（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學 專題九 平面解析幾何 1 直線方程與圓的方程試題 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題九　平面解析幾何 【真題典例】 9.1　直線方程與圓的方程 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 1.直線 方程 ①在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,確定直線的幾何要素;②理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式; ③掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系 2015課標Ⅰ,20,12分 直線方程 拋物線的 幾何性質(zhì) ★★☆ 2.圓的 方程 ①掌握圓的幾何要素; ②掌握圓的標準方程與一般方程 2018課標Ⅱ,

2、19,12分 直線方程與圓的方程 拋物線的幾何性質(zhì) ★☆☆ 2017課標Ⅲ,20,12分 直線方程與圓的方程 兩直線垂直與 其斜率的關(guān)系 2016課標Ⅱ,4,5分 圓的方程 點到直線距離公式 2015課標Ⅰ,14,5分 圓的方程 橢圓的幾何性質(zhì) 分析解讀　　從近5年高考情況來看,對本節(jié)主要考查直線方程和圓的方程的求法,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度中等,解答時應充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想.在解決有關(guān)圓的問題時應充分利用圓的幾何性質(zhì)簡化運算. 破考點 【考點集訓】 考點一　直線方程 1.(2017吉林梅河口校級二模,4)已知角α是第二象限角,直線2x

3、+ytanα+1=0的斜率為83,則cosα等于(　　) A.35　　　　B.-35　　　　C.45　　　　D.-45 答案　D　 2.(2018江西九江月考,5)經(jīng)過點A(1,2)且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程為(　　) A.y=2x或x-y+1=0 B.y=2x或x+y-3=0 C.x+y-3=0或x-y+1=0 D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0 答案　D　 考點二　圓的方程 1.(2018廣東珠海四校4月聯(lián)考,8)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的標準方程為(　　) A.(x+1)2+(y-1)

4、2=2　　　　B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2　　　　D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案　B　 2.(2017河南豫北名校4月聯(lián)考,4)與圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=33x對稱的圓的方程是(　　) A.(x-3)2+(y-1)2=4　　　　B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.x2+(y-2)2=4　　　　D.(x-1)2+(y-3)2=4 答案　D　 3.(2018甘肅蘭州模擬,7)已知點A是直角三角形ABC的直角頂點,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),則△ABC的外接圓的方程是(　　)　　　　　　　　　

5、　　　　　　　　　 A.x2+(y-3)2=5　　　　B.x2+(y+3)2=5 C.(x-3)2+y2=5　　　　D.(x+3)2+y2=5 答案　D　 煉技法 【方法集訓】 方法1　直線的傾斜角與斜率的求解方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2018陜西延安期中,5)直線a2x-b2y=1(其中a,b∈R,且ab≠0)的傾斜角的取值范圍為(　　) A.0,π2　　　　B.π4,3π4 C.π2,3π4　　　　D.π2,π 答案　A　 2.(2018湖北黃岡模擬,4)直線x-ysinθ+1=0的傾斜角的取值范圍是(　　) A.π4,3π4　　　

6、　B.0,π4∪3π4,π C.0,π4　　　　D.π4,π2∪π2,3π4 答案　A　 3.(2017河南豫南九校聯(lián)考,5)若θ是直線l的傾斜角,且sinθ+cosθ=55,則l的斜率為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-12　　　　B.-12或-2　　　　C.12或2　　　　D.-2 答案　D　 方法2　解與圓有關(guān)的最值問題的方法 1.(2017湖南長沙二模,5)圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2距離的最大值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1+2　　　　B.2　　　　C.1+22　　　　D.2+22 答案　A　 2

7、.(2018河南洛陽期末)已知正數(shù)x,y滿足x2+y2=1,則3x+y的取值范圍是(　　) A.(1,3]　　　　B.(1,2]　　　　C.(3,2]　　　　D.(2,23) 答案　B　 3.(2018福建長汀模擬,10)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠,他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:已知動點M與兩定點A、B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.如動點M與兩定點A95,0、B(5,0)的距離之比為35時的阿波羅尼斯圓為x2+y

8、2=9.下面,我們來研究與此相關(guān)的一個問題:已知圓O:x2+y2=1上的動點M和定點A-12,0,已知點B(1,1),則2|MA|+|MB|的最小值為(　　) A.6　　　　B.7　　　　C.10　　　　D.11 答案　C　 過專題 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標卷題組 考點一　直線方程 　(2015課標Ⅰ,20,12分)在直角坐標系xOy中,曲線C:y=x24與直線l:y=kx+a(a>0)交于M,N兩點. (1)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程; (2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由. 解析　(1)由題設可得M(2a,

