2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四章《圓與方程》復(fù)習(xí)教案 新人教A版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四章《圓與方程》復(fù)習(xí)教案 新人教A版必修2 復(fù)習(xí)知識點: 一:圓的方程。 (1)標(biāo)準(zhǔn)方程(幾何式): (圓心為A(a,b),半徑為r) (2)圓的一般方程(代數(shù)式):() 圓心 半徑 提示:求圓的方程的主要方法有兩種:一是定義法,二是待定系數(shù)法。定義法是指用定義求出圓心坐標(biāo)和半徑長,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;待定系數(shù)法即列出關(guān)于的方程組,求而得到圓的一般方程,一般步驟為:(1)根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于的方程組;(3)解方程組。求出的值,并把它們代人所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的一般方程. 二:點與圓的位置關(guān)系的判斷方法,,: 若 ,則點P在圓上;若 ,則點P在圓外;若 ,則點P在圓內(nèi); 三:直線與圓的位置關(guān)系判斷方法: (1)幾何法:由圓心到直線的距離d和圓r的半徑的大小關(guān)系來判斷。 (1) 相交 (2)相切 (3)相離 適用于已知直線和圓的方程判斷二者關(guān)系,也適用于其中有參數(shù),對參數(shù) 談?wù)摰膯栴}。利用這種方法,可以簡單的算出直線與圓相交時的相交弦的長,以及當(dāng)直線與 圓相離時,圓上的點到直線的最遠(yuǎn)、最近距離等。 (2)代數(shù)法:由直線與圓的方程聯(lián)立消元得到 ,然后由判別式△來判斷。 (1) 相交 (2)相切 (3)相離 利用這種方法,可以很簡單的求出直線與圓有交點時的交點坐標(biāo)。 四:圓與圓的位置關(guān)系判斷方法: (1)幾何法:兩圓的連心線長為,圓的半徑與圓的半徑,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點: 1)當(dāng) 時,圓與圓相離;2)當(dāng) 時,圓與圓外切; 3)當(dāng) 時,圓與圓相交;4)當(dāng) 時,圓與圓內(nèi)切; 5)當(dāng) 時,圓與圓內(nèi)含; (2)代數(shù)法:由兩圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x或y的一元二次方程, 然后由判別式△來判斷。 △=0為外切或內(nèi)切,△>0為相交,△<0為相離或內(nèi)含。若兩圓相交,兩圓 方程相減得公共弦所在直線方程。 五:直線與圓的方程的應(yīng)用:利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系。 典型例題與練習(xí): 類型一:求圓的方程 例1:已知一圓經(jīng)過點A(2,-3)和B(-2,-5),且圓心C在直線l: 上,求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(三種方法求解)。 類型二:軌跡方程與切線方程 例2:已知點P(10,0),Q為圓上一點動點,當(dāng)Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程(參照課本例題求解,答案:)。 例題3:求由下列條件所決定圓的圓的切線方程: (1)經(jīng)過點,(2)經(jīng)過點,(3)斜率為。(參照成才之路P85頁) 結(jié)論:已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線方程(答案)。 類型三:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例題4:已知直線,直線以及上一點.求圓心在 上且與直線相切于點的圓的方程. 例題5:一圓與y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且直線y=x截圓所得弦長為2,求此圓的方程. 例6: 求經(jīng)過兩圓(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交點,且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程. 例7: 已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)證明:不論m取什么實數(shù),直線l與圓恒交于兩點; (2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程. 類型四:弦長問題 例8:已知圓C:內(nèi)有一點P(2,2),過點P作直線l交圓C于A、B兩點. (1)當(dāng)l經(jīng)過圓心C時,求直線l的方程;(2)當(dāng)弦AB被點P平分時,寫出直線l的方程; (3) 當(dāng)直線l的傾斜角為45時,求弦AB的長. 類型五:對稱問題與距離最值問題 例9:一束光線l自A(-3,3)發(fā)出,射到x軸上,被x軸反射到⊙C:x2+y2-4x-4y+7=0上.(1)求反射線通過圓心C時,光線l的方程;(2)求在x軸上,反射點M的范圍. 例題10:已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值. 精選精練: 一、選擇題 1 圓:和圓:交于兩點,則的垂直平分線的方程是( ) A. B C D 2 方程表示的曲線是( ) A一個圓 B 兩個半圓 C兩個圓 D 半圓 3已知圓:及直線,當(dāng)直線被截得的弦長為時,則( ) A B C D 4 圓的圓心到直線的距離是( ) A B C D 5 直線截圓得的劣弧所對的圓心角為( ) A B C D 6 圓上的點到直線的距離的最小值是( ) A 6 B 4 C 5 D 1 7兩圓和的位置關(guān)系是( ) A 相離 B相交 C 內(nèi)切 D外切 8 直線與圓交于兩點,則(是原點)的面積為( ) A B ?。? ?。? 9 直線過點,與圓有兩個交點時,斜率的取值范圍是( ) A B C D 10 已知圓C的半徑為,圓心在軸的正半軸上,直線與圓C相切,則 圓C的方程為( ) A B C D 11 若過定點且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點,則的取值范圍是( ) A B C D 12設(shè)直線過點,且與圓相切,則的斜率是( ) A B C D 二、填空題 1 若點在軸上,且,則點的坐標(biāo)為 2若曲線與直線始終有交點,則的取值范圍是___________; 若有一個交點,則的取值范圍是________;若有兩個交點,則的取值范圍是_______; 3 已知圓的方程為,過點的直線與圓交于兩點,若使最小,則直線的方程是________________ 4 如果實數(shù)滿足等式,那么的最大值是________ 5 過圓外一點,引圓的兩條切線,切點為,則直線的方程為________ 6 直線被曲線所截得的弦長等于 7 圓:的外有一點,由點向圓引切線的長______ 8. 