大學(xué)數(shù)學(xué) 極限

《大學(xué)數(shù)學(xué) 極限》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)數(shù)學(xué) 極限（66頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 極 限 概 念 是 微 積 分 的 基 本 概念 。 極 限 是 一 種 非 初 等 運(yùn) 算 ,也是 微 積 分 學(xué) 研 究 的 基 本 工 具 .后 面 將 要 介 紹 的 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 、導(dǎo) 數(shù) 、 積 分 等 重 要 概 念 ， 都 是以 極 限 為 基 礎(chǔ) 的 。極 限 是 高 等 數(shù) 學(xué) 中 的 一 種 重 要 的 研 究 方 法 。 極 限 是 以 發(fā) 展 的 眼 光 分 析 事 物(變 量 )的 變 化 規(guī) 律 ,通 過 極 限 我 們可 以 深 入 到 函 數(shù) 的 局 部 去 了 解 函數(shù) ,并 且 體 會(huì) 如 何 在 運(yùn) 動(dòng) 的 過 程中 把 握 變 化 的 事

2、物 ,從 而 深 化 對(duì)客 觀 世 界 的 認(rèn) 識(shí) 。1.3.1 數(shù) 列 的 極 限 (limit of sequence)數(shù) 列 的 定 義 ： 按 照 一 定 規(guī) 律 有 次 序 排 列 的 無窮 多 個(gè) 數(shù) 稱 為 數(shù) 列 。記 作 .nx nx 稱 為 通 項(xiàng) (一 般 項(xiàng) ) . , 4321 nxxxxx ,1, 41,31,21,1 n ,)1(,1,1,1 1 n 數(shù) 列 的 極 限 數(shù) 列 極 限 的 定 義 ， 請(qǐng) 同 學(xué) 們 回 憶 一 下 。 中 國 古 代 的 極 限 思 想 ：“ 一 尺 之 椎 ， 日 取 其 半 ， 萬 世 不 竭 。 ” ,21,21,21,2

3、1,21 432 n考 察 當(dāng) n+時(shí) ， 通 項(xiàng) xn的 變 化 趨 勢 。數(shù) 列 極 限 的 實(shí) 質(zhì) ： )(0 n 例如 , ,1,41,31,21,1 n )(0 n ,)1(,43,34,21,2 1nn n )(1 n ,2,8,4,2 n )( n ,)1(,1,1,1 1 n趨 勢 不 定 Axnn lim數(shù) 列 nx數(shù) 列 當(dāng) 項(xiàng) 數(shù) n無 限 變 大 時(shí) ),( n的 極 限 定 義 ：數(shù) 列 的 各 項(xiàng) 數(shù) 值 向 一 個(gè) 常 數(shù) A無 限 靠 近 ，則 稱 常 數(shù) A為 該 數(shù) 列 的 極 限 。記 作或 )( nAxn 如 果 一 個(gè) 數(shù) 列 的 極 限 存 在 ,則

4、 稱 該數(shù) 列 是 收 斂 (converge)； 如 果 一 個(gè) 數(shù) 列 的 極 限 不 存 在 ,則 稱 該數(shù) 列 是 發(fā) 散 (diverge)。 ,21,21,21,21,21 432 n常 數(shù) 0 稱 為 此 數(shù) 列 的 極 限 )(0 n021lim nn記 作 ： ,1,41,31,21 nnxn 1 )(0 n01lim nn 例 如 , ,1,41,31,21 nnxn 1 )(0 n ,)1(,43,34,21,2 1nn nnnx nn 1)1( )(1 n 收 斂 ,2,8,4,2 nnnx 2 )( n ,)1(,1,1,1 1 n1)1( nnx 趨 勢 不 定 發(fā)

5、 散 nn 2lim ,2,8,4,2 n )( n記 作 ： 例 1. 已 知 ,)1( )1( 2 nx nn證 明 .0lim nn x證 : 0nx 0)1( )1( 2 n n2)1( 1 n n 時(shí) ， 0)1( 1 2 n可 以 無 限 變 小故 0)1( )1(limlim 2 nx nnnn 0nx 01lim nn 01lim 2 nn0lim 1 nn q 1q 2limnn不 存 在1)1(lim nn 0)32(lim nn 函 數(shù) )(xf隨 著 自 變 量 的 變 化 而 變 化 ,研 究函 數(shù) 的 極 限 ,就 是 研 究 當(dāng) 自 變 量按 照 某 種 方 式

