專題一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用 解答重難點(diǎn)題型突破
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1、專題二 解答重難點(diǎn)題型突破 題型一 實際應(yīng)用問題 類型一 一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用 1.(2018·遼陽)某超市銷售櫻桃,已知櫻桃的進(jìn)價為15元/千克,如果售價為20元/千克,那么每天可售出250千克,如果售價為25元/千克,那么每天可獲利2000元,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每天的銷售量y(千克)與售價x(元/千克)之間存在一次函數(shù)關(guān)系. (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)若櫻桃的售價不得高于28元/千克,請問售價定為多少時,該超市每天銷售櫻桃所獲的利潤最大?最大利潤是多少元? 解:(1)當(dāng)x=25時,y=2000÷(25-15)=200(千克
2、), 設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,把(20,250)(25,200)代入得解得 ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+450; (2)設(shè)每天獲利W元,W=(x-15)(-10x+450)=-10x2+600x-6750=-10(x-30)2+2250, ∵a=-10<0,對稱軸為直線x=30, ∴在x≤28時,W隨x的增大而增大,∴當(dāng)x=28時,W最大=2210(元), 答:售價為28元時,每天獲最大利潤為2210元.2.(2018·安徽)某超市銷售一種商品,成本為每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元,經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿
3、足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表: 售價x(元/千克) 50 60 70 銷售量y(千克) 100 80 60 (1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式; (2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤=收入-成本); (3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況,并指出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少? 解:(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b, 解得 即y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y=-2x+200; (2)由題意可得, W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000, 即W與x之間的函數(shù)表達(dá)式是W=-
4、2x2+280x-8000; (3)∵W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,40≤x≤80, ∴當(dāng)40≤x≤70時,W隨x的增大而增大,當(dāng)70≤x≤80時,W隨x的增大而減小, 當(dāng)x=70時,W取得最大值,此時W=1800, 答:當(dāng)40≤x≤70時,W隨x的增大而增大,當(dāng)70≤x≤80時,W隨x的增大而減小,售價為70元時獲得最大利潤,最大利潤是1800元. 3.(2018·鐵嶺模擬)某賓館有50個房間供游客居住,當(dāng)每個房間定價120元時,房間會全部住滿,當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,如果游客居住房間,賓館需對每個房間每天支出20元
5、的各種費(fèi)用,設(shè)每個房間定價增加10x元(x為整數(shù)). (1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)設(shè)賓館每天的利潤為W元,當(dāng)每個房間定價為多少元時,賓館每天所獲利潤最大,最大利潤是多少? (3)某日,賓館了解當(dāng)天的住宿情況,得到以下信息:①當(dāng)日所獲利潤不低于5000元,②賓館為游客居住的房間共支出費(fèi)用沒有超過600元,③每個房間剛好住滿2人.問:這天賓館入住的游客人數(shù)最少有多少人?(導(dǎo)學(xué)號 58824232) 解:(1)根據(jù)題意,得:y=50-x(0≤x≤50,且x為整數(shù)); (2)W=(120+10x-20)(50-x)=-10x2+400x+5000=-10(
6、x-20)2+9000, ∵a=-10<0∴當(dāng)x=20時,W取得最大值,W最大值為9000元, 答:當(dāng)每個房間定價為320元時,賓館每天所獲利潤最大,最大利潤是9000元; (3)由-10(x-20)2+9000≥5000,20(-x+50)≤600,解得20≤x≤40, ∵房間數(shù)y=50-x, 又∵-1<0, y隨x的增大而減小, ∴當(dāng)x=40時,y的值最小,這天賓館入住的游客人數(shù)最少, 最少人數(shù)為2y=2(-x+50)=20(人), 答:這天賓館入住的游客人數(shù)最少有20人. 4.(2018·湖州)湖州素有魚米之鄉(xiāng)之稱,某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢,一次性收購了2
7、0000 kg淡水魚,計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售.已知每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同,放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬元;放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬元(總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購成本). (1)設(shè)每天的放養(yǎng)費(fèi)用是a萬元,收購成本為b萬元,求a和b的值; (2)設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m(kg),銷售單價為y元/kg.根據(jù)以往經(jīng)驗可知:m與t的函數(shù)關(guān)系為m=y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示. ①分別求出當(dāng)0≤t≤50和50<t≤100時,y與t的函數(shù)關(guān)系式; ②設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤為W元,求當(dāng)t為何值時,W最大?并求出最大值.(利潤=銷售總額-總成本) 解:(1)由題意,得:
