（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學 專題二 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù) 8 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用試題 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用 挖命題 【考情探究】 考點 內(nèi)容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用 ①了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長特征,體會直線增長、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義; ②了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用 2016四川,5,5分 函數(shù)的實際應用問題 對數(shù)運算 ★☆☆ 2014湖南,8,5分 函數(shù)的實際應用問題 2017山東,15,5分 函數(shù)的綜合應用 函數(shù)單調(diào)性 2017浙江,17,5分 函數(shù)的綜合應用 函數(shù)的單

2、調(diào)性及最值 分析解讀　　為了考查學生的綜合能力與素養(yǎng),高考加強了函數(shù)綜合應用問題的考查力度,這一問題一般涉及的知識點較多,綜合性也較強,屬于中檔以上的試題,題型以填空題和解答題為主,在高考中分值為5分左右,通常在如下方面考查: 1.對函數(shù)實際應用問題的考查,這類問題多以社會實際生活為背景,設問新穎,要求學生掌握課本中的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識與方法. 2.以課本知識為載體,把函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識聯(lián)系起來,構(gòu)造不等式(組)求參數(shù)范圍,利用分離參數(shù)法求函數(shù)值域,進而求字母的取值等. 破考點 【考點集訓】 考點　函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用 1.(201

3、7福建質(zhì)檢,5)當生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.當死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到,則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是(　　)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.8 B.9 C.10 D.11 答案　C　 2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重點中學4月聯(lián)考,12)定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且當x∈[-1,1]時, f(x)=x,則下列四個命題: ①f(2 018

4、)=0;②函數(shù)f(x)的最小正周期為2; ③當x∈[-2 018,2 018]時,方程f(x)=12有2 018個根; ④方程f(x)=log5|x|有5個根. 其中真命題的個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C　 3.(2018福建閩侯第六中學模擬,15)已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上的兩個點,則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是　　　　　　.? 答案　1e,e2 煉技法 【方法集訓】 方法　函數(shù)的實際應用題 1.(2018福建三明期末,14)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設物體的初始

5、溫度是T0,經(jīng)過一定時間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·12th,其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡,放在24 ℃的房間中,如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘,那么此杯咖啡從40 ℃降到32 ℃時,還需要　　　　分鐘.? 答案　10 2.(2017江西金溪一中等期中聯(lián)考,19)食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康有一定的危害,為了給消費者帶來放心蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入

6、P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位:萬元)滿足P=80+42a,Q=14a+120,設甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位:萬元). (1)求f(50)的值; (2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入,才能使總收益f(x)最大? 解析　(1)甲大棚投入50萬元,則乙大棚投入150萬元, ∴f(50)=80+42×50+14×150+120=277.5. (2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250, 依題意,得x≥20,200-x≥20?20≤x≤180, 故f(x)=-14x+42x+250(20≤x≤180)

7、. 令t=x,則t∈[25,65], 則y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282, 當t=82,即x=128時, f(x)max=282. 所以甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時,總收益最大,且最大總收益為282萬元. 過專題 【五年高考】 自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 1.(2016四川,5,5分)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是 (參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.1

8、1,lg 2≈0.30)(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案　B　 2.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為(　　) A.p+q2 B.(p+1)(q+1)-12 C.pq D.(p+1)(q+1)-1 答案　D　 3.(2017山東,15,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為　　

9、　　.? ①f(x)=2-x?、趂(x)=3-x　③f(x)=x3?、躥(x)=x2+2 答案?、佗? 4.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函數(shù)F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q. (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍; (2)(i)求F(x)的最小值m(a); (ii)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a). 解析　(1)由于a≥3,故.當x≤1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0, 當x>1時,(x2-2ax+4a-2)-

10、2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a]. (2)(i)設函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2, 則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定義知m(a)=min{f(1),g(a)}, 即m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-2,a>2+2. (ii)當0≤x≤2時,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2), 當2≤x≤6時,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8

11、a}=max{F(2),F(6)}. 所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4. 教師專用題組 1.(2015北京,8,5分)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多 C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油 D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油 答案　D　 2.(20

12、14湖南,10,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+ex-12(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點,則a的取值范圍是(　　) A.-∞,1e B.(-∞,e) C.-1e,e D.-e,1e 答案　B　 3.(2014遼寧,12,5分)已知定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)滿足: ①f(0)=f(1)=0; ②對所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<12|x-y|. 若對所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|

13、,5分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x+4x-a+a在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是　　　　.? 答案　-∞,92 5.(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時間y(單位:小時)與儲藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時,在22 ℃的保鮮時間是48小時,則該食品在33 ℃的保鮮時間是　　　　小時.? 答案　24 6.(2014山東,15,5分)已知函數(shù)y=f(x)(x∈R),對函數(shù)y=g(x)(x∈I),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(x∈I),y

14、=h(x)滿足:對任意x∈I,兩個點(x,h(x)),(x,g(x))關(guān)于點(x, f(x))對稱.若h(x)是g(x)=4-x2關(guān)于f(x)=3x+b的“對稱函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實數(shù)b的取值范圍是　　　　　　　　.? 答案　(210,+∞) 7.(2014湖北,14,5分)設f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0,對任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(a, f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當f(x)=1(x>0)時,可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)為

15、a,b的算術(shù)平均數(shù). (1)當f(x)=　　　　(x>0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);? (2)當f(x)=　　　　(x>0)時,Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)2aba+b.? (以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可) 答案　(1)x　(2)x 8.(2016江蘇,19,16分)已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)設a=2,b=12. ①求方程f(x)=2的根; ②若對于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求實數(shù)m的最大值; (2)若01,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個零點,求ab的

