（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 46分大題保分練6 理（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

46分大題保分練(六) (建議用時(shí)：40分鐘) 17．(12分)(2020·南京市調(diào)研)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos B＝. (1)若c＝2a，求的值； (2)若C－B＝，求sin A的值． [解]　(1)法一：在△ABC中，因?yàn)閏os B＝， 所以＝. 因?yàn)閏＝2a，所以＝， 即＝，所以＝. 又由正弦定理得＝，所以＝. 法二：因?yàn)閏os B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝＝. 因?yàn)閏＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A， 所以sin C＝2sin (B＋C)＝cos C＋sin C， 即－sin C＝2cos C． 又因?yàn)閟in 2C＋cos2C＝1，sin C>0， 解得sin C＝，所以＝. (2)因?yàn)閏os B＝，所以cos 2B＝2cos2B－1＝. 又0<B<π，所以sin B＝＝， 所以sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 因?yàn)镃－B＝，即C＝B＋， 所以A＝π－(B＋C)＝－2B， 所以sin A＝sin ＝sin cos 2B－cos·sin 2B＝×－×＝. 18．(12分)如圖1，梯形ABCD中，AB∥CD，過A，B分別作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).AB＝AE＝2，CD＝5，DE＝1，將梯形ABCD沿AE，BF折起，得空間幾何體ADE­BCF，如圖2. 圖1　　　　　　　圖2 (1)圖2中，若AF⊥BD，證明：DE⊥平面ABFE； (2)在(1)的條件下，若DE∥CF，求二面角D­AF­C的余弦值． [解]　由已知得四邊形ABFE是正方形，且邊長為2，如圖，連接BE，則AF⊥BE， 又AF⊥BD，BE∩BD＝B， ∴AF⊥平面BDE， 又DE?平面BDE，∴AF⊥DE， 又AE⊥DE，AE∩AF＝A， ∴DE⊥平面ABFE. (2)由(1)知ED，EA，EF兩兩垂直， 以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(2,0,0)，F(xiàn)(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,1)， ＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，＝(0,0,2)． 設(shè)平面ADF的法向量為n＝(x，y，z)， 由得， 不妨取x＝1，得n＝(1,1,2)， 設(shè)平面ACF的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 由得， 取x1＝1得m＝(1,1,0)， 設(shè)二面角D­AF­C的大小為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝. 19．(12分)(2020·湘贛皖十五校第一次聯(lián)考)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級(jí)過濾，使用壽命為十年．如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝． 其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)，在使用過程中，一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立)．若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)160元，二級(jí)濾芯每個(gè)80元．若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯，則一級(jí)濾芯每個(gè)400元，二級(jí)濾芯每個(gè)200元．現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖． 表1：一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表 一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù) 8 9 頻數(shù) 60 40 圖2：二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖 以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率． (1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率； (2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望； (3)記m，n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù)．若m＋n＝19，且m∈，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定m，n的值． [解]　(1)由題意知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16，則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯，兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯，設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16”為事件A， 因?yàn)橐粋€(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6，二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2，所以P(A)＝0.6×0.2×0.2＝0.024. (2)由柱狀圖知，一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4，由題意知X的可能取值為8,9,10,11,12， 從而P(X＝8)＝0.2×0.2＝0.04， P(X＝9)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝10)＝2×0.2×0.4＋0.4×0.4＝0.32， P(X＝11)＝2×0.4×0.4＝0.32，P(X＝12)＝0.4×0.4＝0.16. 所以X的分布列為 X 8 9 10 11 12 P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 E(X)＝8×0.04＋9×0.16＋10×0.32＋11×0.32＋12×0.16＝10.4. (或用分?jǐn)?shù)表示為 X 8 9 10 11 12 P EX＝8×＋9×＋10×＋11×＋12×＝.) (3)記Y表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用(單位：元)， 因?yàn)閙＋n＝19，且m∈， ①若m＝8，則n＝11， E(Y1)＝160×8＋400×0.4＋80×11＋200×0.16＝2352(元)； ②若m＝9，則n＝10， E(Y2)＝160×9＋80×10＋200×0.32＋400×0.16＝2368(元)． 因?yàn)镋(Y1)<E(Y2)，故選擇方案：m＝8，n＝11. 選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(10分)[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](2020·湖南長沙一中第一次月考)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ. (1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若射線θ＝分別與曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn))，求︱AB︱的值． [解]　由 ? ， 兩式相減得，x2－y2＝4， 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4， C2的直角坐標(biāo)方程為x2－2x＋y2＝0. (2)聯(lián)立 得ρA＝2， 聯(lián)立 得ρB＝3，故︱AB︱＝|ρA－ρB|＝. 23．(10分)[選修4－5：不等式選講](2020·寧夏銀川一中高三一模)已知關(guān)于x的不等式－≥有解，記實(shí)數(shù)m的最大值為M. (1)求M的值； (2)正數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝M，求證：＋≥1. [解]　(1)|x－2|－|x＋3|≤|－|＝5， 若不等式有解， 則滿足≤5，解得－6≤m≤4， ∴M＝4. (2)由(1)知正數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝4， ∴＋＝ ＝≥＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c，a＋b＝2時(shí)，取等號(hào)．