（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題十三 推理與證明試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題十三　推理與證明 探考情 悟真題 【真題探秘】 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 1.合情推理與演繹推理 (1)了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. (2)了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理. (3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 2019課標(biāo)Ⅰ,4,5分 運(yùn)用黃金分割 估計(jì)身高 不等式性質(zhì) ★☆☆ 2017課標(biāo)Ⅱ,7,5分 根據(jù)給出的 說法進(jìn)行推理 2016課標(biāo)Ⅱ,15,5分 根據(jù)給出的 說法

2、進(jìn)行推理 2.直接證明與間接證明 (1)了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn). (2)了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn) 2018江蘇,19,16分 直接證明 利用導(dǎo)數(shù)研究 函數(shù)的性質(zhì) ★☆☆ 3.數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題 2017浙江,22,15分 用數(shù)學(xué)歸納 法證明 數(shù)列及不等式 的性質(zhì) ★☆☆ 分析解讀　　1.能利用已知結(jié)論類比未知結(jié)論或歸納猜想結(jié)論并加以證明.2.了解直接證明與間接證明的基本方法,體會數(shù)學(xué)證明的思想方法.3.

3、掌握“歸納—猜想—證明”的推理方法及數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.4.歸納推理與類比推理是高考的熱點(diǎn).本章在高考中的推理問題一般以填空題形式出現(xiàn),分值約為5分,屬中檔題;證明問題一般以解答題形式出現(xiàn),分值約為12分,屬中高檔題. 破考點(diǎn) 練考向 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2019湖南株洲模擬,5)下面四個推理中,不屬于演繹推理的是(　　) A.因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx(x∈R)的值域?yàn)閇-1,1],2x-1∈R,所以y=sin(2x-1)(x∈R)的值域?yàn)閇-1,1] B.昆蟲都是6條腿,竹節(jié)蟲是昆蟲,所以竹節(jié)蟲有6條腿 C.在平面中,對于三條不同的直線a,b,c,若a

4、∥b,b∥c,則a∥c,將此結(jié)論放到空間中也是如此 D.如果一個人在墻上寫字的位置與他的視線平行,那么,墻上字跡離地的高度大約是他的身高,兇手在墻上寫字的位置與他的視線平行,福爾摩斯量得墻壁上的字跡距地面六尺多,于是,他得出了兇手身高六尺多的結(jié)論 答案　C　 2.(2019安徽阜陽模擬,6)“結(jié)繩計(jì)數(shù)”是遠(yuǎn)古時期人類智慧的結(jié)晶,人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量.如圖所示是一位農(nóng)民記錄自己采摘果實(shí)的個數(shù).在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié),滿四進(jìn)一.根據(jù)圖示可知,農(nóng)民采摘的果實(shí)個數(shù)是(　　) A.493 B.383 C.183 D.123 答案　C　 3.(2019江西贛州一模,1

5、4)我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量.在平面直角坐標(biāo)系中,利用求動點(diǎn)軌跡方程的方法,可以求出過點(diǎn)A(-2,3)且法向量為n=(4,-1)的直線(點(diǎn)法式)方程為4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化簡得4x-y+11=0.類比以上方法,在空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)B(2,3,4)且法向量為n=(-1,-2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為　　　　　　.? 答案　x+2y-z-4=0 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 1.(2019湖南張家界模擬,5)用反證法證明命題“已知a、b、c為非零實(shí)數(shù),且a+b+c>0,ab+bc+ca>0,求證a、b、c中至少有兩個為正數(shù)”時,要做的假設(shè)是

6、(　　) A.a、b、c中至少有兩個為負(fù)數(shù) B.a、b、c中至多有一個為負(fù)數(shù) C.a、b、c中至多有兩個為正數(shù) D.a、b、c中至多有兩個為負(fù)數(shù) 答案　A　 2.(2018湖北普通高中聯(lián)考,7)分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設(shè)a0 B.c-a>0 C.(c-b)(c-a)>0 D.(c-b)(c-a)<0 答案　C　 考點(diǎn)三　數(shù)學(xué)歸納法 　(2020屆吉林延邊二中高三開學(xué)考試,4)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+3+…+n3=n6+n32,n∈N*”,則當(dāng)n=k+1(k∈N*)

7、時,左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(　　) A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 B.(k3+1)+(k3+2)+…+(k3+k+1) C.(k+1)3 D.(k+1)6+(k+1)32 答案　A　 煉技法 提能力 【方法集訓(xùn)】 方法　歸納推理與類比推理的應(yīng)用 1.(2019湖南邵陽二模,9)在平面幾何里有射影定理:設(shè)三角形ABC的兩邊AB⊥AC,D是A點(diǎn)在BC上的射影,則AB=BD·BC.拓展到空間,在四面體ABCD中,AD⊥面ABC,點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影,且O在△BCD內(nèi),類比平面三角形射影定理,得出正確的結(jié)論是(　　) A.S△ABC2=S△BCO·S△

