（課標(biāo)專(zhuān)用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 第六章 數(shù)列 2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè) 熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 等差數(shù)列 的定義及 通項(xiàng)公式 ①理解等差數(shù)列的概念.②掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.③了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,17,12分 等差數(shù)列基本量計(jì)算 數(shù)值的計(jì)算 ★★★ 等差數(shù)列 的性質(zhì) 能利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)問(wèn)題 2015課標(biāo)Ⅱ,5,5分 等差數(shù)列的性質(zhì) 下標(biāo)和定理 ★★★ 等差數(shù) 列的前 n項(xiàng)和 掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,17,12分 基本量的計(jì)算及求前n項(xiàng)和最值 二次函數(shù)求

2、最值 ★★★ 2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 — 2014課標(biāo)Ⅱ,5,5分 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和 等差數(shù)列的定義 分析解讀　　等差數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)等相關(guān)內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于中低檔題. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式 1.(2018陜西咸陽(yáng)12月模擬,7)《張丘建算經(jīng)》卷上一題大意為今有女善織,日益功疾,且從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織布390尺,最后一天織布21尺,則該女第一天共織多少布?(　　)

3、　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案　C　 2.(2017安徽淮南一模,15)已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系式an+1=2an+2n-1(n∈N*),且an+λ2n為等差數(shù)列,則λ的值是　　　　.? 答案　-1 3.(2018河南開(kāi)封定位考試,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=2an2+an. (1)求證:數(shù)列1an是等差數(shù)列; (2)若bn=anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析　(1)證明:∵an+1=2an2+an,∴1an+1=2+an2an, ∴1a

4、n+1-1an=12. ∴數(shù)列1an是以2為首項(xiàng),12為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4, ∴Sn=414-15+15-16+…+1n+3-1n+4 =414-1n+4=nn+4. 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì) 　(2019屆湖北宜昌模擬,6)已知數(shù)列{an}滿足5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,則log13(a5+a7+a9)=(　　) A.-3 B.3 C.-13 D.13 答案　A　 考點(diǎn)三　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1.(2018安徽安慶調(diào)研,5)等差數(shù)列{an}中,已知S15=90,

5、那么a8=(　　) A.12 B.4 C.3 D.6 答案　D　 2.(2017河南部分重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián),6)設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1>0,若S5=S9,則當(dāng)Sn最大時(shí),n=(　　) A.6 B.7 C.10 D.9 答案　B　 3.(2019屆福建龍巖永定區(qū)模擬,10)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,且SnTn=3n2n+1,則a11b11=(　　) A.1813 B.6323 C.3323 D.6343 答案　D　 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　等差數(shù)列的判定與證明的方法 　(2019屆福建三明模擬,17)已知數(shù)列

6、{an}中,an=2n-1. (1)證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列; (2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=25,求n. 解析　(1)證明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1, ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為2. (2)由(1)得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n+(n-1)n2×2=n2,由Sn=25得n2=25,又n>0,解得n=5. 方法2　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題的解決方法 1.(2019屆江西高安模擬,11)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1+3a2=S6,給出下列結(jié)論:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S

7、7最小;(4)S5=S8.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C　 2.(2019屆福建龍巖新羅區(qū)模擬,12)已知等差數(shù)列{an}的公差為-2,前n項(xiàng)和為Sn,a3,a4,a5為某三角形的三邊長(zhǎng),且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°,若Sn≤Sm對(duì)任意的n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)m=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 答案　B　 3.(2019屆福建龍巖新羅區(qū)模擬,16)等差數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項(xiàng)和,且S6S8,給出下列結(jié)論: ①數(shù)列{an}的公差

8、d<0;②S9

9、}的通項(xiàng)公式為an=2n+35.(5分) (2)由(1)知,bn=2n+35.(6分) 當(dāng)n=1,2,3時(shí),1≤2n+35<2,bn=1; 當(dāng)n=4,5時(shí),2<2n+35<3,bn=2; 當(dāng)n=6,7,8時(shí),3≤2n+35<4,bn=3; 當(dāng)n=9,10時(shí),4<2n+35<5,bn=4.(10分) 所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分) 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì) 　(2015課標(biāo)Ⅱ,5,5分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1+a3+a5=3,則S5=(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　