8、解得 (2)①當(dāng)0≤t≤50時,設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=k1t+n1, 將(0,15)、(50,25)代入,得:解得:∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t+15; 當(dāng)50<t≤100時,設(shè)y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=k2t+n2, 將點(diǎn)(50,25)、(100,20)代入,得:解得: ∴y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=-t+30; ②由題意,當(dāng)0≤t≤50時, W=20000(t+15)-(400t+300000)=3600t, ∵3600>0,∴當(dāng)t=50時,W最大=180000(元); 當(dāng)50<t≤100時,W=(100t+15000)(-t+30)-(400t+300000)=-10t2
9、+1100t+150000=-10(t-55)2+180250, ∵-10<0,∴當(dāng)t=55時,W最大=180250(元), 綜上所述,放養(yǎng)55天時,W最大,最大值為180250元. 5.(2018·丹東)某超市銷售一種成本為每臺20元的臺燈,規(guī)定銷售單價不低于成本價,又不高于每臺32元,銷售中平均每月銷售量y(臺)與銷售單價x(元)的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù),如下表所示: x 22 24 26 28 y 90 80 70 60 (1)請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)為了實現(xiàn)平均每月375元的臺燈銷售利潤,這種臺燈的售價應(yīng)定為多少?這時每月應(yīng)購進(jìn)臺
10、燈多少個? (3)設(shè)超市每月臺燈銷售利潤為w(元),求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x取何值時,w的值最大?最大值是多少? 解:(1)y=-5x+200; (2)根據(jù)題意可得:(x-20)(-5x+200)=375, 解得:x1=35>32舍去,x2=25, 代入y=-5x+200得y=75, 答:這種臺燈的售價應(yīng)定為25元/臺,這時應(yīng)購進(jìn)臺燈75臺; (3)w=(x-20)(-5x+200)=-5x2+300x-4000=-5(x-30)2+500, ∵a=-5<0,∴當(dāng)x=30時,w最大=500元. 類型二 方程、不等式的實際應(yīng)用 1.(2018·益陽)我市南縣大力發(fā)展農(nóng)
11、村旅游事業(yè),全力打造“洞庭之心濕地公園”,其中羅文村的“花海、涂鴉、美食”特色游享譽(yù)三湘,游人如織.去年村民羅南洲抓住機(jī)遇,返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),投入20萬元創(chuàng)辦農(nóng)家樂(餐飲+住宿),一年時間就收回投資的80%,其中餐飲利潤是住宿利潤的2倍還多1萬元. (1)求去年該農(nóng)家樂餐飲和住宿的利潤各為多少萬元? (2)今年羅南洲把去年的餐飲利潤全部用于繼續(xù)投資,增設(shè)了土特產(chǎn)的實體店銷售和網(wǎng)上銷售項目.他在接受記者采訪時說:“我預(yù)計今年餐飲和住宿的利潤比去年會有10%的增長,加上土特產(chǎn)銷售的利潤,到年底除收回所有投資外,還將獲得不少于10萬元的純利潤.”請問今年土特產(chǎn)銷售至少有多少萬元的利潤? (導(dǎo)學(xué)號 58
12、824233) 解:(1)設(shè)去年餐飲利潤x萬元,住宿利潤y萬元, 依題意得: 解得: 答:去年餐飲利潤11萬元,住宿利潤5萬元; (2)設(shè)今年土特產(chǎn)利潤m萬元, 依題意得:16+16×(1+10%)+m-20-11≥10,解得,m≥7.4, 答:今年土特產(chǎn)銷售至少有7.4萬元的利潤. 2.某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù).已知每臺GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成.工廠現(xiàn)有80名工人,每個工人每天能加工6個G型裝置或3個H型裝置.工廠將所有工人分成兩組同時開始加工,每組分別加工一種裝置,并要求每天加工的G,H型裝置數(shù)量
13、正好全部配套組成GH型產(chǎn)品. (1)按照這樣的生產(chǎn)方式,工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品? (2)為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù),工廠決定補(bǔ)充一些新工人,這些新工人只能獨(dú)立進(jìn)行G型裝置的加工,且每人每天只能加工4個G型裝置.請問至少需要補(bǔ)充多少名新工人? 解:(1)設(shè)有x名工人加工G型裝置, 則有(80-x)名工人加工H型裝置, 根據(jù)題意,=, 解得x=32, 則6×32÷4=48(套), 答:每天能組裝48套GH型電子產(chǎn)品; (2)設(shè)補(bǔ)充a名新工人加工G型裝置 仍設(shè)x名工人加工G型裝置,(80-x)名工人加工H型裝置, 根據(jù)題意,=,整理可得, x=, 另外,注意
14、到80-x≥,即x≤20, 于是≤20, 解得:a≥30, 答:至少需要補(bǔ)充30名新工人. 3.(2018·寧波)2018年5月14日至15日,“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行,本屆論壇期間,中國同30多個國家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬件銷往“一帶一路”沿線國家和地區(qū).已知2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同,3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元. (1)甲種商品與乙種商品的銷售單價各多少元? (2)若甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬元,則至少銷售甲種商品多少萬件? (導(dǎo)學(xué)號 58824234) 解:(1)
15、設(shè)甲種商品的銷售單價為x元,乙種商品的銷售單價為y元,依題意有 解得 答:甲種商品的銷售單價為900元,乙種商品的銷售單價為600元; (2)設(shè)銷售甲種商品a萬件,依題意有 900a+600(8-a)≥5400,解得a≥2, 答:至少銷售甲種商品2萬件. 4.(2018·無錫)某地新建的一個企業(yè),每月將生產(chǎn)1960噸污水,為保護(hù)環(huán)境,該企業(yè)計劃購置污水處理器,并在如下兩個型號中選擇: 污水處理器型號 A型 B型 處理污水能力(噸/月) 240 180 已知商家售出的2臺A型、3臺B型污水處理器的總價為44萬元,售出的1臺A型、4臺B
16、型污水處理器的總價為42萬元. (1)求每臺A型、B型污水處理器的價格; (2)為確保將每月產(chǎn)生的污水全部處理完,該企業(yè)決定購買上述的污水處理器,那么他們至少要支付多少錢? 解:(1)設(shè)每臺A型污水處理器的價格是x萬元,每臺B型污水處理器的價格是y萬元,依題意有 解得 答:每臺A型污水處理器的價格是10萬元,每臺B型污水處理器的價格是8萬元; (2)購買9臺A型污水處理器,費(fèi)用為10×9=90(萬元); 購買8臺A型污水處理器、1臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×8+8=80+8=88(萬元); 購買7臺A型污水處理器、2臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×7+8×2=70+16=8