9、a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a). 又y'=x2,故y=x24在x=2a處的導數(shù)值為a,C在點(2a,a)處的切線方程為y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0. y=x24在x=-2a處的導數(shù)值為-a,C在點(-2a,a)處的切線方程為y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0. 故所求切線方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分) (2)存在符合題意的點,證明如下: 設P(0,b)為符合題意的點,M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2. 將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4

10、k,x1x2=-4a. 從而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a. 當b=-a時,有k1+k2=0,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補,故∠OPM=∠OPN,所以點P(0,-a)符合題意.(12分) 疑難突破　要使∠OPM=∠OPN,只需直線PM與直線PN的斜率互為相反數(shù). 考點二　圓的方程 1.(2016課標Ⅱ,4,5分)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-43　　　　B.-34　　　　C.3　　　　D.2 答案

11、　A　 2.(2015課標Ⅰ,14,5分)一個圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為　　　　　　　　.? 答案　x-322+y2=254 3.(2018課標Ⅱ,19,12分)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. 解析　(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0), 設A(x1,y1),B(x2,y2). 由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=1

12、6k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2. 由題設知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程為y=x-1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則 y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6. 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法總結(jié)

13、　有關(guān)拋物線的焦點弦問題,常用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化求解,在求解過程中應注重利用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體運算.一般地,求直線和圓的方程時,利用待定系數(shù)法求解. 4.(2017課標Ⅲ,20,12分)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標原點O在圓M上; (2)設圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 解析　本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由x=my+2,y2=2x可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4. 又x1=y122,x2=y22

14、2,故x1x2=(y1y2)24=4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1·y2x2=-44=-1,所以OA⊥OB. 故坐標原點O在圓M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圓心M的坐標為(m2+2,m), 圓M的半徑r=(m2+2)2+m2. 由于圓M過點P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.

15、當m=1時,直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標為(3,1),圓M的半徑為10,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 當m=-12時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標為94,-12,圓M的半徑為854,圓M的方程為x-942+y+122=8516. 解后反思　直線與圓錐曲線相交問題,常聯(lián)立方程,消元得到一個一元二次方程,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系處理.以某線段為直徑的圓的方程,也可以用該線段的兩端點坐標(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 1.(2014陜西,12,5分)

16、若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y=x對稱,則圓C的標準方程為　　　　　　　　.? 答案　x2+(y-1)2=1 2.(2016江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4). (1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程; (2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程; (3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數(shù)t的取值范圍. 解析　圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2

17、=25,所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設N(6,y0). 因為圓N與x軸相切,與圓M外切, 所以0

18、線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)設P(x1,y1),Q(x2,y2). 因為A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ, 所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.① 因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.② 將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點, 所以5-5≤[(t+4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-221≤t≤2+

19、221. 因此,實數(shù)t的取值范圍是[2-221,2+221]. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2019屆湖南衡陽八中10月月考,3)已知直線l的傾斜角為θ且過點(3,1),其中sinθ-π2=12,則直線l的方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3x-y-2=0　　　　B.3x+y-4=0 C.x-3y=0　　　　D.3x-3y-6=0 答案　B　 2.(2019屆重慶綦江中學模擬,9)已知圓C:x2+y2=1,點P為直線x+2y-4=0上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA,PB且A,B分別為切點,則直線AB經(jīng)過定點(　　) A.1

20、2,14　　　　B.14,12　　　　C.34,0　　　　D.0,34 答案　B　 3.(2019屆遼寧丹東模擬,3)圓心為(2,0)的圓C與圓x2+y2+4x-6y+4=0外切,則C的方程為(　　) A.x2+y2+4x+2=0　　　　B.x2+y2-4x+2=0 C.x2+y2+4x=0　　　　D.x2+y2-4x=0 答案　D　 4.(2017福建廈門4月聯(lián)考,5)若a∈-2,0,34,1,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數(shù)為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 答案　B　 5.(2

21、018湖北四地七校聯(lián)考,6)已知函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若fπ4-x=fπ4+x,則直線ax-by+c=0的傾斜角為(　　) A.π4　　　　B.π3　　　　 C.2π3　　　　D.3π4 答案　D　 6.(2018河南豫西五校聯(lián)考,7)在平面直角坐標系xOy中,以點(0,1)為圓心且與直線x-by+2b+1=0相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為(　　) A.x2+(y-1)2=4　　　　B.x2+(y-1)2=2 C.x2+(y-1)2=8　　　　D.x2+(y-1)2=16 答案　B　 7.(2018海南?？谀M,7)已知圓M與直線3x

