2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)A.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)A 【知識導(dǎo)讀】 任意角 的概念 角度制與 弧度制 任意角的 三角函數(shù) 弧長與扇形 面積公式 三角函數(shù)的 圖象和性質(zhì) 和 角 公 式 差 角 公 式 幾個(gè)三角 恒等式 倍 角 公 式 同角三角函數(shù)關(guān)系 誘 導(dǎo)公 式 正弦定理與余弦定理 解斜三角形及其應(yīng)用 化簡、計(jì)算、求值 與證明 【方法點(diǎn)撥】 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù),它與數(shù)學(xué)的其它部分如解析幾何、立體幾何及向量等有著廣泛的聯(lián)系,同時(shí)它也提供了一種解決數(shù)學(xué)問題的重要方法——“三角法”.這一部分的內(nèi)容,具有以下幾個(gè)特點(diǎn): 1.公式繁雜.公式雖多,但公式間的聯(lián)系非常密切,規(guī)律性強(qiáng).弄清公式間的相互聯(lián)系和推導(dǎo)體系,是記住這些公式的關(guān)鍵. 2.思想豐富.化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論和函數(shù)與方程的思想貫穿于本單元的始終,類比的思維方法在本單元中也得到充分的應(yīng)用.如將任意角的三角函數(shù)值的問題化歸為銳角的三角函數(shù)的問題,將不同名的三角函數(shù)問題化成同名的三角函數(shù)的問題,將不同角的三角函數(shù)問題化成同角的三角函數(shù)問題等. 3.變換靈活.有角的變換、公式的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換、三角函數(shù)表達(dá)形式的變換及一些常量的變換等,并且有的變換技巧性較強(qiáng). 4.應(yīng)用廣泛.三角函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其它知識的結(jié)合點(diǎn)非常多,它是解決立體幾何、解析幾何及向量問題的重要工具,并且這部分知識在今后的學(xué)習(xí)和研究中起著十分重要的作用,比如在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)及其它各門科學(xué)技術(shù)都有廣泛的應(yīng)用. 第1課 三角函數(shù)的概念 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1. 理解任意角和弧度的概念,能正確進(jìn)行弧度與角度的換算. 角的概念推廣后,有正角、負(fù)角和零角;與終邊相同的角連同角本身,可構(gòu)成一個(gè)集合;把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角定義為1弧度的角,熟練掌握角度與弧度的互換,能運(yùn)用弧長公式及扇形的面積公式=(為弧長)解決問題. 2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定義. 角的概念推廣以后,以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系,在角的終邊上任取一點(diǎn)(不同于坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè)(),則的三個(gè)三角函數(shù)值定義為:. 從定義中不難得出六個(gè)三角函數(shù)的定義域:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域?yàn)镽;正切函數(shù)的定義域?yàn)椋? 3. 掌握判斷三角函數(shù)值的符號的規(guī)律,熟記特殊角的三角函數(shù)值. 由三角函數(shù)的定義不難得出三個(gè)三角函數(shù)值的符號,可以簡記為:一正(第一象限內(nèi)全為正值),二正弦(第二象限內(nèi)只有正弦值為正),三切(第三象限只有正切值為正),四余弦(第四象限內(nèi)只有余弦值為正).另外,熟記、、、、的三角函數(shù)值,對快速、準(zhǔn)確地運(yùn)算很有好處. 4. 掌握正弦線、余弦線、正切線的概念. 在平面直角坐標(biāo)系中,正確地畫出一個(gè)角的正弦線、余弦線和正切線,并能運(yùn)用正弦線、余弦線和正切線理解三角函數(shù)的性質(zhì)、解決三角不等式等問題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 化成的形式是 ?。? 第二或第四象限 2.已知為第三象限角,則所在的象限是 . 3.已知角的終邊過點(diǎn),則= , = . 正 4.的符號為 . 5.已知角的終邊上一點(diǎn)(),且,求,的值. 解:由三角函數(shù)定義知,,當(dāng)時(shí),,; 當(dāng)時(shí),,. 【范例解析】 例1.(1)已知角的終邊經(jīng)過一點(diǎn),求的值; (2)已知角的終邊在一條直線上,求,的值. 分析:利用三角函數(shù)定義求解. 解:(1)由已知,.當(dāng)時(shí),,,,則; 當(dāng)時(shí),,,,則. (2)設(shè)點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則; 當(dāng)時(shí),角是第一象限角,則; 當(dāng)時(shí),角是第三象限角,則. 點(diǎn)評:要注意對參數(shù)進(jìn)行分類討論. 例2.(1)若,則在第_____________象限. (2)若角是第二象限角,則,,,,中能確定是正值的有____個(gè). 解:(1)由,得,同號,故在第一,三象限. (2)由角是第二象限角,即,得,,故僅有為正值. 點(diǎn)評:準(zhǔn)確表示角的范圍,由此確定三角函數(shù)的符號. 例3. 一扇形的周長為,當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?最大面積是多少? 分析:選取變量,建立目標(biāo)函數(shù)求最值. 解:設(shè)扇形的半徑為x㎝,則弧長為㎝,故面積為, 當(dāng)時(shí),面積最大,此時(shí),,, 所以當(dāng)弧度時(shí),扇形面積最大25. 點(diǎn)評:由于弧度制引入,三角函數(shù)就可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). 【反饋演練】 二 1.若且則在第_______象限. 三 2.已知,則點(diǎn)在第________象限. 3.已知角是第二象限,且為其終邊上一點(diǎn),若,則m的值為_______. 4.