x3+ax+b=0,其中a,b均為實數(shù).下列條件中,使得該方程僅有一個實根的是　　　　.(寫出所有正確條件的編號)? ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. 9.已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=12|x|+2. (1)求函數(shù)g(x)的值域; (2)求滿足方程f(x)-g(x)=0的x的值. 10.如圖,一個長方體形狀的物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向做勻速移動,速度為v(v>0),雨

4、速沿E移動方向的分速度為c(c∈R).E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:①P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×S成正比,比例系數(shù)為110;②其他面的淋雨量之和,其值為12.記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100,面積S=32時, (1)寫出y的解析式; (2)設(shè)0

5、 A.-∞,1e B.(-∞,e) C.-1e,e D.-e,1e 12.已知函數(shù)f(x)=ln x-12x-1+a有唯一的零點x0,且x0∈(2,3),則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　.? 13.(2018全國Ⅱ,文21)已知函數(shù)f(x)=13x3-a(x2+x+1). (1)若a=3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)證明:f(x)只有一個零點. 14.甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付的情況下,乙方的年利潤x(單位:元)與年產(chǎn)量q(單位:t)滿足函數(shù)

6、關(guān)系:x=2 000q.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格). (1)將乙方的年利潤w(單位:元)表示為年產(chǎn)量q(單位:噸)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量; (2)在乙方年產(chǎn)量為q(單位:噸)時,甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y=0.002q2(單位:元),在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應向乙方要求的賠付價格s是多少? 專題能力訓練6　函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 一、能力突破訓練 1.C　解析因為f(x)的圖象在區(qū)間(1,2)內(nèi)連續(xù),且f(1)=-1,f(2)=12,即f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)

7、在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點,即10時,令-2+lnx=0,解得x=e2.所以函數(shù)f(x)有2個零點.故選C. 3.B　解析在同一平面直角坐標系中畫出y=3x,y=log3x,y=sinx與y=-x的圖象,如圖所示,可知x1<0,x2>0,x3=0,則x1

8、)　解析由題意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). 因為f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點a∈(0,1). 由題意,知g'(x)=1x+1>0, 則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù). 又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,則函數(shù)g(x)的零點b∈(1,2). 綜上,可得0

9、y=b有兩個不同的交點. 當0≤a≤1時,由f(x)的圖象(圖略)知f(x)在定義域R上單調(diào)遞增,它與直線y=b不可能有兩個交點. 當a<0時,由f(x)的圖象(如圖①)知,f(x)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且a3<0,a2>0,所以,當01時,由f(x)的圖象(如圖②)知,f(x)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,但a3>a2,所以當a2

10、是a<0或a>1. 7.4　解析設(shè)這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,經(jīng)過x(x∈N)年后,剩留量是y,則y=14x. 依題意,得14x≤1100,整理得22x≥100,解得x≥4. 所以至少需要4年. 8.①③④⑤　解析方程僅有一個實根,則函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象與x軸只有一個公共點.當a=-3時,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1處取極大值,在x=1處取極小值.當b=-3時,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,滿足題意,故①正確;當b=2時,f(-1)=4>0,f(1)=0,圖象與x軸有2個公共點,不滿足

11、題意,故②不正確;當b>2時,f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,滿足題意,故③正確;當a=0和a=1時,f'(x)=3x2+a≥0,f(x)在R上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=x3+ax+b的圖象與x軸只有一個交點,故④⑤也滿足題意. 9.解(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2. 因為|x|≥0,所以0<12|x|≤1, 即20時,由2x-12x-2=0,得(2x)2-2×2x-1=0,(2x-1)2=2, 解得2

12、x=1±2.因為2x>0,所以2x=1+2, 即x=log2(1+2). 10.解(1)由題意知,E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0). (2)由(1)知,當0

13、區(qū)間(0,c]上,y是關(guān)于v的減函數(shù);在區(qū)間(c,5]上,y是關(guān)于v的增函數(shù). 故當v=c時,ymin=50c. 二、思維提升訓練 11.B　解析由題意,得方程f-x-gx=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有解, 即e-x+2-ln(x+a)-2=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有解, 即函數(shù)y=e-x的圖象與y=ln(x+a)的圖象在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有交點, 把點(0,1)代入y=ln(x+a),得1=lna,解得a=e,故a

14、nx為增函數(shù),而y=12x-1-a為減函數(shù). 要使兩函數(shù)圖象交點的橫坐標落在區(qū)間(2,3)內(nèi),必須有l(wèi)n2<122-1-a,ln3>123-1-a,解得14-ln30; 當x∈(3-23,3+23)時,f'(x)<0. 故f(x)在區(qū)間(-∞,3-23),(3+23,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(3-23,3+23)內(nèi)單調(diào)遞減. (2)證明因為x2+x+1

15、>0,所以f(x)=0等價于x3x2+x+1-3a=0. 設(shè)g(x)=x3x2+x+1-3a,則g'(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,僅當x=0時g'(x)=0,所以g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故g(x)至多有一個零點,從而f(x)至多有一個零點. 又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162?16<0,f(3a+1)=13>0,故f(x)有一個零點. 綜上,f(x)只有一個零點. 14.解(1)因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w=2000q-sq(q≥0). 因為w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s, 所以當q=1000s2時,w取得最大值.所以乙方取得最大利潤的年產(chǎn)量q=1000s2噸. (2)設(shè)甲方凈收入為v元, 則v=sq-0.002q2, 將q=1000s2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式: v=10002s?2×10003s4. 又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5, 令v'=0得s=20. 當s<20時,v'>0; 當s>20時,v'<0. 所以當s=20時,v取得最大值. 因此當甲方向乙方要求賠付價格s為20元/噸時,獲得最大凈收入.