17、6(萬元); 購買6臺A型污水處理器、3臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×6+8×3=60+24=84(萬元); 購買5臺A型污水處理器、5臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×5+8×5=50+40=90(萬元); 購買4臺A型污水處理器、6臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×4+8×6=40+48=88(萬元); 購買3臺A型污水處理器、7臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×3+8×7=30+56=86(萬元); 購買2臺A型污水處理器、9臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×2+8×9=20+72=92(萬元); 購買1臺A型污水處理器、10臺B型污水處理器,費(fèi)用為10×1+8×10=10+80=90(萬元
18、); 購買11臺B型污水處理器,費(fèi)用為8×11=88(萬元). 故購買6臺A型污水處理器、3臺B型污水處理器,費(fèi)用最少. 答:他們至少要支付84萬元. 類型三 方程、不等式與函數(shù)結(jié)合的實際應(yīng)用 1.(2018·泰州)怡然美食店的A,B兩種菜品,每份成本均為14元,售價分別為20元、18元,這兩種菜品每天的營業(yè)額共為1120元,總利潤為280元. (1)該店每天賣出這兩種菜品共多少份? (2)該店為了增加利潤,準(zhǔn)備降低A種菜品的售價,同時提高B種菜品的售價,售賣時發(fā)現(xiàn),A種菜品售價每降0.5元可多賣1份;B種菜品售價每提高0.5元就少賣1份,如果這兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變,那
19、么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少? 解:(1)設(shè)該店每天賣出A、B兩種菜品分別為x、y份, 根據(jù)題意得, 解得: 答:該店每天賣出這兩種菜品共60份; (2)設(shè)A種菜品售價降0.5a元,即每天賣(20+a)份;總利潤為w元,因為兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變,所以B種菜品每天賣(40-a)份,每份售價提高0.5a元. w=(20-14-0.5a)(20+a)+(18-14+0.5a)(40-a) =(6-0.5a)(20+a)+(4+0.5a)(40-a) =(-0.5a2-4a+120)+(-0.5a2+16a+160) =-a2+12a+280 =-(a-6)2+316,
20、 當(dāng)a=6時,w最大,此時w=316. 答:這兩種菜品一天的總利潤最多是316元, 2.(2016·本溪)某種商品的進(jìn)價為40元/件,以獲利不低于25%的價格銷售時,商品的銷售單價y(元/件)與銷售數(shù)量x(件)(x是正整數(shù))之間的關(guān)系如下表: x(件) … 5 10 15 20 … y(元/件) … 75 70 65 60 … (1)由題意知商品的最低銷售單價是_50_元,當(dāng)銷售單價不低于最低銷售單價時,y是x的一次函數(shù),求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍; (2)在(1)的條件下,當(dāng)銷售單價為多少元時,所獲銷售利潤最大,最大利潤
21、是多少元? (導(dǎo)學(xué)號 58824235) 解:(1)設(shè)y=kx+b,根據(jù)題意得:解得 根據(jù)題意得:∴1≤x≤30且x為整數(shù), ∴y=-x+80(0<x≤30,且x為整數(shù)); (2)設(shè)所獲利潤為P元,根據(jù)題意得: P=(y-40)x=(-x+80-40)x=-(x-20)2+400, ∵a=-1<0,∴P有最大值, ∴當(dāng)x=20時,P最大=400, 此時y=60, ∴當(dāng)銷售單價為60元時,所獲最大利潤為400元. 3.(2018·鄂州)鄂州某個體商戶購進(jìn)某種電子產(chǎn)品的進(jìn)價是50元/個,根據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)售價是80元/個時,每周可賣出160個,若銷售單價每個
22、降低2元,則每周可多賣出20個.設(shè)銷售價格每個降低x元(x為偶數(shù)),每周銷售為y個. (1)直接寫出銷售量y個與降價x元之間的函數(shù)關(guān)系式; (2)設(shè)商戶每周獲得的利潤為W元,當(dāng)銷售單價定為多少元時,每周銷售利潤最大,最大利潤是多少元? (3)若商戶計劃下周利潤不低于5200元的情況下,他至少要準(zhǔn)備多少元進(jìn)貨成本? 解:(1)依題意有:y=10x+160; (2)依題意有:W=(80-50-x)(10x+160)=-10(x-7)2+5290, ∵-10<0,x為偶數(shù),∴x=6或8時,W有最大值,W最大=5280. 故當(dāng)銷售單價定為80-6=74元或80-8=72元時,每周銷售利潤
23、最大,最大利潤是5280元; (3)依題意有:-10(x-7)2+5290≥5200, 解得4≤x≤10,則200≤y≤260, 200×50=10000(元), 答:他至少要準(zhǔn)備10000元進(jìn)貨成本. 4.(2018·長春)甲、乙兩車間同時開始加工一批服裝.從開始加工到加工完這批服裝甲車間工作了9小時,乙車間在中途停工一段時間維修設(shè)備,然后按停工前的工作效率繼續(xù)加工,直到與甲車間同時完成這批服裝的加工任務(wù)為止.設(shè)甲、乙兩車間各自加工服裝的數(shù)量為y(件).甲車間加工的時間為x(時),y與x之間的函數(shù)圖象如圖所示. (1)甲車間每小時加工服裝件數(shù)為_80_
24、件;這批服裝的總件數(shù)為_1140_件; (2)求乙車間維修設(shè)備后,乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; (3)求甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時甲車間所用的時間. 解:(2)乙車間每小時加工服裝件數(shù)為120÷2=60(件), 乙車間修好設(shè)備的時間為9-(420-120)÷60=4(時). ∴乙車間維修設(shè)備后,乙車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=120+60(x-4)=60x-120(4≤x≤9); (3)甲車間加工服裝數(shù)量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=80x, 當(dāng)80x+60x
