5、,過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為,則的值為( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則ax+by=1,ax+by=1,
即ax-ax=-(by-by),=-1,
∴=-1,
∴×(-1)×=-1,
∴=,故選B.
8.[2017·山東青島模擬]設(shè)橢圓+=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為,則此橢圓的方程為_(kāi)_______.
答案:+=1
解析:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),
∴m2-n2=4,①
e==,∴m=4,
代入①得,n2=12,
∴橢圓的方程為+=1.
6、
9.[2017·湖南長(zhǎng)沙一模]橢圓Г:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c,若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________.
答案:-1
解析:依題意得∠MF1F2=60°,
∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,
設(shè)|MF1|=m,則有|MF2|=m,|F1F2|=2m,
該橢圓的離心率是e==-1.
10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-2,0),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),T為直線x=-3上一點(diǎn),過(guò)F作TF的垂線交橢圓于P,
7、Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí),求四邊形OPTQ的面積.
解:(1)由已知可得,=,c=2,
所以a=.
又由a2=b2+c2,解得b=,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(-3,m),
則直線TF的斜率kTF==-m.
當(dāng)m≠0時(shí),直線PQ的斜率kPQ=,
直線PQ的方程是x=my-2.
當(dāng)m=0時(shí),直線PQ的方程是x=-2,
也符合x(chóng)=my-2的形式.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判別式Δ=16m2+8(m2+3)>0.
所以y1+y2=,y
8、1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
因?yàn)樗倪呅蜲PTQ是平行四邊形,所以=,
即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
所以
解得m=±1.
此時(shí),S四邊形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF||y1-y2|
=2=2.
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1.[2017·廣東汕頭一模]已知橢圓+=1上有一點(diǎn)P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn),若△F1PF2為直角三角形,則這樣的點(diǎn)P有( )
A.3個(gè) B.4個(gè)
C.6個(gè) D.8個(gè)
答案:C
解析:當(dāng)∠PF1F2為直角時(shí),根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,這樣的點(diǎn)P有2個(gè);同理當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí),這樣的點(diǎn)P有2個(gè)
9、;當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大,且為直角,此時(shí)這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故符合要求的點(diǎn)P有6個(gè).
2.[2017·河北唐山模擬]橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,若F關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn),則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D.-1
答案:D
解析:解法一:設(shè)A(m,n),則
解得A,
代入橢圓C中,有+=1,
∴b2c2+3a2c2=4a2b2,
∴(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),
∴c4-8a2c2+4a4=0,
∴e4-8e2+4=0,
∴e2=4±2,
∵0
10、解法二:設(shè)F′是橢圓的右焦點(diǎn),連接AF,AF′.
由已知得△AFF′是直角三角形,其中∠A=90°,∠AFF′=30°,
∵|FF′|=2c,∴|AF|=c,|AF′|=c,
∴e====-1,故選D.
3.已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面積為9,則b=________.
答案:3
解析:設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則
∴2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2,
又∵S△PF1F2=r1r2=b2=9,∴b=3.
4.[2017·河北保定一模]與圓C1:(
11、x+3)2+y2=1外切,且與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______.
答案:+=1
解析:設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,圓心為P(x,y),
則有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.
所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,
即P在以C1(-3,0),C2(3,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上,得點(diǎn)P的軌跡方程為+=1.
5.已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2,且|F1F2|=2,點(diǎn)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若△AF2B的面積為,求以F2為圓心
12、且與直線l相切的圓的方程.
解:(1)由題意知c=1,2a=+=4,
解得a=2,故橢圓C的方程為+=1.
(2)①當(dāng)直線l⊥x軸時(shí),
可取A,B,△AF2B的面積為3,不符合題意.
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
顯然Δ>0成立,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-,x1x2=,
可得|AB|=·
=,
又圓F2的半徑r=,
∴△AF2B的面積為|AB|·r==,化簡(jiǎn)得17k4+k2-18=0,解得k=±1,
∴r=,圓的方程為(x-1)2+y2=2.
6
13、.[2016·浙江卷]如圖,設(shè)橢圓+y2=1(a>1).
(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示);
(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.
解:(1)設(shè)直線y=kx+1被橢圓截得的線段為AP,
由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-.
因此|AP|=|x1-x2|
=·.
(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè),由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,滿足|AP|=|AQ|.
記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|=,
|AQ|=,
故=
所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.
由于k1≠k2,k1,k2>0得
1+k+k+a2(2-a2)kk=0,
因此=1+a2(a2-2),①
因?yàn)棰偈疥P(guān)于k1,k2的方程有解的充要條件是
1+a2(a2-2)>1, 所以a>.
因此,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1