對于任意實數(shù),直線與圓的位置關(guān)系是 9 動圓的圓心的軌跡方程是 10 為圓上的動點,則點到直線的距離的最小值為_______ 必修② 第四章 圓與方程復(fù)習(xí)提綱答案 例題1:解:因為A(2,-3),B(-2,-5), 所以線段AB的中點D的坐標(biāo)為(0,-4), 又 ,所以線段AB的垂直 平分線的方程是. 聯(lián)立方程組,解得. 所以,圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑, 所以,此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 例題4:解:設(shè)圓心為,半徑為,依題意,.設(shè)直線的斜率,過兩點的直線斜率,因,故,∴,解得. .所求圓的方程為. 例題5:解:因圓與y軸相切,且圓心在直線x-3y=0上,故設(shè)圓方程為(x-3b)2+(y-b)2=9b2. 又因為直線y=x截圓得弦長為2,則有()2+()2=9b2,解得b=1.故所求圓方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 評述:在解決求圓的方程這類問題時,應(yīng)當(dāng)注意以下幾點:(1)確定圓方程首先明確是標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程;(2)根據(jù)幾何關(guān)系(如本例的相切、弦長等)建立方程求得a、b、r或D、E、F(3)待定系數(shù)法的應(yīng)用,解答中要盡量減少未知量的個數(shù). 例題6:剖析:根據(jù)已知,可通過解方程組 得圓上兩點, (x+3)2+y2=13, x2+(y+3)2=37 由圓心在直線x-y-4=0上,三個獨立條件,用待定系數(shù)法求出圓的方程; 也可根據(jù)已知,設(shè)所求圓的方程為(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0,再由圓心在直線x-y-4=0上,定出參數(shù)λ,得圓方程. 解:因為所求的圓經(jīng)過兩圓(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交點, 所以設(shè)所求圓的方程為(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2-37]=0. 展開、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+. 圓心為(-,-),代入方程x-y-4=0,得λ=-7. 故所求圓的方程為(x+)2+(y+)2= . 評述:圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圓C1、C2相交,那么過兩圓公共點的圓系方程為(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R且λ≠-1).它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過兩圓C1、C2公共點的圓. 特別提示 在過兩圓公共點的圖象方程中,若λ=-1,可得兩圓公共弦所在的直線方程. 例題7:剖析:直線過定點,而該定點在圓內(nèi),此題便可解得. (1)證明:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. 得 ∵m∈R,∴ 2x+y-7=0, x=3, x+y-4=0, y=1, 即l恒過定點A(3,1).∵圓心C(1,2),|AC|=<5(半徑), ∴點A在圓C內(nèi),從而直線l恒與圓C相交于兩點. (2)解:弦長最小時,l⊥AC,由kAC=-, ∴l(xiāng)的方程為2x-y-5=0.評述:若定點A在圓外,要使直線與圓相交則需要什么條件呢? 例題8:解:(1)已知圓C:的圓心為C(1,0),因直線過點P、C,所以直線l的斜率為2, 直線l的方程為y=2(x-1),即 2x-y-20. (2)當(dāng)弦AB被點P平分時,l⊥PC, 直線l的方程為, 即 x+2y-6=0 (3)當(dāng)直線l的傾斜角為45時,斜率為1,直線l的方程為y-2=x-2 ,即 x-y=0圓心C到直線l的距離為,圓的半徑為3,弦AB的長為 例題9:解: ⊙C:(x-2)2+(y-2)2=1 (Ⅰ)C關(guān)于x軸的對稱點C′(2,-2),過A,C′的方程:x+y=0為光線l的方程. (Ⅱ)A關(guān)于x軸的對稱點A′(-3,-3),設(shè)過A′的直線為y+3=k(x+3),當(dāng)該直線與⊙C相切時, 有或 ∴過A′,⊙C的兩條切線為 令y=0,得 ∴反射點M在x軸上的活動范圍是 例題10:解:(1)如圖,方程x2+y2-4x+1=0表示以點(2,0)為圓心,以為半徑的圓. 設(shè)=k,即y=kx,由圓心(2,0)到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切,斜率取得最大、最小值.由=,解得k2=3.所以kmax=,kmin=-.(也可由平面幾何知識,有OC=2,OP=,∠POC=60,直線OP的傾斜角為60,直線OP′的傾斜角為120解之) (2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時,縱軸截距b取最小值.由點到直線的距離公式,得=,即b=-2,故(y-x)min=-2-. (3)x2+y2是圓上點與原點距離之平方,故連結(jié)OC,與圓交于B點,并延長交圓于C′,則(x2+y2)max=|OC′|=2+,(x2+y2)min=|OB|=2-. 精選精練 一、選擇題 1 C 由平面幾何知識知的垂直平分線就是連心線 2B 對分類討論得兩種情況 3 C 4A 5 C 直線的傾斜角為,得等邊三角形 6B 7 B 8 D 弦長為, 9 C ,相切時的斜率為 10D 設(shè)圓心為 11 A 圓與軸的正半軸交于 12 D 得三角形的三邊,得的角 二、填空題 1 設(shè)則 2 ;; 曲線代表半圓 3 當(dāng)時,最小, 4 設(shè), 另可考慮斜率的幾何意義來做 5 設(shè)切點為,則的方程為 的方程為,則 6 , 7 8 相切或相交 ;另法:直線恒過,而在圓上 9 圓心為,令 10- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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