25、-120=1000時,x=8. 答:甲、乙兩車間共同加工完1000件服裝時甲車間所用的時間為8小時. 5.(2018·咸寧)某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價為6元/件,該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期一個月(30天)的試營銷,售價為8元/件,工作人員對銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中,時間每增加1天,日銷售量減少5件. (1)第24天的日銷售量是_330_件,日銷售利潤是_660_元; (2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范
26、圍; (3)日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有多少天?試銷售期間,日銷售最大利潤是多少元? (導(dǎo)學(xué)號 58824236) 解:(2)設(shè)線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx, 將(17,340)代入y=kx中,340=17k,解得:k=20, ∴線段OD所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20x; 根據(jù)題意得:線段DE所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=340-5(x-22)=-5x+450. 聯(lián)立兩線段所表示的函數(shù)關(guān)系式得, 解得 ∴交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(18,360), ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y= (3)當(dāng)0≤x≤18時,根據(jù)題意得:(8-6)×20x
27、≥640,解得:18≥x≥16; 當(dāng)18<x≤30時,根據(jù)題意得:(8-6)×(-5x+450)≥640, 解得:18<x≤26.∴16≤x≤26. 26-16+1=11(天),∴日銷售利潤不低于640元的天數(shù)共有11天; ∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(18,360),∴日最大銷售量為360件, 360×2=720(元), ∴試銷售期間,日銷售最大利潤是720元. 6.(2018·隨州)某水果店在兩周內(nèi),將標(biāo)價為10元/斤的某種水果,經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤,并且兩次降價的百分率相同. (1)求該種水果每次降價的百分率; (2)從第一次降價的第1天算起,第x天(x為整數(shù))
28、的售價、銷量及儲存和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如表所示.已知該種水果的進(jìn)價為4.1元/斤,設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元),求y與x(1≤x<15)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天時銷售利潤最大? 時間x(天) 1≤x<9 9≤x<15 x≥15 售價(元/斤) 第1次降價 后的價格 第2次降價 后的價格 銷量(斤) 80-3x 120-x 儲存和損 耗費(fèi)用(元) 40+3x 3x2-64x+400 (3)在(2)的條件下,若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元,則第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上
29、最多可降多少元? 解:(1)設(shè)該種水果每次降價的百分率是x,依題意有10(1-x)2=8.1, 解得x=10%或x=190%(舍去), 答:該種水果每次降價的百分率是10%; (2)當(dāng)1≤x<9時,第1次降價后的價格:10×(1-10%)=9,∴y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352, ∵-17.7<0, ∴y隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=1時,y有最大值, y最大=-17.7×1+352=334.3(元), 當(dāng)9≤x<15時,第2次降價后的價格為8.1元, ∴y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80
30、=-3(x-10)2+380, ∵-3<0, ∴當(dāng)9≤x≤10時,y隨x的增大而增大, 當(dāng)10<x<15時,y隨x的增大而減小, ∴當(dāng)x=10時,y有最大值,y最大=380(元), 綜上所述,y與x(1≤x<15)之間的函數(shù)關(guān)系式為: y= 第10天時銷售利潤最大; (3)設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降a元, 由題意得:380-127.5≤(4-a)(120-15)-(3×152-64×15+400), 252.5≤105(4-a)-115,解得a≤0.5. 答:第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降0.5元. 題型二 幾何圖形探究題
31、 類型一 與三角形、四邊形有關(guān)的探究題 1.(2018·成都)問題背景:如圖①,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,作AD⊥BC于點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),∠BAD=∠BAC=60°,于是==. 遷移應(yīng)用:如圖②,△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD. ①求證:△ADB≌△AEC; ②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式; 拓展延伸:如圖③,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,在∠ABC內(nèi)作射線BM,作點(diǎn)C關(guān)于BM的對稱點(diǎn)E,連接AE并延長交BM于點(diǎn)F,連接CE,CF. ①證明
32、△CEF是等邊三角形; ②若AE=5,CE=2,求BF的長. 圖① 圖② 圖③ 遷移應(yīng)用:①證明:∵∠BAC=∠DAE=120°, ∴∠DAB=∠CAE, 在△DAB和△EAC中, ∴△DAB≌△EAC; ②解:CD=AD+BD; 拓展延伸:①證明:如解圖,作BH⊥AE于點(diǎn)H,連接BE. ∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°, ∴△ABD,△BDC是等邊三角形,∴BA=BD=BC, ∵E、C關(guān)于BM對稱,∴BC=BE=BD=BA,FE=FC,∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓, ∴∠ADC=∠AEC=120°,∴∠FEC=60°, ∴△EFC是等邊三角形,
33、②解:∵AE=5,EC=EF=2,∴AH=HE=2.5,FH=4.5, 在Rt△BHF中,∵∠BFH=30°, ∴=cos30°,∴BF==3. 2.(2018·沈陽)四邊形ABCD是邊長為4的正方形,點(diǎn)E在邊AD所在直線上,連接CE,以CE為邊,作正方形CEFG(點(diǎn)D,點(diǎn)F在直線CE的同側(cè)),連接BF. (1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時,請直接寫出BF的長; (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時,AE=1; ①求點(diǎn)F到AD的距離; ②求BF的長; (3)若BF=3,請直接寫出此時AE的長. (導(dǎo)學(xué)號 58824237) 解:(1)作FH⊥AB于點(diǎn)H,如解圖①所示: 則