6、變 化 時(shí) 所 對(duì) 應(yīng) 的1.3.2函 數(shù) 的 極 限(limit of function)函 數(shù) 值 的 變 化 趨 勢 。 二 、 自 變 量 趨 于 有 限 值 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限,)(xfy 對(duì) 0)1( xx 0)2( xx 0)3( xx x)4( x)5( x)6(自 變 量 變 化 過 程 的 六 種形 式 :一 、 自 變 量 趨 于 無 窮 大 時(shí) 函 數(shù) 的 極 限本 節(jié) 內(nèi) 容 : x 時(shí) ,函 數(shù) f(x)的 極 限 xy 1 ,5,4,3,2x 0,51,41,31,21 y xy 1 ,3,3,3,3 432x 0,31,31,31,31 432 y xy 1

7、 ,10,10,10,10 432x 0,101,101,101,101 432 y 定 義 ： 設(shè) 函 數(shù) y=f(x)在 x大 于 某 個(gè) 正 數(shù)a時(shí) 有 定 義 ,A是 某 確 定 常 數(shù) ,如 果 當(dāng) 自變 量 x 趨 于 時(shí) ， f(x)與 A的 距 離任 意 小 ,則 稱 函 數(shù) f(x)在 時(shí)以 A為 極 限 ， )()()(lim xAxfAxfx 或 x 時(shí) ,函 數(shù) f(x)的 極 限 x ., 時(shí) 的 極 限類 似 可 定 義 xx 記 為 指 數(shù) 函 數(shù) )1,0( aaay x xay xay )1( a)1,0( xey )10( a 如 xexfy )( 0lim

8、 xx e xx elim 例 如 . 01lim xx01lim xx .01lim xx o xy xy 1.10 的 水 平 漸 近 線為 xyy 同 理 : 正 弦 函 數(shù) xy sinxy sin不 存 在x x sinlim xy cosxy cos余 弦 函 數(shù) 不 存 在x x coslim 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) )1,0(log aaxy a xy ln xy alog xy alog )1( a)0,1( )10( a xx lnlim xy arctan xy arctan反 正 切 函 數(shù) 2arctanlim xx 2arctanlim xx 0 xx 時(shí) ,函 數(shù) f(x

9、)的 極 限 2xy , 51,41,31,21 2222y 0 0,51,41,31,21 x 2xy , 51,41,31,21 2222y 0 0,51,41,31,21 x 2xy , 51,41,31,21 2222y 0 061,51,41,31,21 x 2xy 0,31,31,31,31 432 x 0,31,31,31,31 8642 y 1 )1(2 2 xxy 998.3,98.3,6.3,2.3,2y 999.0,99.0,9.0,8.0,5.0 x 14 1 )1(2 2 xxy 002.4,02.4,2.4,4.4,5y ,001.1,01.1,1.1,2.1,5.

10、1x 14 定 義 ： 設(shè) 函 數(shù) y=f(x)在 點(diǎn) x0的 某 空 心 鄰域 內(nèi) 有 定 義 ， A是 某 確 定 常 數(shù) ， 如 果當(dāng) 自 變 量 x趨 近 于 x0時(shí) ， f(x)與 A的 距離 任 意 小 ,則 稱 函 數(shù) f(x)在 x趨 于 x0時(shí)以 A為 極 限 ，0 xx 時(shí) ,函 數(shù) f(x)的 極 限 )()()(lim 00 xxAxfAxfxx 或記 為 1,1)( x xxf x1yo10)(lim0 xfx 11)( 2 xxxfy xoy 12)(lim 1 xfx 2 正 弦 函 數(shù) xy sinxy sin 1sinlim 2 xx 0sinlim0 xx

11、xy cosxy cos余 弦 函 數(shù) 1coslim 0 xx 0coslim2 xx 0coscoslim0 xxxx 0sinsinlim0 xxxx 00lim xxxx 可 以 證 明 ： 以 下 的 極 限 均 成 立CCxx 0lim .lim 00 xxxx 3.單 側(cè) 極 限- 左 極 限 與 右 極 限 左 極 限 : )0( 0 xf Axfxx )(lim0 x如 果 當(dāng) 從 0 x的 左 側(cè) 無 限 趨 近 0 x時(shí) ,記 著 ,0 xx函 數(shù) f(x)無 限 趨 近 于 一 個(gè) 確 定 的 常數(shù) A, 則 稱 A為 函 數(shù) f(x)當(dāng) 0 xx時(shí) 的 左 極 限 。