8、BCD B.S△ABD2=S△BOD·S△BOC C.S△ADC2=S△DOC·S△BOC D.S△BDC2=S△ABD·S△ABC 答案　A　 2.(2019安徽六安高三下學(xué)期開學(xué)考試,16)觀察下列等式: 13+23=1; 73+83+103+113=12; 163+173+193+203+223+233=39; …… 則當(dāng)n

9、長度與肚臍至足底的長度之比是5-125-12≈0.618,稱為黃金分割比例,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-12.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是(　　) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 答案　B　 2.(2016課標(biāo)Ⅱ,15,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說:“我的

10、卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是　　　　.? 答案　1和3 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2016北京,8,5分)袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則(　　) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 答案　B　 2.(2015山東,11,5分)觀察下列各式:

11、 C10=40; C30+C31=41; C50+C51+C52=42; C70+C71+C72+C73=43; …… 照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時, C2n-10+C2n-11+C2n-12+…+C2n-1n-1=　　　　.? 答案　4n-1 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 　(2018江蘇,19,16分)記f'(x),g'(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x0∈R,滿足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點(diǎn)”. (1)證明:函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”; (2)若函數(shù)f(x)

12、=ax2-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)a的值; (3)已知函數(shù)f(x)=-x2+a,g(x)=bexx.對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”,并說明理由. 解析　本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力以及邏輯推理能力. (1)證明:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2, 則f'(x)=1,g'(x)=2x+2, 由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x), 得x=x2+2x-2,1=2x+2,此方程組無解. 因此,f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S

13、點(diǎn)”. (2)函數(shù)f(x)=ax2-1,g(x)=lnx, 則f'(x)=2ax,g'(x)=1x, 設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”, 由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0), 得ax02-1=lnx0,2ax0=1x0,即ax02-1=lnx0,2ax02=1,(*) 得lnx0=-12,即x0=e-12,則a=12(e-12)2=e2. 當(dāng)a=e2時,x0=e-12滿足方程組(*),即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,因此,a的值為e2. (3)f'(x)=-2x,g'(x)=bex(x-1)x2,x≠0,f'(x0)=g'(x0)?bex0=-2x0

14、3x0-1>0?x0∈(0,1), f(x0)=g(x0)?-x02+a=bex0x0=-2x02x0-1?a=x02-2x02x0-1, 令h(x)=x2-2x2x-1-a=-x3+3x2+ax-a1-x,x∈(0,1),a>0, 設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0, 則m(0)=-a<0,m(1)=2>0?m(0)·m(1)<0, 又m(x)的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷, ∴m(x)在(0,1)上有零點(diǎn), 則h(x)在(0,1)上有零點(diǎn). 因此,對任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”. 思路分析　本題是

15、新定義情境下運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題,前兩問只需按新定義就能解決問題,第三問中先利用f'(x0)=g'(x0)對x0加以限制,然后將f(x0)=g(x0)轉(zhuǎn)化成a=x02-2x02x0-1,從而轉(zhuǎn)化為研究h(x)=-x3+3x2+ax-a1-x,x∈(0,1),a>0的零點(diǎn)存在性問題,再研究函數(shù)m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0,可判斷出m(x)在(0,1)上存在零點(diǎn),進(jìn)而解決問題. 考點(diǎn)三　數(shù)學(xué)歸納法 　(2017浙江,22,15分)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*). 證明:當(dāng)n∈N*

16、時, (1)00. 當(dāng)n=1時,x1=1>0. 假設(shè)n=k時,xk>0,那么n=k+1時,若xk+1≤0,則00. 因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1. 因此0

17、 記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0), f'(x)=2x2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0). 函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0, 因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0, 故2xn+1-xn≤xnxn+12(n∈N*). (3)因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥12n-1. 由xnxn+12≥2xn+1-xn得1xn+1-12≥21xn-12>0, 所以1xn-12≥21xn-1-12≥…≥2n-11x1-12=2n-

18、2, 故xn≤12n-2.綜上,12n-1≤xn≤12n-2(n∈N*). 方法總結(jié)　1.證明數(shù)列單調(diào)性的方法. ①差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判斷符號,或構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域,從而判斷其符號. ②商比法:作商an+1an,判斷an+1an與1的大小,同時注意an的正負(fù). ③數(shù)學(xué)歸納法. ④反證法:例如求證:n∈N*,an+1