10、　　　　　　　 A.5 B.7 C.9 D.11 答案　A　 考點(diǎn)三　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=(　　) A.172 B.192 C.10 D.12 答案　B　 2.(2014課標(biāo)Ⅱ,5,5分)等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=(　　) A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2 D.n(n-1)2 答案　A　 3.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,17,12分)記Sn

11、為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 解析　(1)設(shè){an}的公差為d, 由題意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16. B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式 1.(2016浙江,8,5分)如圖,點(diǎn)列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+

12、2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{Sn2}是等差數(shù)列 C.{dn}是等差數(shù)列 D.{dn2}是等差數(shù)列 答案　A　 2.(2014遼寧,9,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則(　　) A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 答案

13、　D　 3.(2015北京,16,13分)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7.問(wèn):b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等? 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍4-a3=2,所以d=2. 又因?yàn)閍1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…). (2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q. 因?yàn)閎2=a3=8,b3=a7=16, 所以q=2,b1=4. 所以b6=4×26-1=128. 由128=2n+2得n

14、=63. 所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等. 4.(2014浙江,19,14分)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65. 解析　(1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 將a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因?yàn)閐>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65.

15、 由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2m+k-1=13,k+1=5, 所以m=5,k=4. 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì) 1.(2014重慶,2,5分)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=(　　) A.5 B.8 C.10 D.14 答案　B　 2.(2015陜西,13,5分)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2 015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為　　　　.? 答案　5 考點(diǎn)三　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1.(2017浙江,6,4分)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的(　　) A.充分不

16、必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C　 2.(2015安徽,13,5分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于　　　　.? 答案　27 C組　教師專(zhuān)用題組 考點(diǎn)一　等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式 1.(2013安徽,7,5分)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.-6 B.-4 C.-2 D.2 答案　A　 2.(

17、2014陜西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f2 014(x)的表達(dá)式為　　　　　　　　　　　　　　　.? 答案　f2 014(x)=x1+2 014x 3.(2015福建,17,12分)等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15, 解得a1=3,d=1. 所以an=a1+(n-1

18、)d=n+2. (2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+…+b10 =(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =2(1-210)1-2+(1+10)×102 =(211-2)+55=211+53=2 101. 4.(2013課標(biāo)Ⅰ,17,12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列1a2n-1a2n+1的前n項(xiàng)和. 解析　(1)設(shè){an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)2d. 由已知可得3a1+

19、3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1. 故{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n. (2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1, 從而數(shù)列1a2n-1a2n+1的前n項(xiàng)和為 121-1-11+11-13+…+12n-3-12n-1=n1-2n. 5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求證:a,b,c成等差數(shù)列; (2)若C=2π3,求ab的值. 解析　(1)證明:由已知得sin Asin B+

20、sin Bsin C=2sin2B, 因?yàn)閟in B≠0,所以sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列. (2)由C=2π3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=35. 考點(diǎn)二　等差數(shù)列的性質(zhì) 　(2013遼寧,4,5分)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題: p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列; p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列; p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列; p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列. 其中的真命題為(　　) A.p1,p2 B.p3,p4 C.

21、p2,p3 D.p1,p4 答案　D　 考點(diǎn)三　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1.(2014天津,5,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=(　　) A.2 B.-2 C.12 D.-12 答案　D　 2.(2014重慶,16,13分)已知{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,Sn表示{an}的前n項(xiàng)和. (1)求an及Sn; (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,公比q滿足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 解析　(1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)a1=1,公差d=2的等差數(shù)列,所以

22、an=a1+(n-1)d=2n-1. 故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2. (2)由(1)得a4=7,S4=16.因?yàn)閝2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,從而q=4. 又因?yàn)閎1=2,{bn}是公比q=4的等比數(shù)列, 所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1. 從而{bn}的前n項(xiàng)和Tn=b1(1-qn)1-q=23(4n-1). 3.(2013浙江,19,14分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,an; (2)若d<