34、∠FHE=90°, ∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形, ∴AD=CD=4,EF=CE,∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°,∴∠FEH=∠CED, 在△EFH和△CED中, ∴△EFH≌△CED(AAS), ∴FH=CD=4,AH=AD=4,∴BH=AB+AH=8, ∴BF===4; (2)過F作FH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H,作FM⊥AB交BA延長線于點(diǎn)M,如解圖②所示: 則FM=AH,AM=FH, ①∵AD=4,AE=1,∴DE=3, 同(1)得:△EFH≌△CED(AAS),∴FH=DE=3,EH=CD=4, 即點(diǎn)F到AD的距離為3; ②∴BM=
35、AB+AM=4+3=7,FM=AE+EH=5, ∴BF===; (3)AE的長為1或2+. 圖① 圖② 3.(2018·長春改編)【再現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),可以得到:DE∥BC,且DE=BC.(不需要證明) 【探究】如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),判斷四邊形EFGH的形狀,并加以證明; 【應(yīng)用】(1)在【探究】的條件下,四邊形ABCD中,滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形?你添加的條件是:_AC=BD_(只添加一個條件); (2)如圖③,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,
36、BC,CD,DA的中點(diǎn),對角線AC,BD相交于點(diǎn)O.若AO=OC,四邊形ABCD面積為5,求陰影部分圖形的面積. 解:【探究】平行四邊形. 【應(yīng)用】(2)如解圖,由【探究】得,四邊形EFGH是平行四邊形, ∵F,G是BC,CD的中點(diǎn), ∴FG∥BD,FG=BD,∴△CFG∽△CBD, ∴=,∴S△BCD=4S△CFG, 同理:S△ABD=4S△AEH, ∵四邊形ABCD面積為5,∴S△BCD+S△ABD=5, ∴S△CFG+S△AEH=,同理:S△DHG+S△BEF=, ∴S四邊形EFGH=S四邊形ABCD-(S△CFG+S△AEH+S△DHG+S△BEF)=5-=,
37、 設(shè)AC與FG,EH相交于點(diǎn)M,點(diǎn)N,EF與BD相交于點(diǎn)P, ∵FG∥BD,FG=BD,∴CM=OM=OC,同理:AN=ON=OA, ∵OA=OC,∴OM=ON, 易知,四邊形ENOP,FMOP是平行四邊形, ∴S陰影=S四邊形EFGH=. 類型二 與圖形的變換結(jié)合的探究題 1.(2018·營口)在四邊形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn),點(diǎn)F為對角線BD上的一點(diǎn),且EF⊥AB. (1)若四邊形ABCD為正方形. ①如圖①,請直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系_DF=AE_; ②將△EBF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置,連接AE,DF,猜想AE,DF的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
38、(2)如圖③,若四邊形ABCD為矩形,BC=mAB,其他條件都不變,將△EBF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△E′BF′,連接AE′,DF′,請在圖③中畫出草圖,并直接寫出AE′與DF′的數(shù)量關(guān)系. 解:(1)②DF=AE.理由如下: ∵△EBF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn),∴∠ABE=∠DBF, ∵=,=,∴=,∴△ABE∽△DBF,∴==, 即DF=AE; (2)如解圖,∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC=mAB,∴BD==AB, ∵EF⊥AB,∴EF∥AD, ∴△BEF∽△BAD, ∴==, ∵△EBF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到△E′BF′,
39、 ∴∠ABE′=∠DBF′,BE′=BE,BF′=BF, ∴==,∴△ABE′∽△DBF′, ∴==,即DF′=AE′. 2.(2018·濰坊)邊長為6的等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2. (1)如圖①,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N,當(dāng)CC′多大時,四邊形MCND′為菱形?并說明理由; (2)如圖②,將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD′,BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P. ①在旋轉(zhuǎn)過程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)
40、系?并說明理由; ②連接AP,當(dāng)AP最大時,求AD′的值.(結(jié)果保留根號) (導(dǎo)學(xué)號 58824238) 圖① 圖② 解:(1)當(dāng)CC′=時,四邊形MCND′是菱形. 理由:由平移的性質(zhì)得,CD∥C′D′,DE∥D′E′, ∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠ACB=60°, ∴∠ACC′=180°-∠ACB=120°, ∵CN是∠ACC′的角平分線,∴∠NCC′=∠ACC′=60°=∠B=∠D′E′C′,∴D′E′∥CN, ∴四邊形MCND′是平行四邊形, ∵∠ME′C′=∠MCE′=60°,∠NCC′=∠NC′C=60°,∴△MCE′和△NCC′是等邊三角形,∴MC
41、=CE′,NC=CC′, ∵四邊形MCND′是菱形,∴CN=CM,∴CE′=CC′.又∵E′C′=EC=2,∴CC′=E′C′=; (2)①AD′=BE′. 理由:當(dāng)α≠180°時,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,∠ACD′=∠BCE′, 由(1)知,AC=BC,CD′=CE′,∴△ACD′≌△BCE′,∴AD′=BE′, 當(dāng)α=180°時,AD′=AC+CD′,BE′=BC+CE′,即:AD′=BE′,綜上可知:AD′=BE′. ②如解圖①,連接CP,在△ACP中,由三角形三邊關(guān)系得,AP<AC+CP, ∴當(dāng)點(diǎn)A,C,P三點(diǎn)共線時,AP最大,如解圖②, 在△D′CE′中,由P為D′E′的中點(diǎn)