將時(shí)鐘的分針撥快,則時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度為 ?。? 5.若,且與終邊相同,則= . 6.已知1弧度的圓心角所對的弦長2,則這個(gè)圓心角所對的弧長是_______,這個(gè)圓心角所在的扇形的面積是___________. 7.(1)已知扇形的周長是6cm,該扇形中心角是1弧度,求該扇形面積. (2)若扇形的面積為8,當(dāng)扇形的中心角為多少弧度時(shí),該扇形周長最?。? 簡解:(1)該扇形面積2; (2),得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.此時(shí),,. 第2課 同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;同角的三角函數(shù)關(guān)系反映了同一個(gè)角的不同三角函數(shù)間的聯(lián)系. 2.掌握正弦,余弦的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式則揭示了不同象限角的三角函數(shù)間的內(nèi)在規(guī)律,起著變名,變號,變角等作用. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. tan600=______. 2. 已知是第四象限角,,則______. 23 - 3.已知,且,則tan=______. 4.sin15cos75+cos15sin105=___1___. 【范例解析】 例1.已知,求,的值. 分析:利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角關(guān)系,求值. 解:由,得,是第二,三象限角. 若是第二象限角,則,; 若是第三象限角,則,. 點(diǎn)評:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函數(shù)值,但沒有確定角所在的象限,可按角的象限進(jìn)行分類,做到不漏不重復(fù). 例2.已知是三角形的內(nèi)角,若,求的值. 分析:先求出的值,聯(lián)立方程組求解. 解:由兩邊平方,得,即. 又是三角形的內(nèi)角,,. 由,又,得. 聯(lián)立方程組,解得,得. 點(diǎn)評:由于,因此式子,,三者之間有密切的聯(lián)系,知其一,必能求其二. 【反饋演練】 1.已知,則的值為_____. 2.“”是“A=30”的必要而不充分條件. 3.設(shè),且,則的取值范圍是 4.已知,且,則的值是 . 5.(1)已知,且,求的值. (2)已知,求的值. 解:(1)由,得. 原式=. (2), . 6.已知,求 (I)的值; (II)的值. 解:(I)∵ ;所以==. (II)由, 于是. 第3課 兩角和與差及倍角公式(一) 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握兩角和與差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系; 2.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換; 3.三角式變換的關(guān)鍵是條件和結(jié)論之間在角,函數(shù)名稱及次數(shù)三方面的差異及聯(lián)系,然后通過“角變換”,“名稱變換”,“升降冪變換”找到已知式與所求式之間的聯(lián)系; 4.證明三角恒等式的基本思路:根據(jù)等式兩端的特征,通過三角恒等變換,應(yīng)用化繁為簡,左右歸一,變更命題等方法將等式兩端的“異”化“同”. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. ___________. 3+cos2x 2. 化簡_____________. 3. 若f(sinx)=3-cos2x,則f(cosx)=___________ . 4.化簡:___________ . 【范例解析】 例 .化簡:(1); (2). (1)分析一:降次,切化弦. 解法一:原式=. 分析二:變“復(fù)角”為“單角”. 解法二:原式. (2)原式= ,,,原式=. 點(diǎn)評:化簡本質(zhì)就是化繁為簡,一般從結(jié)構(gòu),名稱,角等幾個(gè)角度入手.如:切化弦,“復(fù)角”變“單角”,降次等等. 【反饋演練】 1.化簡. 2.若,化簡_________. 3.若0<α<β<,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,則與的大小關(guān)系是_________. 4.若,則的取值范圍是___________. 5.已知、均為銳角,且,則= 1 . 6.化簡:. 解:原式=. 7.求證:. 證明:左邊==右邊. 8.化簡:. 解:原式= . 第4課 兩角和與差及倍角公式(二) 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.能熟練運(yùn)用兩角和與差公式,二倍角公式求三角函數(shù)值; 2.三角函數(shù)求值類型:“給角求值”,“給值求值”,“給值求角” . 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.寫出下列各式的值: (1)_________; (2)_________; (3)_________; (4)____1_____. 2.已知則=_________. 3.求值:(1)_______;(2)_________. - 4.求值:____1____. 5.已知,則________. 6.若,則_________. 【范例解析】 例1.求值:(1); (2). 分析:切化弦,通分. 解:(1)原式== . (2),又. 原式=. 點(diǎn)評:給角求值,注意尋找所給角與特殊角的聯(lián)系,如互余,互補(bǔ)等,利用誘導(dǎo)公式,和與差公式,二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換. 例2.設(shè),,且,,求,. 分析:, . 解:由,,得,同理,可得 ,同理,得. 點(diǎn)評:尋求“已知角”與“未知角”之間的聯(lián)系,如:,等. 例3.若,,求的值. 分析一:. 解法一:,, 又,,. ,,. 所以,原式=. 分析二:. 解法二:原式= 又, 所以,原式. 點(diǎn)評:觀察“角”之間的聯(lián)系以尋找解題思路. 【反饋演練】 1.設(shè),若,則=__________. 2.已知tan =2,則tanα的值為_______,tan的值為___________?。? 3.若,則=___________. 4.若,則 ?。? 5.求值:_________. 6.已知.求的值 解: 又 從而,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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