（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過關(guān)練 第11練 尋圖有道破解有方 函數(shù)的圖象問題 理

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1、第11練　尋圖有道，破解有方——函數(shù)的圖象問題 題型一　對函數(shù)圖象的直接考查 例1　函數(shù)y＝的圖象大致是________． 破題切入點(diǎn)　從函數(shù)定義域入手，考慮函數(shù)變化趨勢，借助特殊值． 答案?、? 解析　由3x－1≠0得x≠0，∴函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≠0}，可排除①；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝＝>0，可排除②；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，但從④的函數(shù)圖象可以看出函數(shù)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，兩者矛盾，可排除④.故③符合要求． 題型二　對函數(shù)零點(diǎn)的考查 例2　已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f()，當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f(x)＝ln x．若在區(qū)間[，3]內(nèi)，函

2、數(shù)g(x)＝f(x)－ax與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 破題切入點(diǎn)　求出f(x)在[，3]上的解析式，數(shù)形結(jié)合解決． 答案　[，) 解析　由題意可知當(dāng)x在區(qū)間[，1]內(nèi)時(shí)，∈[1,3]，f(x)＝f()＝ln ＝－ln x，則f(x)＝函數(shù)g(x)＝f(x)－ax與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即f(x)－ax＝0有三個(gè)不同的根，即f(x)＝ax有三個(gè)不同的根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)x在區(qū)間[，1)上時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝ax有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝ax有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線y＝ax過點(diǎn)(

3、3，ln 3)時(shí)，a的值滿足ln 3＝3a，即a＝；當(dāng)直線y＝ax與f(x)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，ln x0)，則點(diǎn)(x0，ln x0)在直線上，故ln x0＝ax0，而a＝(ln x)′|＝，所以ln x0＝1，x0＝e，即a＝＝，函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是[，)． 題型三　綜合考查函數(shù)圖象 例3　已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)＝x＋＋2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對稱． (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在區(qū)間[0,2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 破題切入點(diǎn)　(1)根據(jù)對稱性求f(x)的解

4、析式，考查函數(shù)圖象的對稱變換． (2)求出g(x)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)求字母a的取值范圍． 解　(1)∵f(x)的圖象與h(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對稱，設(shè)f(x)圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為B(x，y)，其關(guān)于A(0,1)的對稱點(diǎn)為B′(x′，y′)，則∴ ∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2. ∴2－y＝－x－＋2， ∴y＝x＋，即f(x)＝x＋. (2)∵g(x)＝x2＋ax＋1， 又g(x)在[0,2]上為減函數(shù)，∴－≥2，即a≤－4. ∴a的取值范圍為(－∞，－4]． 總結(jié)提高　(1)求函數(shù)圖象時(shí)首先考慮函數(shù)定義域，然后考慮特殊值以及函數(shù)變化趨勢，特殊

5、值首先考慮坐標(biāo)軸上的點(diǎn)． (2)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì)． (3)在運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)要避免只看表象不聯(lián)系其本質(zhì)，透過函數(shù)的圖象要看到它所反映的函數(shù)的性質(zhì)，并以此為依據(jù)進(jìn)行分析、推斷，才是正確的做法． (4)在解決綜合問題時(shí)，圖象只能作為分析工具而不能作為解題過程，在應(yīng)用過程中要使圖象盡量準(zhǔn)確． 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是________． 答案　(－3,1)∪(3，＋∞) 解析　 畫出分段函數(shù)的圖象如圖， 令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3. 所以當(dāng)f(x

6、)>f(1)時(shí)，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)． 2．已知函數(shù)y＝，將其圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位，再向下平移b(b>0)個(gè)單位后圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，則ab的值為________． 答案　1 解析　圖象平移后的函數(shù)解析式為y＝－b， 由題意知－b＝0，∴ab＝1. 3．(2014·山東改編)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(，1) 解析　先作出函數(shù)f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)＝kx與直線AB平行時(shí)斜率為1，當(dāng)直線g(x)＝kx過A點(diǎn)時(shí)斜率為，

7、故f(x)＝g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k的范圍為(，1)． 4．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f()的值為________． 答案　2 解析　由圖象知f(3)＝1， ∴＝1， ∴f()＝f(1)＝2. 5．(2014·湖北改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案　[－，] 解析　因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所