42、,得AP⊥D′E′,PD′=,∴CP=3,∴AP=6+3=9, 在Rt△APD′中,由勾股定理得,AD′==2. 圖① 圖② 3.(2018·葫蘆島)如圖,∠MAN=60°,AP平分∠MAN,點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn),點(diǎn)C在直線AN上運(yùn)動,連接BC,將∠ABC(0°<∠ABC<120°)的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E. (1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時. ①請判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論; ②請?zhí)骄烤€段AC、AD和BE的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并證明; (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長線上時,
43、BC交射線AM于點(diǎn)F,若AB=4,AC=,請直接寫出AD和DF的長. 圖① 圖② 解:(1)①BC=BD; ②AC+AD=BE,證明如下: 如解圖,過點(diǎn) B作BH⊥AE于點(diǎn)H, ∵∠MAN=60°,AP平分∠MAN, ∴∠1=∠2=∠MAN=30°,∵將∠ABC繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)120°, ∴旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E, ∴∠CBD=∠ABE=120°, ∴∠CBD-∠ABD=∠ABE-∠ABD,即:∠3=∠4, ∵∠ABE=120°,∠1=30° ∴∠5=180°-∠ABE-∠1=30°, ∵∠5=∠1, ∴BA=BE,∵∠5=∠2=30
44、°,∠3=∠4, ∴△ABC≌△EBD,∴AC=DE,∴AC+AD=DE+AD=AE, ∵BH⊥AE于點(diǎn)H,BA=BE,∴AH=EH=AE, ∵∠5=30°, ∴EH=BE·cos30°=BE, 即:AE=BE,∴AE=BE,∴AC+AD=BE; (2)AD=5,DF=. 4.(2018·河南)如圖①,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn). (1)觀察猜想 圖①中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是_PM=PN_,位置關(guān)系是_PM⊥PN_; (2)探究證明 把△ADE繞點(diǎn)A逆時
45、針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說明理由; (3)拓展延伸 把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值. 解:(2)由旋轉(zhuǎn)知,∠BAD=∠CAE, ∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE,BD=CE, 同(1)的方法,利用三角形的中位線得,PN=BD,PM=CE,∴PM=PN, ∴△PMN是等腰三角形, 同(1)的方法得,PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE, 同(1)的方法得,PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC, ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DC
46、B+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,∴∠ACB+∠ABC=90°,∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形;
(3)如解圖,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大時,△PMN的面積最大,在△AMN中,MN 47、在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=××MN2=×(7)2=
.
類型三 動點(diǎn)問題
1.(2018·撫順)如圖,OF是∠MON的平分線,點(diǎn)A在射線OM上,P,Q是直線ON上的兩動點(diǎn),點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè),且PQ=OA,作線段OQ的垂直平分線,分別交直線OF,ON于點(diǎn)B,點(diǎn)C,連接AB,PB.
(1)如圖①,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)都在射線ON上時,請直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時,線段AB,PB是否還存在(1)中的數(shù)量關(guān)系?若存在,請寫出證明過程;若不存在,請說明理由;
( 48、3)如圖③,∠MON=60°,連接AP,設(shè)=k,當(dāng)P和Q兩點(diǎn)都在射線ON上移動時,k是否存在最小值?若存在,請直接寫出k的最小值;若不存在,請說明理由.
解:(1)AB=PB;
(2)存在.
理由:如解圖,連接BQ,∵BC垂直平分OQ,
∴BQ=OB,
∴∠BQC=∠BOC,
∵OF平分∠MON,∴∠MOF=∠NOF,∴∠NOF=∠BOC,
∴∠BQC=∠MOF,
∴180°-∠BQC=180°-∠MOF,
∴∠AOB=∠BQP,
又∵PQ=AO,∴△BQP≌△BOA,
∴AB=PB;
(3)存在最小值,k最小值=0.5.
2.(2018·宜 49、昌)正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)O是BC邊上的一個動點(diǎn)(與B,C不重合),以O(shè)為頂點(diǎn)在BC所在直線的上方作∠MON=90°.
(1)當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時,
①請直接填空:ON_不可能_(可能,不可能)過D點(diǎn);(圖①僅供分析)
②如圖②,在ON上截取OE=OA,過E點(diǎn)作EF垂直于直線BC,垂足為點(diǎn)F,作EH⊥CD于點(diǎn)H,求證:四邊形EFCH為正方形;
(2)當(dāng)OM不過點(diǎn)A時,設(shè)OM交邊AB于點(diǎn)G,且OG=1.在ON上存在點(diǎn)P,過P點(diǎn)作PK垂直于直線BC,垂足為點(diǎn)K,使得S△PKO=4S△OBG,連接GP,求四邊形PKBG的最大面積.
(導(dǎo)學(xué)號 58824239)
解:(1)②∵EH⊥ 50、CD,EF⊥BC,
∴∠EHC=∠EFC=90°,且∠HCF=90°,∴四邊形EFCH為矩形,
∵∠MON=90°,∴∠EOF=90°-∠AOB,
在正方形ABCD中,∠BAO=90°-∠AOB,
∴∠EOF=∠BAO,
在△OFE和△ABO中,
∴△OFE≌△ABO(AAS),∴EF=OB,OF=AB,
又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC,∴CF=EF,
∴四邊形EFCH為正方形;
(2)如解圖,∵∠POK=∠OGB,∠PKO=∠OBG,
∴△PKO∽△OBG,
∵S△PKO=4S△OBG,
∴=()2=4,
∴OP=2,
∴S△POG=O 51、G·OP=×1×2=1,
設(shè)OB=a,BG=b,則a2+b2=OG2=1,
∴b=,
∴S△OBG=ab=a==.
