《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》理(含解析) 蘇教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六篇 數(shù)列、推理與證明《第31講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》理(含解析) 蘇教版(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練
(時(shí)間:45分鐘 滿分:80分)
一、填空題(每小題5分,共35分)
1.已知數(shù)列,1,,,,…,,…,則3是它的第________項(xiàng).
解析 3==.
答案 23
2.(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示).
則第七個(gè)三角形數(shù)是________.
解析 觀察三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是本身的序號(hào),所以根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可.根據(jù)三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律可知第七個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28
2、.
答案 28
3.(2011·四川卷改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=________.
解析 a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=3×43,a6=3S5=3×44.
答案 3×44
4.(2011·四川綿陽(yáng)二診)在數(shù)列{an}中,an=-2n2+29n+3,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是________.
解析 根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:an=-2n2+29n+3=-2+3=-22+3+,
∴n=7時(shí),an取得最大值,最大項(xiàng)a7的值為108.
答案 108
5
3、.在函數(shù)f(x)=中,令x=1,2,3,…,得到一個(gè)數(shù)列,則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是________.
答案 1, , ,2,
6.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項(xiàng)an=________.
解析 由an+1-an=n+1可得,an-an-1=n,
an-1-an-2=n-1,an-2-an-3=n-2,
…
a3-a2=3,a2-a1=2,
以上n-1個(gè)式子左右兩邊分別相加得,
an-a1=2+3+…+n,
∴an=1+(1+2+3+…+n)=+1.
答案?。?
7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k的值為_(kāi)__
4、_____.
解析 ∵Sn=n2-9n,∴n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-10,
a1=S1=-8適合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
∴5<2k-10<8,得7.5<k<9.∴k=8.
答案 8
二、解答題(每小題15分,共45分)
8.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.
(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?
(2)n為何值時(shí),an有最小值?并求出最小值.
解 (1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.
∵n∈N*,∴n=2,3.∴數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù),即為a2,a3.
(2)∵an=n2-5n+4=2-.又n∈N*,∴n=2或n=3時(shí),an有最小值
5、,其最小值為a2=a3=-2.
9.(★)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式.
解 由a1=S1=(a1+1)(a1+2),
解得a1=1或a1=2,由已知a1=S1>1,因此a1=2.
又由an+1=Sn+1-Sn
=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2),
得an+1-an-3=0或an+1=-an.
因an>0,故an+1=-an不成立,舍去.
因此an+1-an-3=0.
即an+1-an=3,從而{an}是公差為3,首項(xiàng)為2的等差數(shù)列,
故{an}的通項(xiàng)為an
6、=3n-1.
【點(diǎn)評(píng)】 解決已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,求通項(xiàng)an的問(wèn)題,步驟主要有:
第一步:令n=1,由Sn=f(an)求出a1;
第二步:令n≥2,構(gòu)造an=Sn-Sn-1,用an代換Sn-Sn-1(或用Sn-Sn-1代換an,這要結(jié)合題目的特點(diǎn)),由遞推關(guān)系求通項(xiàng);
第三步:驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)的結(jié)論是否適合當(dāng)n≥2時(shí)的結(jié)論.如果適合,則統(tǒng)一“合寫”;如果不適合,則應(yīng)分段表示;
第四步:明確規(guī)范表述結(jié)論.
10.已知數(shù)列{an}中,
an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0).
(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;
(2)若對(duì)任意的n∈N*,都
7、有an≤a6成立,求a的取值范圍.
解 (1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),
∵a=-7,∴an=1+.
結(jié)合函數(shù)f(x)=1+的單調(diào)性.
可知1>a1>a2>a3>a4;
a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).
∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5=2,最小項(xiàng)為a4=0.
(2)an=1+=1+.
∵對(duì)任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
并結(jié)合函數(shù)f(x)=1+的單調(diào)性,
∴5<<6,∴-10<a<-8.
B級(jí) 綜合創(chuàng)新備選
(時(shí)間:30分鐘 滿分:60分)
一、填空題(每小題5分,共30分)
1.(2011·廣東惠州二模)已知整數(shù)按如下規(guī)律排
8、成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……則第60個(gè)數(shù)對(duì)是________.
解析 按規(guī)律分組
第一組(1,1)
第二組(1,2),(2,1)
第三組(1,3),(2,2),(3,1)
則前10組共有=55個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì).
第60項(xiàng)應(yīng)在第11組中即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7)…,(11,1)因此第60個(gè)數(shù)對(duì)為(5,7).
答案 (5,7)
2.在數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+2,若對(duì)所有的n∈N*,都有an+1>an成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__
9、______.
解析 an+1>an,即(n+1)2+k(n+1)+2>n2+kn+2,則k>-(2n+1)對(duì)所有的n∈N*都成立,而當(dāng)n=1時(shí),-(2n+1)取得最大值-3,所以k>-3.
答案 (-3,+∞)
3.(2011·合肥三檢)在數(shù)列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),則a16=________.
解析 由題可知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,a16=a3×5+1=a1=.
答案
4.已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足log2(Sn+1)=n+1,則an=________.
解析 由已知條件可得Sn+1=2
10、n+1.
∴Sn=2n+1-1,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n,
n=1時(shí)不適合an,∴an=
答案
5.已知數(shù)列{an}滿足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,則a2 009=________;a2 014=________.
解析 依題意,得a2 009=a4×503-3=1,
a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0.
∴應(yīng)填1,0.
答案 1,0
6.(2012·泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中x的值為_(kāi)_______.
11、
解析 觀察數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律,易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和.
答案 21
二、解答題(每小題15分,共30分)
7.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,
an+1=an+2n-1,求an.
解 由an+1=an+2n-1,得an+1-an=2n-1.
所以a2-a1=1,a3-a2=2,
a4-a3=22,
a5-a4=23,
…
an-an-1=2n-2(n≥2),
將以上各式左右兩端分別相加,得an-a1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1,
所以an=2n-1(n≥2),又因?yàn)閍1=1適合上式,故an=2n-1(n≥1).
8.(2011·廣州
12、模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,且a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=ln an,是否存在k(k≥2,且k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列.若存在,求出所有符合條件的k值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)法一 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-,即=(n≥2).所以是首項(xiàng)為=1的常數(shù)數(shù)列,所以=1,即an=n(n∈N*).
法二 同上,得(n-1)an=nan-1.同理,得
nan+1=(n+1)an,所以2nan=n(an-1+an+1),即
2an=an-1+an+1,所以{an}成等差數(shù)列.又由a1=1,得a2=S2-a1=2,得an=1+(n-1)=n(n∈N*).
法三 同上,得=(n≥2),
所以an=···…···a1=··…···1=n,當(dāng)n=1時(shí)a1=1,也滿足an=n,所以an=n(n∈N*).
(2)假設(shè)存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列,則bkbk+2=b.因?yàn)閎n=ln an=ln n,
所以bkbk+2=ln k·ln(k+2)<2=2<2=[ln(k+1)]2=b,這與bkbk+2=b矛盾.
故不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk,bk+1,bk+2成等比數(shù)列.