19、第k項(xiàng)分裂成某數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差的形式,再求和,達(dá)到放縮的目的. ②累加法:先把a(bǔ)n+1-an進(jìn)行放縮.例:an+1-an≤qn, 則有n≥2時,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)≤a1+q+q2+…+qn-1. ③累乘法:先把a(bǔ)n+1an進(jìn)行放縮.例:an+1an≤q(q>0), 則有n≥2時,an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1≤a1qn-1(其中a1>0). ④放縮為等比數(shù)列:利用不等式性質(zhì),把非等比數(shù)列{an}放縮成等比數(shù)列{bn},求和后,再進(jìn)行適當(dāng)放縮. C組　教師專用題組 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2017北京,1

20、4,5分)三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù),i=1,2,3. ①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是　　　　;? ②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是　　　　.? 答案?、貿(mào)1　②p2 2.(2015福建,15,5分)一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在

21、通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?). 已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0, 其中運(yùn)算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于　　　　.? 答案　5 3.(2014課標(biāo)Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時, 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)?/p>

22、去過同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為　　　　.? 答案　A 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 1.(2018北京,20,14分)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),記 M(α,β)=12[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)]. (1)當(dāng)n=3時,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (2)當(dāng)n=4時,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意

23、元素α,β,當(dāng)α,β相同時,M(α,β)是奇數(shù);當(dāng)α,β不同時,M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值; (3)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意兩個不同的元素α,β,M(α,β)=0.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多,并說明理由. 解析　(1)因?yàn)棣?(1,1,0),β=(0,1,1),所以 M(α,α)=12[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2, M(α,β)=12[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. (2)設(shè)α=(x1,x2,x3,x4)∈B,則M(α,α)=x1

24、+x2+x3+x4. 由題意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)為奇數(shù), 所以x1,x2,x3,x4中1的個數(shù)為1或3.所以 B?{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 將上述集合中的元素分成如下四組: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1). 經(jīng)驗(yàn)證,對于每組中兩個元素α,β,均有M(α,β)=1. 所以每組中的兩個元素

25、不可能同時是集合B的元素. 所以集合B中元素的個數(shù)不超過4. 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}滿足條件, 所以集合B中元素個數(shù)的最大值為4. (3)設(shè)Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A,xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n), Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0}, 所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1. 對于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,經(jīng)驗(yàn)證,M(α,β)≥1. 所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的兩個元素不可能同時是集合

26、B的元素. 所以B中元素的個數(shù)不超過n+1. 取ek=(x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1). 令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,則集合B的元素個數(shù)為n+1,且滿足條件. 故B是一個滿足條件且元素個數(shù)最多的集合. 2.(2017江蘇,19,16分)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”. (1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”; (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)

27、數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列. 證明　本小題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力. (1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則an=a1+(n-1)d, 從而,當(dāng)n≥4時,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3, 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an, 因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”. (2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此, 當(dāng)n≥3時

28、,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,① 當(dāng)n≥4時,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.② 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④ 將③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4, 所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d'. 在①中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d', 在①中,取n=3,則a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d', 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列. 方法總結(jié)　數(shù)列新定義型創(chuàng)新題

29、的一般解題思路: 1.閱讀審清“新定義”; 2.結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識,化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識; 3.利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識,求解證明相關(guān)結(jié)論. 3.(2017北京,20,13分)設(shè){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列,記cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個數(shù)中最大的數(shù). (1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列; (2)證明:或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n≥m時,cnn>M;或者存在正整數(shù)m,

30、使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列. 解析　本題考查等差數(shù)列,不等式,合情推理等知識,考查綜合分析,歸納抽象,推理論證能力. (1)c1=b1-a1=1-1=0, c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1, c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2. 當(dāng)n≥3時, (bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0, 所以bk-nak關(guān)于k∈N*單調(diào)遞減. 所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-an

31、n}=b1-a1n=1-n. 所以對任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1, 所以{cn}是等差數(shù)列. (2)證明:設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,則bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1). 所以cn=b1-a1n+(n-1)(d2-nd1),b1-a1n,當(dāng)d2>nd1時,當(dāng)d2≤nd1時. ①當(dāng)d1>0時, 取正整數(shù)m>d2d1,則當(dāng)n≥m時,nd1>d2,因此cn=b1-a1n. 此時,cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列. ②當(dāng)d1=0時,對任意n≥1, cn=b1-a1n

32、+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1). 此時,c1,c2,c3,…,cn,…是等差數(shù)列. ③當(dāng)d1<0時, 當(dāng)n>d2d1時,有nd1maxM+|b1-d2|+a1-d1-d2-d1,d2d1, 故當(dāng)n≥m時,cnn>M. 解后反思　解決數(shù)列的相關(guān)題時,可通過對某些項(xiàng)的觀察,分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)律,再利用綜合法進(jìn)行推理論證.