23、0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解析　(1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4. 所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以當(dāng)n≤11時(shí), |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+212n. 當(dāng)n≥12時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110. 綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =-12n2+212n,　　　　n≤

24、11,12n2-212n+110,n≥12. 【三年模擬】 時(shí)間:45分鐘　分值:60分 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(2018河南開(kāi)封定位考試,5)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a5=10,S4=16,則數(shù)列{an}的公差為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B　 2.(2017遼寧六校協(xié)作體期中,8)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有SnTn=2n-34n-1,則a3+a152(b3+b9)+a3b2+

25、b10=(　　) A.1943 B.1740 C.920 D.2750 答案　A　 3.(2018云南玉溪模擬,9)若{an}是等差數(shù)列,公差d<0,a1>0,且a2 013(a2 012+a2 013)<0,則使數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A.4 027 B.4 026 C.4 025 D.4 024 答案　D　 4.(2017廣東惠州二調(diào),7)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a6a5=911,則S11S9=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.12 答案　A　 5.(2019屆河北唐山模擬,8)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2+λ

26、an,且a1=1,則S5=(　　) A.27 B.5327 C.3116 D.31 答案　C　 6.(2019屆浙江溫州模擬,9)已知{an},{bn}均為等差數(shù)列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共項(xiàng)組成新數(shù)列{cn},則c10=(　　) A.18 B.24 C.30 D.36 答案　C　 7.(2019屆河北唐山模擬,6)設(shè){an}是任意等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是(　　) A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y 答案　D　 二、填空

27、題(共5分) 8.(2018四川德陽(yáng)一模,7)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有“分錢(qián)問(wèn)題”:今有與人錢(qián),初一人與三錢(qián),次一人與四錢(qián),次一人與五錢(qián),以次與之,轉(zhuǎn)多一錢(qián),與訖,還斂聚與均分之,人得一百錢(qián),問(wèn)人幾何?意思是:將錢(qián)分給若干人,第一人給3錢(qián),第二人給4錢(qián),第三人給5錢(qián),以此類(lèi)推,每人比前一人多給1錢(qián),分完后,再把錢(qián)收回平均分給各人,結(jié)果每人分得100錢(qián),問(wèn)有多少人?則題中的人數(shù)是　　　　.? 答案　195 三、解答題(共20分) 9.(2018廣東惠州一調(diào),17)已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.

28、(1)求an與Sn; (2)設(shè)bn=1SnSn+1,求證:b1+b2+b3+…+bn<1. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0), 則由S5=25可得a3=5,即a1+2d=5①, 又S1,S2,S4成等比數(shù)列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d, 所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2, 因?yàn)閐≠0,所以d=2a1②, 聯(lián)立①②,解得a1=1,d=2, 所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n(1+2n-1)2=n2. (2)證明:由(1)得bn=1n(n+1)=1n-1n+1, 所以b1+b2+b3+…+bn

29、=11-12+12-13+…+1n-1n+1 =1-1n+1. 又∵n∈N*,∴1-1n+1<1.∴b1+b2+b3+…+bn<1. 10.(2019屆河北曲周模擬,17)等差數(shù)列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Tn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和,其中bn=|an|,n∈N*,若Tn≥1 464,求n的最小值. 解析　(1)∵等差數(shù)列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8, ∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7, ∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的兩個(gè)根,且a3>a5, 解方程x2+8x+

30、7=0,得a3=-1,a5=-7, ∴a1+2d=-1,a1+4d=-7,解得a1=5,d=-3. ∴an=5+(n-1)×(-3)=-3n+8. (2)由(1)知{an}的前n項(xiàng)和Sn=5n+n(n-1)2×(-3)=-32n2+132n. ∵bn=|an|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4, 當(dāng)n≥3時(shí),bn=|an|=3n-8. 當(dāng)n<3時(shí),T1=5,T2=7; 當(dāng)n≥3時(shí),Tn=-Sn+2S2=3n22-13n2+14. ∵Tn≥1 464,∴Tn=3n22-13n2+14≥1 464, 即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥1003, ∴n的最小值為34.