22、-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x+3)2+(y-1)2=1　　　　B.(x-3)2+(y+1)2=1 C.(x+3)2+(y+1)2=1　　　　D.(x-3)2+(y-1)2=1 答案　C　 8.(2018江西新余五校4月聯(lián)考,8)已知圓O:x2+y2=9,過點C(2,1)的直線l與圓O交于P,Q兩點,當△OPQ的面積最大時,直線l的方程為(　　) A.x-y-3=0或7x-y-15=0　　　　B.x+y+3=0或7x+y-15=0 C.x+y-3=0或7x-y+15=0　　　　D

23、.x+y-3=0或7x+y-15=0 答案　D　 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2019屆四川眉山仁壽一中一調(diào),15)已知實數(shù)m,n滿足2m-n=1,則直線mx-3y+n=0必過點　　　　.? 答案　-2,-13 10.(2018河南新鄉(xiāng)二模,15)若圓C:x2+y+12m2=n的圓心為橢圓M:x2+my2=1的一個焦點,且圓C經(jīng)過M的另一個焦點,則圓C的標準方程為　　　　　　　　.? 答案　x2+(y+1)2=4 三、解答題(共25分) 11.(2019屆江西撫州七校聯(lián)考,21)已知圓M與直線3x-7y+4=0相切于點(1,7),圓心M在x軸上. (1)求圓M的

24、方程; (2)過點M且不與x軸重合的直線l與圓M相交于A,B兩點,O為坐標原點,直線OA,OB分別與直線x=8相交于C,D兩點,記△OAB,△OCD的面積分別是S1,S2,求S1S2的取值范圍. 解析　(1)由題意設圓M的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0,r>0),則有(1-a)2+(7)2=r2,71-a·37=-1,解得a=4,r=4, 所以圓M的方程為(x-4)2+y2=16. (2)由題意知∠AOB=π2, 設直線OA的斜率為k(k≠0),則直線OB的斜率為-1k,直線OA的方程為y=kx, 直線OB的方程為y=-1kx. 由y=kx,x2+y2-8x=0,得(1+

25、k2)x2-8x=0, 解得x=0,y=0或x=81+k2,y=8k1+k2,則點A的坐標為81+k2,8k1+k2. 同理可得點B的坐標為8k21+k2,-8k1+k2. 又由題意知,C(8,8k),D8,-8k,因此,S1S2=OA·OBOC·OD, 又OAOC=xAxC=81+k28=11+k2,同理OBOD=xBxD=k21+k2, 所以S1S2=k2k4+2k2+1=1k2+1k2+2≤14,當且僅當|k|=1時取等號,又S1S2>0,所以S1S2的取值范圍是0,14. 12.(2018廣東深圳3月聯(lián)考,19)如圖,直角三角形ABC的頂點A的坐標為(-2,0),直角頂點B

26、的坐標為(0,-22),頂點C在x軸上,點P為線段OA的中點. (1)求BC邊所在直線方程; (2)若M為直角三角形ABC外接圓的圓心,求圓M的方程; (3)在(2)的條件下,若動圓N過點P且與圓M內(nèi)切,求動圓N的圓心的軌跡方程. 解析　(1)易知kAB=-2,AB⊥BC,∴kCB=22, ∴BC邊所在直線方程為y=22x-22. (2)由(1)及題意得C(4,0),∴M(1,0), 又∵AM=3,∴外接圓M的方程為(x-1)2+y2=9. (3)∵圓N過點P(-1,0),∴PN是動圓的半徑, 又∵動圓N與圓M內(nèi)切, ∴MN=3-PN,即MN+PN=3, ∴點N的軌跡是以M,P為焦點,長軸長為3的橢圓. ∵P(-1,0),M(1,0),∴a=32,c=1,b=a2-c2=54, ∴所求軌跡方程為x294+y254=1,即4x29+4y25=1. 思路分析　(1)由kAB=-2,AB⊥BC,知kBC=22,由此求BC邊所在直線的方程;(2)由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),從而得圓心與半徑,進而得出圓M的方程;(3)利用兩圓內(nèi)切得MN+PN=3,利用橢圓定義得點N的軌跡,從而得軌跡方程.