33、 4.(2016浙江,20,15分)設(shè)數(shù)列{an}滿足an-an+12≤1,n∈N*. (1)證明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*; (2)若|an|≤32n,n∈N*,證明:|an|≤2,n∈N*. 證明　(1)由an-an+12≤1得|an|-12|an+1|≤1, 故|an|2n-|an+1|2n+1≤12n,n∈N*, 所以|a1|21-|an|2n=|a1|21-|a2|22+|a2|22-|a3|23+…+|an-1|2n-1-|an|2n≤121+122+…+12n-1<1, 因此|an|≥2n-1(|a1|-2). (2)任取n∈N*,由(1)知,

34、對于任意m>n, |an|2n-|am|2m=|an|2n-|an+1|2n+1+|an+1|2n+1-|an+2|2n+2+…+|am-1|2m-1-|am|2m≤12n+12n+1+…+12m-1<12n-1, 故|an|<12n-1+|am|2m·2n≤12n-1+12m·32m·2n=2+34m·2n. 從而對于任意m>n,均有|an|<2+34m·2n.① 由m的任意性得|an|≤2. 否則,存在n0∈N*,有|an0|>2,取正整數(shù)m0>log34|an0|-22n0且m0>n0,則2n0·34m0<2n0·34log34|an0|-22n0=|an0|-2,與①式矛盾.

35、 綜上,對于任意n∈N*,均有|an|≤2. 考點(diǎn)三　數(shù)學(xué)歸納法 　(2015江蘇,23,10分)已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),設(shè)Sn={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Yn}.令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù). (1)寫出f(6)的值; (2)當(dāng)n≥6時,寫出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解析　(1)f(6)=13. (2)當(dāng)n≥6時, f(n)=n+2+n2+n3,n=6t,n+2+n-12+n-13,n=6t+1,n+2+n2+n-23,n=6t+2,n+2+n-12+n3,n=6t+3,n+2+n2+n-

36、13,n=6t+4,n+2+n-12+n-23,n=6t+5(t∈N*). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=6時,f(6)=6+2+62+63=13,結(jié)論成立; ②假設(shè)n=k(k≥6)時結(jié)論成立,那么n=k+1時,Sk+1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產(chǎn)生,分以下情形討論: 1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時有 f(k+1)=f(k)+3 =k+2+k-12+k-23+3 =(k+1)+2+k+12+k+13,結(jié)論成立; 2)若k+1=6t+1,則k=6t,此時有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+k2+k3+

37、1 =(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,結(jié)論成立; 3)若k+1=6t+2,則k=6t+1,此時有 f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12+k-13+2 =(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,結(jié)論成立; 4)若k+1=6t+3,則k=6t+2,此時有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+k2+k-23+2 =(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,結(jié)論成立; 5)若k+1=6t+4,則k=6t+3,此時有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+k-12+k3+2 =(k+1)+2+k+12+(k+1)-13,結(jié)論成立; 6)若k+

38、1=6t+5,則k=6t+4,此時有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+k2+k-13+1 =(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,結(jié)論成立. 綜上所述,結(jié)論對滿足n≥6的自然數(shù)n均成立. 【三年模擬】 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2020屆安徽A10聯(lián)盟上學(xué)期摸底考試,7)中國古代近似計(jì)算方法源遠(yuǎn)流長,早在八世紀(jì),我國著名數(shù)學(xué)家張遂在編制《大衍歷》中發(fā)明了一種二次不等距插值算法:若函數(shù)y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1

39、可以用二次函數(shù)來近似代替:f(x)≈y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=y2-y1x2-x1,k=y3-y2x3-x2,k2=k-k1x3-x1.若令x1=0,x2=π2,x3=π,請依據(jù)上述算法,估算sinπ5的值是(　　) A.1425 B.35 C.1625 D.1725 答案　C　 2.(2020屆河南新鄉(xiāng)9月調(diào)研,10)觀察下列各式110×248=248,11×248=2728,112×248=30008,113×248=330088,114×248=3630968,……,則1199×248的十位數(shù)是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案

