4、件可得sin B-sin C=sin A.
由(1)知B+C=,所以sin B-sin=sin .
即sin B-cos B=,sin=.
由于0
5、B=sin C,所以tan B=,
所以∠B=30°.
1.(2020·安慶二模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且=.
(1)求角B的大?。?
(2)若△ABC的周長(zhǎng)等于15,面積等于,求a,b,c的值.
[解] (1)由=,
根據(jù)正弦定理得
=?b2-c2=a2+ac?a2+c2-b2=-ac,
根據(jù)余弦定理得cos B==-,
由0
6、得a=3,c=5,或者a=5,c=3.
所以a=3,b=7,c=5,或者a=5,b=7,c=3.
2.(2020·昆明模擬)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),AD⊥AC,AB=,BD=,AD=2.
(1)求∠ADB;
(2)求△ABC的面積.
[解] (1)因?yàn)锳B=,BD=,AD=2,
所以在△ABD中,由余弦定理可得:
cos∠ADB==-,
又因?yàn)椤螦DB∈(0,π),
所以∠ADB=.
(2)因?yàn)椤螦DB+∠ADC=π,
所以∠ADC=.
因?yàn)锳D⊥AC,
所以△ADC為等腰直角三角形,可得AC=2,
所以S△ABC=S△ABD+S△ADC=××2×+×2×2
7、=3.
3.(2020·寶雞二模)已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2sin xcos x-1,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f=1且A為銳角,a=3,sin C=2sin B,求△ABC的面積.
[解] (1)由于函數(shù)f(x)=2sin2 x+2sin xcosx -1=1-cos 2x+sin 2x-1=2sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.
(2)∵f=1且A為銳角,可得
2sin=1,解得sin=,
∴由A-∈,
8、可得A-=,
可得A=.
∵sin C=2sin B, ∴由正弦定理可得c=2b,
又∵a=3,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得9=b2+c2-bc=b2+4b2-2b2=3b2,
∴b=,c=2,
∴S△ABC=bcsin A=××2×=.
4.(2020·南開區(qū)模擬)在△ABC中,a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若△ABC的面積為,a-b=1,acos C-csin A=0.
(1)求c及cos A;
(2)求cos(2A-C)的值.
[解] (1)在△ABC中,∵acos C-csin A=0,
∴sin Acos C-sin Csin
9、 A=0,
∵sin A≠0, ∴cos C-sin C=0,即tan C=,
∵C∈(0,π), ∴C=,
∴S△ABC=ab=,解得ab=6,
又a-b=1,解得a=3,b=2,
又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=7,
解得c=,
∴cos A==.
(2)由(1)可得sin A=,
∴sin 2A=2sin Acos A=,
cos 2A=2cos2 A-1=-,
∴cos(2A-C)=cos 2Acos C+sin 2Asin C
=×+×=-.
1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)bsin A=a(2+cos B).
10、
(1)求B;
(2)若△ABC的面積等于,求△ABC的周長(zhǎng)的最小值.
[解] (1)因?yàn)閎sin A=a(2+cos B),
由正弦定理得sin Bsin A=sin A(2+cos B).
顯然sin A>0,所以sin B-cos B=2.
所以2sin=2,∵B∈(0,π).
所以B-=,所以B=.
(2)依題意得=,所以ac=4.
所以a+c≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào).
又由余弦定理得
b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac≥3ac=12.
∴b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào).
所以△ABC的周長(zhǎng)最小值為4+2.
2.[結(jié)構(gòu)不良試題
11、]已知銳角△ABC,同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):
①A=;②a=13;③c=15;④sin C=.
(1)請(qǐng)指出這三個(gè)條件,并說(shuō)明理由;
(2)求△ABC的面積.
[解] (1)△ABC同時(shí)滿足①②③.
理由:若△ABC同時(shí)滿足①④,
因?yàn)槭卿J角三角形,所以sin C=<=sin ,∴C<,結(jié)合A=,∴B>.
與題設(shè)矛盾.故△ABC同時(shí)滿足①④不成立.
所以△ABC同時(shí)滿足②③.
因?yàn)閏>a,所以C>A.若滿足④,則A,與題設(shè)矛盾,故此時(shí)不滿足④.
∴△ABC同時(shí)滿足①②③.
(2)因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA,
所以132=b2+152-2×b
12、×15×.
解得b=8或7.
當(dāng)b=7時(shí),cos C=<0,C為鈍角,與題設(shè)矛盾.所以b=8,S△ABC=bcsin A=30.
3.如圖,在△ABC中,C=,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,且tan∠CBD=.
(1)求sin A;
(2)若·=28,求AB的長(zhǎng).
[解] (1)設(shè)∠CBD=θ,因?yàn)閠an θ=,又θ∈,故sin θ=,cos θ=.
則sin∠ABC=sin 2θ=2sin θcos θ=2××=,
cos∠ABC=cos 2θ=2cos2θ-1=2×-1=,
故sin A=sin=sin
=(sin 2θ+cos 2θ)=×=.
(2)由正弦定
13、理=,即=,
所以BC=AC.
又·=||||=28,
所以||||=28,
所以AC=4,又由=,得=,
所以AB=5.
4.已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且=.
(1)若a=2,b=2,求c的大?。?
(2)若b=2,且C是鈍角,求△ABC面積的取值范圍.
[解] (1)在△ABC中,=,
由正弦定理,得sin Asin B=sin Bcos A.
∵04,
∴S△ABC>2.
即△ABC面積的取值范圍是(2,+∞).