當(dāng)a2=時,△OBG面積有最大值,此時S△PKO=4S△OBG=1,
∴四邊形PKBG的最大面積為1+1+=.
3.(2018·沈陽模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)Q運(yùn)動秒后,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以與點(diǎn)Q相
同的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(秒),將△APQ沿直線PQ翻折,得到△EPQ.
(1)用含t的代數(shù)式表示:AP=_6-t_;AQ=_t+_;
(2)連接BD,在運(yùn) 52、動過程中,當(dāng)△PQE∽△BDC時,求t的值;
(3)在運(yùn)動過程中,∠PQE能否等于∠ABD的一半?如果能,求出此時的t的值;如果不能,請說明理由(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.2).
解:(2)∵將△APQ沿直線PQ翻折,得到△EPQ,
∴△PQA≌△PQE,
當(dāng)△PQE∽△BDC時,
∴△PQA∽△BDC,
∴=,即=,解得t=;
(3)不能.
理由如下:
如解圖,延長AB至點(diǎn)M,使BM=BD,連接DM,
∵BM=BD,∴∠BDM=∠BMD,
∵∠ABD=∠BDM+∠BMD,
∴∠BDM=∠BMD=∠ABD,
當(dāng)∠PQE=∠ABD時,∵∠PQE=∠PQA, 53、
∴∠PQA=∠BMD=∠ABD,
∴PQ∥DM,∴=,
在Rt△BCD中,BD==3,
∴BM=BD=3,
∴=,解得t≈3.5,∵0≤t≤.
所以在運(yùn)動過程中,∠PQE不能等于∠ABD的一半.
題型三 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題
類型一 與圖形判定結(jié)合
1.(2018·盤錦)如圖,直線y=-2x+4交y軸于點(diǎn)A,交拋物線y=x2+bx+c于點(diǎn)B(3,-2),拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(-1,0),交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn),作PE⊥DB交DB所在直線于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時,求出PE的長 54、及P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接PB,將△PBE沿直線AB翻折,直接寫出翻折后點(diǎn)E的對稱點(diǎn)坐標(biāo).
備用圖
備用圖
解:(1)拋物線的解析式為y=x2-x-2;
(2)∵點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-2),
∴BD∥x軸,
∵點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn),則設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p2-p-2),
∵PE⊥BD,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(p,-2),
∴DE=|p|,PE=|p2-p-2-(-2)|=
|p2-p|,
∵△PDE是等腰直角三角形,∴PE=DE,
∴|p2-p|=|p|,
當(dāng)p2-p=p時,解得p=0或p=5,
當(dāng)p2-p=-p時,解得p=0或p 55、=1,
∴這樣的點(diǎn)P有兩個,坐標(biāo)分別為(5,3),此時PE=5,或(1,-3),此時PE=1;
(3)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)時,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5,-2),此時BE=2,
如解圖①,過E作EF⊥AB于F,延長EF到R,使得FR=EF,則點(diǎn)R為點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn),即為所求點(diǎn).過R作RG⊥DE于G.
∵點(diǎn)A是直線與y軸的交點(diǎn),∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),∴AD=6,
∵BD=3,∴AB==3,
∵=,∴BF=,
∵tan∠EBF==tan∠ABD==2,
∴EF=,∴ER=,
易得∠REG=∠BAD,∴EG=2GR,
∴GR=,GE=,∴DG=5-=,此時點(diǎn)R的坐標(biāo)為(,-); 56、
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-3)時,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-2),過點(diǎn)E作EF⊥AB于F,延長EF到R使得EF=FR,過R作RG⊥BD于G,
同上,易得BE=2,∴GR=,GE=,∴DG=,∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為(,-).
綜上可得,翻折后點(diǎn)E的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(,-)或(,-).
圖①
圖②
2.(2018·本溪 )如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B(3,0),經(jīng)過點(diǎn)A的直線AC與拋物線的另一交點(diǎn)為C(4,),與y軸交點(diǎn)為D,點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個動點(diǎn)(不與A,C重合).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)過點(diǎn)P作PE⊥AC,垂足為E, 57、作PF∥y軸交直線AC于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段EF的長度為m,求m與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上運(yùn)動,當(dāng)△OPQ是以O(shè)P為直角邊的等腰直角三角形時,請直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
(導(dǎo)學(xué)號 58824240)
解:(1)該拋物線解析式為y=x2-x-;
(2)令y=0得x2-x-=0,解得x1=-1,x2=3,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).C(4,),
∴直線AC的解析式為y=x+.
∵點(diǎn)D是直線AC與y軸的交點(diǎn),
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,).
在Rt△AOD中,OA=1,OD=,由勾股定理得AD=,∴cos∠ADO==.
∵PF∥y軸,點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 58、為t,且點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)F在直線AC上,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,t+),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-t-),
∵點(diǎn)F在點(diǎn)P的上方,∴PF=t+-(t2-t-)=-t2+t+2.
∵PF∥y軸,∴∠PFE=∠ODA,
∴cos∠PFE=cos∠ODA=,
∴m=PF=-t2+t+;
(3)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+,-1)或(1-,-1)或(1+,1)或(2-,1-)或(,1-).
類型二 與線段問題結(jié)合
1.(2018·武漢)已知點(diǎn)A(-1,1)、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,m)(m>2),直線AF交拋物 59、線于另一點(diǎn)G,過點(diǎn)G作x軸的垂線,垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,連接FH、AE,求證:FH∥AE;
(3)如圖②,直線AB分別交x軸,y軸于C,D兩點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動,速度為每秒 個單位長度;同時點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動,速度為每秒1個單位長度.點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個交點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動到t秒時,QM=2PM,直接寫出t的值.