12、 記 作 類 似 可 定 義 右 極 限 : )0( 0 xf Axfxx )(lim0函 數(shù) 的 左 極 限 和 右 極 限統(tǒng) 稱 為 單 側(cè) 極 限 。 x1yo 1,0 10,)( x xxxf )(lim)00( 0 xff x 0lim0 xx 對(duì) 數(shù) 函 數(shù) )1,0(log aaxy a xy ln xy alog xy alog )1( a)0,1( )10( a xx lnlim0 例 如 ： xx xx xxxfy 2,12 20,sin 01,)( 2),(lim 0 xfx 求 0lim)(lim 200 xxf xx 0sinlim)(lim 00 xxf xx )(

13、lim0 xfx 定 理 1.1： Axf xx )(lim0當(dāng) 時(shí) ,函 數(shù) 極 限 存 在 的充 要 條 件 是 左 、 右 極 限 存 在 且 相 等 ，即 )(xf0 xx Axfxf xxxx )(lim)(lim 00 例 6. 設(shè) 函 數(shù) 0,1 0,0 0,1)( xx xxxxf討 論 0 x 時(shí) )(xf 的 極 限 是 否 存 在 . 解 : 利 用 定 理 因 為 )(lim)00( 0 xff x )1(lim0 xx 1 )(lim)00( 0 xff x )1(lim0 xx 1顯 然 ,)00()00( ff所 以 )(lim 0 xfx 不 存 在 . xyo

14、 11xy 1 1xy 0,1 0,0 0,1)( xx xxxxf 例 7 問 a為 何 值 時(shí) ,所 給 函 數(shù) x=2處 極 限存 在 。 )2(2 )2(2 )2(10)( 2 xax xa xxxf解 ： 左 極 限 2010lim)(lim)02( 22 xxff xx右 極 限 aaxxff xx 24)2lim)(lim)02( 222 （ 欲 函 數(shù) 在 x=2處 極 限 存 在 ， 必 須 左 極 限等 于 右 極 限 ，即 a=8 思 考 ： 1)研 究 函 數(shù) 極 限 時(shí) ,是 否 要 考 慮 f(x)在x=x0時(shí) 的 性 態(tài) ？ 為 什 么 ？ 2)若 f (x0+0

15、)和 f (x0-0)都 存 在 ,當(dāng) x趨于 x0時(shí) ,f(x)的 極 限 存 在 嗎 ？ 3)如 何 利 用 f (x0+0)和 f (x0-0)來 判 斷當(dāng) x趨 于 x0 時(shí) ,f(x)的 極 限 不 存 在 ？ ？ 4)若 極 限 )(lim0 xfxx 是 否 一 定 有)()(lim 00 xfxfxx ？ 1coslim0 xx 0coslim2 xx 2arctanlim xx 2arctanlim xx 1sinlim2 xx 0sinlim0 xx0lim xx e 01lim xx常 用 的 極 限 結(jié) 果 ： )(lim0 為 常 數(shù)CCCxx xx elim 2li

16、m xx xx lnlim xx lnlim0 xx 1lim0 xx coslim xx sinlim極 限 不 存 在 的 有 ： 練 習(xí) ： 設(shè) )1(12 )11(1 )1()( 2 xx xx xxxf求 ： )(lim 1 xfx )(lim1 xfx )(lim1 xfx )(lim1 xfx 0)1(lim)(lim 11 xxf xx 不 存 在)(lim 1 xfx 1)12(lim)(lim 11 xxf xx 1)1(lim)(lim 2211 xxf xx 作 業(yè) NO.13:(3) 分 析 22 )3(2 xxy 的 復(fù) 合 結(jié) 構(gòu) .解 :由 2232 xxv v

17、uy u 復(fù) 合 而 成 的 . 作 業(yè) NO.13:(4) 分 析 3)5cos3tan(13 xy 的 復(fù) 合 結(jié) 構(gòu) .解 :由 xt tv vu uy 5 cos3 tan13 23 復(fù) 合 而 成 的 .xht tv vu uy 5 cosh3 tan133 NO14. 不 存 在xxxf xx 00 lim)(lim 解 ： 左 極 限 11limlim)(lim 000 xxx xxxf右 極 限 11limlim)(lim 000 xxx xxxf )(lim)(lim 00 xfxf xx 不 存 在xxx 0lim NO18. 設(shè) 函 數(shù) 0lim)(lim)00( 00 xxff xx 22lim)(lim)01( 11 xx xff 21,2 10, 0,1)( x xx xxxf解 : xxff xx 1lim)(lim)00( 00 1lim)(lim)01( 11 xxff xx