16、值. 解析　(1)因為a=2,b=12,所以f(x)=2x+2-x. ①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0. ②由條件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2. 因為f(2x)≥mf(x)-6對于x∈R恒成立,且f(x)>0, 所以m≤(f(x))2+4f(x)對于x∈R恒成立. 而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4, 所以m≤4,故實數(shù)m的最大值為4. (2)因為函數(shù)g(x)=f

17、(x)-2只有1個零點,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點. 因為g'(x)=axln a+bxln b,又由01知ln a<0,ln b>0, 所以g'(x)=0有唯一解x0=logba-lnalnb. 令h(x)=g'(x),則h'(x)=(axln a+bxln b)'=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 從而對任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的單調(diào)增函數(shù). 于是當x∈(-∞,x0)時,g'(x)g'(x0)=0. 因而函

18、數(shù)g(x)在(-∞,x0)上是單調(diào)減函數(shù),在(x0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù). 下證x0=0. 若x0<0,則x0aloga2-2=0,且函數(shù)g(x)在以x02和loga2為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷,所以在x02和loga2之間存在g(x)的零點,記為x1.因為00,同理可得,在x02和logb2之間存在g(x)的非0的零點,矛盾. 因此,x0=0. 于是-lnalnb=1,故ln a

19、+ln b=0,所以ab=1. 9.(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值; (2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t. ①請寫出公

20、路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域; ②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度. 解析　(1)由題意知,點M,N的坐標分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1 000,b=0. (2)①由(1)知,y=1 000x2(5≤x≤20),則點P的坐標為t,1 000t2, 設在點P處的切線l交x軸,y軸分別于A,B點,易知y'=-2 000x3, 則l的方程為y-1 000t2=-2 000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3 000t2. 故f(t)=3t22+3 000t2

21、2=32t2+4×106t4,t∈[5,20]. ②設g(t)=t2+4×106t4, 則g'(t)=2t-16×106t5. 令g'(t)=0,解得t=102. 當t∈(5,102)時,g'(t)<0,g(t)是減函數(shù); 當t∈(102,20)時,g'(t)>0,g(t)是增函數(shù); 從而,當t=102時,函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值, 所以g(t)min=300,則f(t)min=153. 答:當t=102時,公路l的長度最短,最短長度為153千米. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2019屆湖北武漢示范高中高三聯(lián)考,5)如圖,點P在邊長為1

22、的正方形邊上運動,M是CD的中點,當點P沿A-B-C-M運動時,點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y=f(x)的圖象的形狀大致是(　　) 答案　A　 2.(2017山西名校聯(lián)考,12)設函數(shù)f(x)=-4x+2x+1-1,g(x)=lg(ax2-4x+1),若對任意x1∈R,都存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.(0,4] B.(-∞,4] C.(-4,0] D.[4,+∞) 答案　B　 3.(2018河北石家莊一模,12)已知M是函數(shù)f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)

23、的所有零點之和,則M的值為(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　D　 4.(2018河南鄭州高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量預測,12)函數(shù)f(x)=|x|ex,方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+1-m=0有4個不相等的實根,則m的取值范圍是(　　) A.e2-ee2+e,1 B.e2-e+1e2+e,+∞ C.e2-e+1e2+e,1 D.e2-ee2+e,+∞ 答案　C　 二、填空題(共5分) 5.(2019屆吉林高三第一次調(diào)研測試,16)某工廠投資100萬元開發(fā)新產(chǎn)品,第一年獲利10萬元,從第二年開始每年獲利比上一年增加20%,從第n年開始,前n年獲利總和超過投入的

24、100萬元,則n=　　　　.(參考數(shù)據(jù):lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)? 答案　7 三、解答題(共25分) 6.(2019屆湖北、山東部分重點中學高三第一次聯(lián)考,20)某地空氣中出現(xiàn)污染,需噴灑一定量的去污劑進行處理.據(jù)測算,每噴灑1個單位的去污劑,空氣中釋放的濃度y(單位:毫克/立方米)隨著時間x(單位:天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=8-x2,0

25、個單位的去污劑,則去污時間可達幾天? (2)若第一次噴灑1個單位的去污劑,6天后再噴灑a個單位的去污劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效去污,試求a的最小值.(精確到0.1) 解析　(1)依題意,令y≥4,則0

26、4. 易知f(x)在(6,10]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(10)=3+6a, ∴3+6a≥4,∴a≥16≈0.2,故a的最小值為0.2. 方法總結(jié)　解決應用問題的基本步驟: ①審題:弄清題意,分析條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,恰當選擇函數(shù)模型; ②建模:將文字語言、圖形(或數(shù)表)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言,利用數(shù)學知識建立相應的函數(shù)模型,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題; ③求解:求解數(shù)學問題,得出數(shù)學結(jié)論; ④還原:將利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論還原為實際問題的答案. 7.(2018湖北荊州一模,19)某市環(huán)保研究所對市中心每天的環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f(x

27、)與時刻x(時)的關(guān)系為f(x)=2xx2+42xx2+4-a+34,x∈[0,24],其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且a∈0,12. (1)令t(x)=2xx2+4,x∈[0,24],求t(x)的最值; (2)若用每天的f(x)的最大值作為當天的綜合污染指數(shù),市政府規(guī)定:每天的綜合污染指數(shù)不得超過2.試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標? 解析　(1)由t(x)=2xx2+4,x∈[0,24], 得t'(x)=2(x2+4)-2x·2x(x2+4)2=-2(x+2)(x-2)(x2+4)2,x∈[0,24], 令t'(x)≥0,得(x+2)(x-2)≤0,則0≤x≤2, 令t'(x)

28、<0,得(x+2)(x-2)>0,則2