圖①
圖②
(1)解:拋物線的解析式為y=x2-x;
(2)證明:設(shè)直線AF的解析式為y=kx+m,
將點(diǎn)A(-1,1)代入y=kx+m中,即-k+m=1,∴k=m-1,
∴直線AF的解析式為y=(m-1) 60、x+m.
聯(lián)立直線AF和拋物線解析式得,
解得
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2m,2m2-m).
∵GH⊥x軸,∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2m,0).
∵拋物線的解析式為y=x2-x=x(x-1),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0).
∴直線AE的解析式為y=-x+.
設(shè)直線FH的解析式為y=k2x+b2,將F(0,m)、H(2m,0)代入y=k2x+b2中,
解得:
∴直線FH的解析式為y=-x+m.∴FH∥AE;
(3)解:當(dāng)運(yùn)動時間為秒或秒或秒或秒時,QM=2PM.
2.(2015·錦州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(4,0),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn) 61、D的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P(m,n)是該拋物線上的一個動點(diǎn),連接CA,CD,PD,PB.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)m>0,n>0時,過點(diǎn)P作直線PE⊥y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G,連接EG,請直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動,線段EG的最小值.
解:(1)拋物線的解析式為:y=-x2+x+2;
(2)∵拋物線的解析式為y=-x2+x+2,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2),
∵點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)D(2,0),∴AD=2-(-1)=3,∴S△CAD=×3×2=3,∴S△PDB=3,
∵點(diǎn)B(4,0 62、)、點(diǎn)D(2,0),∴BD=2,
∴S△PDB=×2×|n|=3,∴n=3或n-3,
①當(dāng)n=3時,-m2+m+2=3,解得m=1或m=2,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,3)或(2,3).
②當(dāng)n=-3時,-m2+m+2=-3,解得m=5或m=-2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,-3)或(-2,-3).
綜上,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,3)或(2,3)或(5,-3)或(-2,-3);
(3)線段EG的最小值是.
3.(2018·哈爾濱)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線y=x-3經(jīng)過B,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2) 63、過點(diǎn)C作直線CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線CD下方拋物線上的一個動點(diǎn),且在拋物線對稱軸的右側(cè),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PE交CD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,連接AC,過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段MN的長為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,連接PC,過點(diǎn)B作BQ⊥PC于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q在線段PC上),BQ交CD于點(diǎn)T,連接OQ交CD于點(diǎn)S,當(dāng)ST=TD時,求線段MN的長.
解:(1)拋物線的解析式為y=x2-2x-3;
圖①
(2)如解圖①,
y=x2-2x-3,
當(dāng)y=0時,x2-2x-3=0,解得 64、x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),
∴OA=1,OB=OC=3,
∴∠ABC=45°,AC=,AB=4,
∵PE⊥x軸,
∴∠EMB=∠EBM=45°,
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,∴EM=EB=3-t,
連接AM,∵S△ABC=S△AMC+S△AMB,
∴AB·OC=AC·MN+AB·EM,
∴×4×3=×MN+×4(3-t),
∴MN=t;
圖②
(3)如解圖②,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴對稱軸為x=1,
由拋物線對稱性可得D(2,-3),∴CD=2,
過點(diǎn)B作BK⊥CD交直線CD于點(diǎn)K,∴四邊形OCKB為正方形,
∴∠OBK=90°,CK 65、=OB=BK=3,∴DK=1,
∵BQ⊥CP,∴∠CQB=90°,
過點(diǎn)O作OH⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)H,OR⊥BQ交BQ于點(diǎn)I,交BK于點(diǎn)R,OG⊥OS交KB于G,連接SR,
∴∠OHC=∠OIQ=∠OIB=90°,∴四邊形OHQI為矩形,
∵∠OCQ+∠OBQ=180°,∴∠OBG=∠OCS,
∵OB=OC,∠BOG=∠COS,∴△OBG≌△OCS,
∴OG=OS,CS=GB,∠GOB=∠SOC,∴∠SOG=90°,∴∠ROG=45°,∵OR=OR,∴△OSR≌△OGR,∴SR=GR,∴SR=CS+BR,∵∠BOR+∠OBI=90°,∠IBO+∠TBK=90°,∴∠BOR=∠ 66、TBK,
∴tan∠BOR=tan∠TBK,∴=,∴BR=TK,
∵∠CTQ=∠BTK,∴∠QCT=∠TBK,
∴tan∠QCT=tan∠TBK,
設(shè)ST=TD=m,
∴SK=2m+1,CS=2-2m,TK=m+1=BR,
SR=3-m,RK=2-m,
在Rt△SKR中,
∵SK2+RK2=SR2,∴(2m+1)2+(2-m)2=(3-m)2,解得m1=-2(舍去),m2=;
∴ST=TD=,TK=,
∴tan∠TBK==÷3=,∴tan∠PCD=,
∵CF=OE=t,∴PF=t,∴PE=t+3,∴P(t,-t-3),∴-t-3=t2-2t-3,
解得t1=0(舍去),t2=.
∴MN=d=t=×=.
類型三 與面積問題結(jié)合
1.(2018·恩施州)如圖,已知拋物線y=ax2+c過點(diǎn)(-2,2),(4,5),過定點(diǎn)F(0,2)的直線l:y=kx+2與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動時,判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(>、<、=),并證明你的判斷;
(3)P為y軸
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