40、　C　 3.(2020屆河南南陽中學(xué)第二次開學(xué)考試,11)從A地到B地有三條路線:1號路線,2號路線,3號路線.小王想自駕從A地到B地,因擔(dān)心堵車,于是向三位司機(jī)咨詢,司機(jī)甲說:“2號路線不堵車,3號路線不堵車.”司機(jī)乙說:“1號路線不堵車,2號路線不堵車.”司機(jī)丙說:“1號路線堵車,2號路線不堵車.”如果三位司機(jī)只有一位說法是完全正確的,那么小王最應(yīng)該選擇的路線是(　　) A.1號路線 B.2號路線 C.3號路線 D.2號路線或3號路線 答案　B　 4.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,3)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題

41、之一,可以這樣描述:存在無窮多個素?cái)?shù)p,使得p+2是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(p,p+2)稱為孿生素?cái)?shù).則由不超過20的素?cái)?shù)組成的孿生素?cái)?shù)共有(　　) A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 答案　C　 5.(2019安徽蚌埠模擬,7)設(shè)x,y,z∈R+,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,則a,b,c三數(shù)(　　) A.都小于2 B.都大于2 C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2 答案　D　 6.(2019福建泉州一模,10)田忌賽馬是中國古代對策論與運(yùn)籌思想的著名范例.故事中齊將田忌與齊王賽馬,孫臏獻(xiàn)策以下馬對齊王上馬,以上馬對齊王中馬,以中馬對齊王下馬,結(jié)果田忌一負(fù)兩勝從

42、而獲勝.該故事中以局部的 犧牲換取全局的勝利成為軍事上一條重要的用兵規(guī)律.在比大小游戲中(大者為勝),已知我方的三個數(shù)為a= cosθ,b=sinθ+cosθ,c=cosθ-sinθ,對方的三個數(shù)以及排序如表: 第一局 第二局 第三局 對方 2 tanθ sinθ 當(dāng)0<θ<π4時,我方必勝的排序是(　　) A.a,b,c B.b,c,a C.c,a,b D.c,b,a 答案　D　 7.(2019江西吉安教學(xué)質(zhì)量檢測,9)斐波那契數(shù)列,又稱黃金分割數(shù)列,指的是這樣一個數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…,在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列{an

43、}定義為:a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契數(shù)列有種看起來很神奇的巧合,如根據(jù)an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2= an+2-1,類比這一方法,可得a12+a22+…+a102=(　　) A.714 B.1870 C.4895 D.4896 答案　C　 8.(2019安徽合肥一中、馬鞍山二中等六校第二次聯(lián)考,12)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,則下列命題正確的是(　　) (1)若a2+b2π2;(2)若

44、ab>c2,則C>π3;(3)若a3+b3=c3,則C<π2;(4)若2ab>(a+b)c,則C>π2; (5)若(a2+b2)c2<2a2b2,則C<π3. A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(5) C.(1)(3)(4) D.(1)(3)(5) 答案　D　 二、填空題(每小題5分,共20分) 9.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,14)甲、乙、丙、丁參加一比賽,賽前甲、乙、丙分別作出預(yù)測. 甲說:乙會獲得獎牌; 乙說:丙會獲得金牌; 丙說:丁不會獲得銀牌. 比賽結(jié)果有3人分別獲得金牌、銀牌和銅牌,另外1人沒獲得獎牌.如果甲、乙、丙中有一人獲得了金牌,而且只有獲得金牌的那個人預(yù)測正確

45、,則獲得金牌的是　　　　.? 答案　甲 10.(2020屆貴州貴陽高三開學(xué)考試,15)數(shù)式1+11+11+…中省略號“…”代表無限重復(fù),但該式是一個固定值,可以用如下方法求得:令原式=t,則1+1t=t,則t2-t-1=0,取正值得t=5+12.用類似方法可得12+12+12+…=　　　　.? 答案　4 11.(2019廣東惠州模擬,15)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中,用圖①的數(shù)表列出了一些正整數(shù)在三角形中的一種幾何排列,俗稱“楊輝三角形”,該數(shù)表的規(guī)律是每行首尾數(shù)字均為1,從第三行開始,其余的數(shù)字是它“上方”左右兩個數(shù)字之和.現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到圖②所示的由數(shù)字0和1組成的三角形數(shù)表,由上往下數(shù),記第n行各數(shù)字的和為Sn,如S1=1,S2=2,S3=2,S4=4,S5=2,……,則S33=　　　　.? 答案　2 12.(2018河北衡水中學(xué)第十次模擬,16)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足an+1=12an,an是偶數(shù),3an+1,an是奇數(shù),已知a7=2,{an}的前7項(xiàng)和的最大值為S,把a(bǔ)1的所有可能取值按從小到大排成一個新數(shù)列{bn},{bn}所有項(xiàng)的和為T,則S-T=　　　　.? 答案　64