8、以當(dāng)0≤x≤a2時(shí)，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x； 當(dāng)a2

9、x)>x的解集為________________． 答案　[－2，－)∪(0，) 解析　依題意，畫出y＝f(x)與y＝x的圖象，如圖所示，注意到y(tǒng)＝f(x)的圖象與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)是(，)和(－，－)，結(jié)合圖象可以求得解集為[－2，－)∪(0，)． 7．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足： ①函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱； ②對?x∈R，f(－x)＝f(＋x)成立； ③當(dāng)x∈(－，－]時(shí)，f(x)＝log2(－3x＋1)． 則f(2 014)＝________. 答案?。? 解析　由①知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)(通過圖象變換易

10、推出)，由②知函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝對稱，即f(－x)＝f(＋x)，由奇函數(shù)可得f(x)＝－f(＋x)，據(jù)此可推出f(＋x)＝－f(3＋x)，則有f(x)＝f(x＋3)，故函數(shù)以3為周期，因此f(2 014)＝f(1)＝－f(－1)＝－log24＝－2. 8．已知函數(shù)f(x)＝x2＋1的定義域?yàn)閇a，b](a

11、軸圍成的圖形是一個(gè)邊長為2的正方形，其面積為4. 9．(2014·江蘇)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0,3)時(shí)，f(x)＝|x2－2x＋|.若函數(shù)y＝f(x)－a在區(qū)間[－3,4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(0，) 解析　作出函數(shù)y＝f(x)在[－3,4]上的圖象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，觀察圖象可得0

12、3x不存在零點(diǎn)；③函數(shù)y＝f(x)的值域是R；④f(x)的圖象不經(jīng)過第一象限．其中正確的有________． 答案?、佗冖邰? 解析　 由方程＋＝－1可知， x，y不可能同時(shí)大于0，分類討論： 當(dāng)x<0，y≥0時(shí)，－＝1表示雙曲線的一部分； 當(dāng)x<0，y<0時(shí)，＋＝1表示橢圓的一部分； 當(dāng)x≥0，y<0時(shí)，－＝1表示雙曲線的一部分； 作出圖象可知①③④正確，對于②的判斷： 由于y＝－x是雙曲線－＝1和－＝1的漸近線， 所以結(jié)合圖形可知曲線y＝f(x)與直線y＝－x沒有交點(diǎn)， 則F(x)＝4f(x)＋3x不存在零點(diǎn)． 11．已知函數(shù)f(x)＝xk＋b(其中k，b∈R且k

13、，b為常數(shù))的圖象經(jīng)過A(4,2)、B(16,4)兩點(diǎn)． (1)求f(x)的解析式； (2)如果函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，解關(guān)于x的不等式：g(x)＋g(x－2)>2a(x－2)＋4. 解　(1)?b＝0，k＝?f(x)＝. (2)設(shè)M(x，y)是曲線y＝g(x)上任意一點(diǎn)，由于函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，所以M(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)M′(y，x)必在曲線y＝f(x)上，所以x＝，即y＝x2，所以g(x)＝x2(x≥0)，于是 g(x)＋g(x－2)>2a(x－2)＋4 ? ?. ①若a≤2，則不等式的解集為{x|x>2}；

14、 ②若a>2，則不等式的解集為{x|x>a}． 12．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，并對一切實(shí)數(shù)x，都滿足f(2＋x)＝f(2－x)． (1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱； (2)若f(x)是偶函數(shù)，且x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－1， 求x∈[－4,0]時(shí)f(x)的表達(dá)式． (1)證明　設(shè)P(x0，y0)是函數(shù)y＝f(x)圖象上任一點(diǎn)， 則y0＝f(x0)，點(diǎn)P關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)為P′(4－x0，y0)． 因?yàn)閒(4－x0)＝f[2＋(2－x0)] ＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y(tǒng)0， 所以P′也在y＝f(x)的圖象上， 所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱． (2)解　當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，－x∈[0,2]， 所以f(－x)＝－2x－1.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)， 所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]． 當(dāng)x∈[－4，－2]時(shí)，4＋x∈[0,2]， 所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7， 而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]． 所以f(x)＝